理科高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試卷
數(shù)學(xué)把精力放在聽上，不要先記下來(lái)回來(lái)再學(xué)，僅僅記書上沒有的或教師的總結(jié)性發(fā)言，今天小編就給大家分享了高二數(shù)學(xué)，有時(shí)間的來(lái)閱讀哦
表達(dá)高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知 為虛數(shù)單位，實(shí)數(shù) 滿足 ，則
A.1 B. C. D.
2.高二(3)班共有學(xué)生56人，現(xiàn)根據(jù)座號(hào)，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為4的樣本.已知3號(hào)、31號(hào)、45號(hào)同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一個(gè)同學(xué)的座號(hào)是
A.15 B.16 C.17 D.18
3.用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程 有有理根，那么 、 、 中至少有一個(gè)是偶數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)正確的是
A.假設(shè) 、 、 都是偶數(shù) B.假設(shè) 、 、 都不是偶數(shù)
C.假設(shè) 、 、 至多有一個(gè)偶數(shù) D.假設(shè) 、 、 至多有兩個(gè)偶數(shù)
4.某地氣象臺(tái)預(yù)計(jì)，7月1日該地區(qū)下雨的概率為 ，刮風(fēng)的概率為 ，既刮風(fēng)又下雨的概率為 ，設(shè) 表示下雨， 表示刮風(fēng)，則
A. B. C. D.
5.已知某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對(duì)所住戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖1和圖2所示,為了解該小區(qū)戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度,用分層抽樣的方法抽取20%的戶主進(jìn)行調(diào)查,則樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)分別為
A.100,8 B.80,20
C.100,20 D.80,8
6. 在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率
相同，若事件A至少發(fā)生1次的概率為6581，則事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為
7. 已知函數(shù) ，則函數(shù) 的大致圖象是
8. 在長(zhǎng)為 的線段 上任取一點(diǎn) .現(xiàn)作一矩形,鄰邊長(zhǎng)分別等于線段 的長(zhǎng),則該矩形面積小于 的概率為
9.已知 展開式中常數(shù)項(xiàng)為1120，實(shí)數(shù) 是常數(shù)，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是
10.學(xué)校選派 位同學(xué)參加北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、浙江大學(xué)這 所大學(xué)的自主招生考試，每所大學(xué)至少有一人參加,則不同的選派方法共有
A.540種 B.240種 C.180種 D.150種
11.已知定義域?yàn)?的奇函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)為 ，當(dāng) 時(shí)， ，若 ，則 的大小關(guān)系正確的是
A. B. C. D.
12.設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則 的取值范圍是
二、填空題(每小題5分，共20分)
13. 為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù) 滿足 ，則 的虛部是
14.已知 cos ,則二項(xiàng)式 的展開式中 的系數(shù)為__________.
15.三個(gè)元件 正常工作的概率分別為 12，34，34，將 兩個(gè)元件并聯(lián)后再和 串聯(lián)接入電路，如圖所示，則電路不發(fā)生故障的概率為 .
16.已知函數(shù) 的定義域是 ，關(guān)于函數(shù) 給出下列命題：
?、賹?duì)于任意 ，函數(shù) 是 上的減函數(shù);
②對(duì)于任意 ，函數(shù) 存在最小值;
③存在 ，使得對(duì)于任意的 ，都有 成立;
?、艽嬖?，使得函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn).
其中正確命題的序號(hào)是________.(寫出所有正確命題的序號(hào))
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(本小題滿分10分)
某中學(xué)將100名高一新生分成水平相同的甲、乙兩個(gè)“平行班”，每班50人.陳老師采用A，B兩種不同的教學(xué)方式分別在甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行教改實(shí)驗(yàn).為了解教學(xué)效果，期末考試后，陳老師分別從兩個(gè)班級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，作出莖葉圖如圖.記成績(jī)不低于90分者為“成績(jī)優(yōu)秀”.
(1)在乙班樣本的20個(gè)個(gè)體中，從不低于86分的
成績(jī)中隨機(jī)抽取2個(gè)，求抽出的2個(gè)均“成績(jī)優(yōu)秀”的概率;
(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作出列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為：“成績(jī)優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān).
