第二學(xué)期高二級(jí)數(shù)學(xué)期中考試試題
有很多同學(xué)都說(shuō)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不好，那么我們大家有嘗試去做數(shù)學(xué)題嗎，今天小編就給大家來(lái)分享一下高二數(shù)學(xué)，需要的來(lái)一起參考吧
數(shù)學(xué)第二學