0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025
0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
參考公式：
18.(本小題滿分12分)
已知函數(shù)
(1)若 在區(qū)間[-2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值;
(2)若函數(shù) 有三個(gè)不同零點(diǎn)，求 的取值范圍.
19.(本小題滿分12分)
某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力 和判斷力 進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得下表數(shù)據(jù)：
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
(1)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用相關(guān)系數(shù) 說明 與 的線性相關(guān)程度;(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位，參考數(shù)據(jù): )
(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出 關(guān)于 的線性回歸方程 ;
(3)試根據(jù)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力.
參考公式： ， ;相關(guān)系數(shù) ;
20.(本小題滿分12分)
世界那么大，我想去看看，每年高考結(jié)束后，處于休養(yǎng)狀態(tài)的高中畢業(yè)生旅游動(dòng)機(jī)強(qiáng)烈，旅游可支配收入日益增多，可見高中畢業(yè)生旅游是一個(gè)巨大的市場(chǎng).為了解高中畢業(yè)生每年旅游消費(fèi)支出(單位:百元)的情況，相關(guān)部門隨機(jī)抽取了某市的1000名畢業(yè)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表：
組別 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100)
頻數(shù) 2 250 450 290 8
(1)求所得樣本的中位數(shù)(精確到百元);
(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認(rèn)為學(xué)生的旅游費(fèi)用支出服從正態(tài)分布 ，若該市共有高中畢業(yè)生35000人，試估計(jì)有多少位同學(xué)旅游費(fèi)用支出在 8100元以上;
(3)已知樣本數(shù)據(jù)中旅游費(fèi)用支出在[80,100)范圍內(nèi)的8名學(xué)生中有5名女生，3名男生， 現(xiàn)想選其中3名學(xué)生回訪，記選出的男生人數(shù)為 ，求 的分布列與數(shù)學(xué)期望.
附:若 ，則
，
21.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) ，且曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為 .
(1)求實(shí)數(shù) 的值及函數(shù) 的最大值;
(2)證明：對(duì)任意的 .
22.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) .
(1)討論函數(shù) 的單調(diào)性;
(2)若不等式 在 時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍;
(3)當(dāng) 時(shí)，證明： .
數(shù)學(xué)(理科)參考答案
一、選擇題：DCBBA AACCD CD
二、填空題：
13. 14. 15. 16. ②④
三、解答題：
17.[解] (1)由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率,記該事件為A，
根據(jù)等可能事件的概率得到 -----------------4分
(2)由已知數(shù)據(jù)得
甲班 乙班 總計(jì)
成績(jī)優(yōu)秀 1 5 6
成績(jī)不優(yōu)秀 19 15 34
總計(jì) 20 20 40
----------------------6分
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值
k= ≈3.137， -----------------------9分
由于3.137>2.706，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為：“成績(jī)優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān). -----------------------10分
18.解：(1)因?yàn)?/p>
所以函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間為
----------------3分
又
由 ------------------------------6分
------------------------------10分
------------------------------12分
19.(1) 6×2+8×3+10×5+12×6=158， -------------------1分
x=6+8+10+124=9，y=2+3+5+64=4， ------------------2分
62+82+102+122=344. -----------------4分
，線性相關(guān)性非常強(qiáng). ----------------6分
(2) 158，x=9，y=4， 344.
b^=158-4×9×4344-4×92=1420=0.7，a^=y-b^x=4-0.7×9=-2.3，
故線性回歸方程為y^=0.7x-2.3. -------------------------9分
(3)由(2)中線性回歸方程知，當(dāng)x=9時(shí)，y^=0.7×9-2.3=4，故預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力約為4. -----------------------12分
20.解：(1)設(shè)樣本的中位數(shù)為 ，
則 ，
解得 ，所得樣本中位數(shù)為51(百元). ------------------------3分
估計(jì)有805位同學(xué)旅游費(fèi)用支出在8100元以上. -----------------------6分
(3) 的可能取值為0，1，2，3，
， ，
，
∴ 的分布列為
0 1 2 3
-------------------------10分
--------------------------12分
21解：(1)函數(shù) 的定義域?yàn)?， ，因 的圖象在點(diǎn) 處的切線方程為 ，所以 解得 ，所以 ，故 .令 ，得 ，
當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞增;
當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞減.
所以當(dāng) 時(shí)， 取得最大值 . -----------------------6分
(Ⅱ)證明：原不等式可變?yōu)?則
，可知函數(shù) 單調(diào)遞增，
而，
所以方程 在(0，+∞)上存在唯一實(shí)根x0，使得 .
當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)， ，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(x0，+∞)時(shí)， ，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增;所以
.
即 在(0，+∞)上恒成立，
所以對(duì)任意x>0， 成立. -------------------------12分
法二：證 ，亦可.
22.解：(1)∵y=f(x)-g(x)=ln(ax+1)-x-2x+2，
y′=aax+1-4(x+2)2=ax2+4a-4(ax+1)(x+2)2， -----------------------------------------1分
當(dāng)a≥1時(shí)，y′≥0，所以函數(shù)y=f(x)-g(x)是[0，+∞)上的增函數(shù);
當(dāng)0
(2)當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)y=f(x)-g(x)是[0，+∞)上的增函數(shù).
所以f(x)-g(x)≥f(0)-g(0)=1，
即不等式f(x)≥g(x)+1在x∈[0，+∞)時(shí)恒成立，
當(dāng)0
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞). -------------------------7分
(3)當(dāng)a=1時(shí)，由(2)得不等式f(x)>g(x)+1在x∈(0，+∞)時(shí)恒成立，
即ln(x+1)>2xx+2，所以 ，
即12k+1<12[ln(k+1)-lnk].
所以13<12(ln2-ln1)，
15<12(ln3-ln2)，
17<12(ln4-ln3)，…，
12n+1<12[ln(n+1)-lnn].
將上面各式相加得到，13+15+17+…+12n+1<12[(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+…+(ln(n+1)-lnn)]=12ln(n+1)=12f(n).
∴原不等式成立. -------------------------------------------12分
高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末聯(lián)考試卷閱讀
一、選擇題(本大題共12小題，共60.0分)
1. 復(fù)數(shù) 為虛數(shù)單位 的共軛復(fù)數(shù)是
A. B. C. D.
2. 在極坐標(biāo)系中，圓 的圓心的極坐標(biāo)是
A. B. C. D.
3. 已知某批零件的長(zhǎng)度誤差 單位：毫米 服從正態(tài)分布 ，從中隨機(jī)抽取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間 內(nèi)的概率為
附：若隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布 ，則 ，
A. B. C. D.
4. 聊齋志異 中有這樣一首詩(shī)：“挑水砍柴不堪苦，請(qǐng)歸但求穿墻術(shù) 得訣自詡無(wú)所阻，額上墳起終不悟 ”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”： 則按照以上規(guī)律，若 具有“穿墻術(shù)”，則
A. 7 B. 35 C. 48 D. 63
5. 盒中裝有形狀，大小完全相同的5個(gè)小球，其中紅色球3個(gè)，黃色球2個(gè)，若從中隨機(jī)取出2個(gè)球，則所取出的2個(gè)球顏色不同的概率等于
A. B. C. D.
6. 設(shè) 是函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)， 的圖象如圖所示，則 的圖象最有可能的是
A. B.
C. D.
7. 的展開式的常數(shù)項(xiàng)是
A. 5 B. C. D.
8. 曲線 在 處的切線方程為
A. B.
C. D.
9. 甲、乙、丙三人到三個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件A為“三個(gè)人去的景點(diǎn)不相同”，事件B為“甲獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則概率 等于
A. B. C. D.
10. 若 ，則 等于
A. 5 B. 25 C. D.
11. 下面使用類比推理正確的是
A. 直線a，b，c，若 ， ，則 ，類推出：向量 ， ， ，若 ， ，則
B. 同一平面內(nèi)，直線a，b，c，若 ， ，則 ，類推出：空間中，直線a，b，c，若 ， ，則
C. 實(shí)數(shù)a，b，若方程 有實(shí)數(shù)根，則 ，類推出：復(fù)數(shù)a，b，若方程 有實(shí)數(shù)根，則
D. 由向量加法的幾何意義，可以類比得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義
12. 設(shè) 是函數(shù) 定義在 上的導(dǎo)函數(shù)，滿足 ，則下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.
二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)
13. 定積分
14. 若 ，則 ______.
15. 在大小相同的5個(gè)球中，2個(gè)是紅球，3個(gè)是白球，若從中任取2個(gè)，則所取的2個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率是______ .
16. 在函數(shù) 的圖象上任取兩個(gè)不同點(diǎn) ， ，總能使得 ，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______ .
三、解答題(共70分)
(一)必考題共60分
17. (12分)已知函數(shù) .
?、?求函數(shù)的極值;
?、?求函數(shù)在區(qū)間 上的最大值和最小值
18. (12分)某位同學(xué)進(jìn)行寒假社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，為了對(duì)白天平均氣溫與某奶茶店的某種飲料銷量之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他分別記錄了1月11日至1月15日的白天平均氣溫 與該小賣部的這種飲料銷量 杯 ，得到如下數(shù)據(jù)：
日 期 1月11日 1月12日 1月13日 1月14日 1月15日
平均氣溫
9 10 12 11 8
銷量 杯
23 25 30 26 21
?、?若先從這五組數(shù)據(jù)中抽出2組，求抽出的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)的概率;
Ⅱ 請(qǐng)根據(jù)所給五組數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程 ;
?、?根據(jù) Ⅱ 中所得的線性回歸方程，若天氣預(yù)報(bào)1月16日的白天平均氣溫 ，請(qǐng)預(yù)測(cè)該奶茶店這種飲料的銷量.
附：線性回歸方程 中， ，其中 ， 為樣本平均值.
19. (12分)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形， 平面ABCD， ， ， .
?、?求證： 平面PAD;
?、?求PD與平面PCE所成角的正弦值;
?、?在棱AB上是否存在一點(diǎn)F，使得平面 平面PCE?如果存在，求 的值;如果不存在，說明理由.
20. (12分)某職稱晉級(jí)評(píng)定機(jī)構(gòu)對(duì)參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制了頻率分布直方圖 如圖所示 ，規(guī)定80分及以上者晉級(jí)成功，否則晉級(jí)失敗.
晉級(jí)成功 晉級(jí)失敗 合計(jì)
男 16
女 50
合計(jì)
?、?求圖中a的值;
Ⅱ 根據(jù)已知條件完成下面 列聯(lián)表，并判斷能否有 的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān)?
?、?將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取4人進(jìn)行約談，記這4人中晉級(jí)失敗的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望 .
參考公式： ，其中
21. (12分)已知函數(shù) .
若 在 處取到極值，求a的值;
若 在 上恒成立，求a的取值范圍;
求證：當(dāng) 時(shí)， .
(二)選考題：共10分，從22,23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分
22. (10分)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的方程為 ，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為 .
求直線l的直角坐標(biāo)方程和橢圓C的參數(shù)方程;
設(shè) 為橢圓C上任意一點(diǎn)，求 的最大值.
(10分)函數(shù) .
當(dāng) 時(shí)，解不等式 ;
若不等式 對(duì)任意 恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
答案和解析
【答案】
1. D 2. D 3. B 4. D 5. D 6. C 7. D
8. C 9. C 10. B 11. D 12. B
9. 解：甲獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)，則有3個(gè)景點(diǎn)可選，
乙丙只能在甲剩下的哪兩個(gè)景點(diǎn)中選擇，可能性為 ，
所以甲獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)的可能性為 ，
因?yàn)槿齻€(gè)人去的景點(diǎn)不同的可能性為 ，
所以 .
故選C.
10. 解：對(duì)于 ，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，
可得 ，
再令 ，可得 ，
故選：B.
11. 解：對(duì)于A， 時(shí)，不正確;
對(duì)于B，空間中，直線a，b，c，若 ， ，則 或 或相交，故不正確;
對(duì)于C，方程 有實(shí)根，但 不成立，故C不正確;
對(duì)于D，由向量加法的幾何意義可以類比得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義，正確.
故選：D.
12. .【解答】解： 是函數(shù) 定義在 上的導(dǎo)函數(shù)，滿足 ，
可得 ，
令 ，則 ，
函數(shù) 在R上單調(diào)遞增.
，
.故選B.
13 14. 15. 16.
17. 解： Ⅰ ， -----------------------------------------------1分
令 ，得 ， ，
當(dāng) 時(shí)，即 或 時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增，
當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減，-----------------4分
當(dāng) 時(shí)，函數(shù)有極大值，且 ，
當(dāng) 時(shí)，函數(shù)有極小值，且 .------------------------------------8分
Ⅱ ，
，
與極值點(diǎn)的函數(shù)值比較，
得已知函數(shù)在區(qū)間 上的最大值是 ，最小值是 . ------------12分
18. 解： Ⅰ 設(shè)“選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)”為事件A，
所有基本事件 其中m，n為1月份的日期數(shù) 有： ， ， ，
， ， ， ， ， ， ，共有10種.
事件A包括的基本事件有 ， ， ， 共4種.
所以 為所求 ---------------------------------------------------------4分
?、?由數(shù)據(jù)，求得 ，
求得 ， 所以y關(guān)于x的線性回歸方程為 –-8分
?、?當(dāng) 時(shí)，
所以該奶茶店這種飲料的銷量大約為19杯 ---------------------------------12分
19. 解： Ⅰ 設(shè)PA中點(diǎn)為G，連結(jié)EG，DG.
因?yàn)?，且 ， ，
所以 且 ，
所以四邊形BEGA為平行四邊形.
所以 ，且 .
因?yàn)檎叫蜛BCD，所以 ， ，
所以 ，且 .
所以四邊形CDGE為平行四邊形.所以 .
因?yàn)?平面PAD， 平面PAD，
所以 平面PAD.--------------------------------------4分
?、?如圖建立空間坐標(biāo)系，則 0， ， 4， ，
0， ， 0， ， 4， ，
所以 4， ， 0， ， 4， .
設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為 y， ，
所以 ，可得 .
令 ，則 ，所以 1， .--------6分
設(shè)PD與平面PCE所成角為 ，
則 ，
所以PD與平面PCE所成角的正弦值是 ----------------8分
?、?依題意，可設(shè) 0， ，則 ， .
設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為 y， ，
則 .
令 ，則 ，
所以 .
因?yàn)槠矫?平面PCE，
所以 ，即 ，
所以 ，點(diǎn) .所以 . ---------------12分
20. 解： Ⅰ 由頻率分布直方圖各小長(zhǎng)方形面積總和為1，
可知 ，
解得 ;-----------------------------------------------------------------3分
Ⅱ 由頻率分布直方圖知，晉級(jí)成功的頻率為 ，
所以晉級(jí)成功的人數(shù)為 人 ，
填表如下：
晉級(jí)成功 晉級(jí)失敗 合計(jì)
男 16 34 50
女 9 41 50
合計(jì) 25 75 100
假設(shè)“晉級(jí)成功”與性別無(wú)關(guān)，
根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得 ，
所以有超過 的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān);----------------------------7分
Ⅲ 由頻率分布直方圖知晉級(jí)失敗的頻率為 ，
將頻率視為概率，則從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取1人進(jìn)行約談，
這人晉級(jí)失敗的概率為 ，
所以X可視為服從二項(xiàng)分布，即 ，
，
故 ， ，
， ，
，
所以X的分布列為
X 0 1 2 3 4
數(shù)學(xué)期望為 ，
或 --------12分
21. 解： 的定義域?yàn)?，
， 在 處取得極小值，
，即 ，
此時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證 是 的極小值點(diǎn)，故 ，----------------------4分
，
當(dāng) 時(shí)， ，
在 上單調(diào)遞減，
當(dāng) 時(shí)， 矛盾.
當(dāng) 時(shí)， ，
恒成立，
令 ，解得 ， 舍去 ， ，--------6分
當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)， 在 單調(diào)性遞增
，滿足題意，
當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)，
時(shí)， ，即 遞減， ，矛盾.
綜上， 在 上恒成立， ，-------------------------8分
證明：由 知令 時(shí)， ，
當(dāng) 時(shí)， ，即 ，令 ，
則 ，
. ---12分
22. 解： 根據(jù)題意，橢圓C的方程為 ，
則其參數(shù)方程為 ， 為參數(shù) ;
直線l的極坐標(biāo)方程為 ，變形可得 ，即 ，
將 ， 代入可得 ，
即直線l的普通方程為 ;------------------------------------------5分
根據(jù)題意， 為橢圓一點(diǎn)，則設(shè) ，
，分析可得，當(dāng) 時(shí)， 取得最大值9. --------10分
23. 解： 當(dāng) 時(shí)，原不等式等價(jià)于 ，利用數(shù)軸及絕對(duì)值的幾何意義知 ，
即不等式 的解集為 ; 分 ---------------------5分
， ，即 或 ，解得 ，
所以a的取值范圍是 分
23.
有關(guān)高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試題
一、選擇題(每題5分，共60分)
1. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=2，i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的虛部是( )
A.1 B.﹣1 C.i D.﹣i
2. ，根據(jù)上述規(guī)律，得到 ( )
A. B. C. D.
3. 用反證法證明命題“ 的兩根絕對(duì)值都小于1”時(shí)，應(yīng)假設(shè)( )
A.方程 的兩根的絕對(duì)值存在一個(gè)小于1
B.方程 的兩根的絕對(duì)值至少有一個(gè)大于等于1
C.方程 沒有實(shí)數(shù)根
D.方程 的兩根的絕對(duì)值存都不小于1
4. 已知命題 ，則命題 ( )
A. B.
C. D.
5.函數(shù)y= ﹣3x+9的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6. 下列有關(guān)命題的說法正確的是( )
A.命題“若 則 ”的否命題為“若 則 ”
B.“ ”是 “ ”的必要不充分條件
C. 命題若“ ”則“ ”的逆否命題為真
D.命題“ ”的否定是“對(duì)
7.曲線y=ex在點(diǎn)(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為( )
A. e2 B.2e2 C.e2 D. e2
8.已知拋物線 ，直線 與拋物線 交于 兩點(diǎn)，若 中點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，則原點(diǎn) 到直線 的距離為( )
A. B. C. D.
9.若y=∫(sin t+cos tsin t)dt，則y的最大值是( )
A.1 B.2 C.-72 D.0
10.已知雙曲線C： ﹣ =1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)B是虛軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，線段BF與雙曲線C的右支交于點(diǎn)A，若 =2 ，且| |=4，則雙曲線C的方程為( )
A. ﹣ =1 B. ﹣ =1 C. ﹣ =1 D. ﹣ =1
11.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為( )
A.錯(cuò)誤!未找到引用源。 B.錯(cuò)誤!未找到引用源。 C.錯(cuò)誤!未找到引用源。 D.錯(cuò)誤!未找到引用源。
12.已知函數(shù)f(x)=x3﹣6x2+9x，g(x)= x3﹣ x2+ax﹣ (a>1)若對(duì)任意的x1∈[0，4]，總存在x2∈ [0，4]，使得f(x1)=g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A.(1， ] B.[9，+∞)
C.(1， ]∪[9，+∞) D.[ ， ]∪[9，+∞)
二、填空題(每題5分，共20分)
13.如圖,平面PAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E,F分別是線段PA,CD的中點(diǎn),則異面直線EF與BD所成角的余弦值為 .
14.已知函數(shù) 為 。
15.已知命題 范圍是 。
16.已知雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為 ，過 且斜率為 的直線 與雙曲線的兩條漸近線分別交于 兩點(diǎn)，若 ，則雙曲線的離心率為 .
三、解答題(共70分)
17.(本題共12分)
(1)設(shè)命題
(2)已知復(fù)數(shù)
18.(本題共12分)
19.(本題共12分)
在四棱錐P﹣ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，AC∩BD=O.
(Ⅰ)證明：PC⊥BD
(Ⅱ)若E是PA的中點(diǎn)，且△ABC與平面PAC所成的角的正切值為 ，求二面角A﹣EC﹣B的余弦值.
20.(本題共12分)
已知橢圓 的左右焦點(diǎn)分別為 ，上頂點(diǎn)為 ，右頂點(diǎn)為 ， 的外接圓半徑為 .
(1)求圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線 與橢圓 交于 兩點(diǎn)，若以 為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn) ，求 面積的最大值.
21.(本題共12分)
至少存在一點(diǎn)
請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.
22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
以平面直角坐標(biāo)系 的原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中采取相同的單位長(zhǎng)度.曲線 的極坐標(biāo)方程是 ，直線的參數(shù)方程是 ( 為參數(shù)).
(1)求曲線 的直角坐標(biāo)方程與直線 的普通方程;
(2)設(shè)點(diǎn) ，若直線 與曲線 交于 兩點(diǎn)，求 的值.
23.已知f(x)=|x﹣a|+|x﹣1|
(Ⅰ)當(dāng)a=2，求不等式f(x)<4的解集;
(Ⅱ)若對(duì)任意的x，f(x)≥2恒成立，求a的取值范圍.
答案
1-5：BCBDC 6-10:CDDBD 11-12:BC
二、填空題(每小題5分，共20分)
13、 14、y=8x-16 15、(0,1) 16、
三、解答題(本大題共6小題，70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)
17、(本小題滿分12分)
19、(本小題滿分12分)
證明：(Ⅰ)因?yàn)榈酌媸橇庑?，所以BD⊥AC.(1分) 又PB=PD，且O是BD中點(diǎn)，所以BD⊥PO.(2分)
PO∩AC=O，所以BD⊥面PAC.(3分) 又PC⊂面PAC，所以BD⊥PC.(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，OE是BE在面PAC上的射影， 所以∠OEB是BE與面PAC所成的角.
在Rt△BOE中， ，BO=1，所以 .
在Rt△PEO中， ， ，所以 .
所以 ，又 ， 所以PO2+AO2=PA2，所以PO⊥AO.
又PO⊥BD，BD∩AO=O，所以PO⊥面ABCD.(6分)
如圖，以 建立空間直角坐標(biāo)系，
，B(0，1，0)， ， ， ， ， .(9分)
設(shè)面BEC的法向量為 ，則 ，
即 ，得方程的一組解為 ，
即 .(10分)
又面AEC的一個(gè)法向量為 ，(11分)
所以 ，所以二面角A﹣EC﹣B的余弦值為 .(12分)
20、(本小題滿分12分)
解：(Ⅰ) 右頂點(diǎn)為 ， ，
，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
(Ⅱ)設(shè)直線 的方程為 ，
與橢圓聯(lián)立得
.
以 為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn) ，
?、?/p>
，
代入①式得 或 (舍去)，
故直線 過定點(diǎn) .
，
令 ，
則
在 上單調(diào)遞減，
時(shí)， .
請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分,做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào).(10分)
22□ 23□
22.解：(Ⅰ)曲線C的直角坐標(biāo)方程為 ，
直線 的普通方程為 .
(Ⅱ)將直線 的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得 ，
得 ， ， 異號(hào)，
23.解：(Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí)，不等式f(x)<4，即|x﹣2|+|x﹣1|<4，
可得 ，或 或 ，
解得：﹣
(Ⅱ)∵|x﹣a|+|x﹣1|≥|a﹣1|，當(dāng)且僅當(dāng)(x﹣a)(x﹣1)≤0時(shí)等號(hào)成立，
由|a﹣1|≥2，得a≤﹣1或a≥3，
即a的取值范圍為(﹣∞，﹣1]∪[3，+∞).
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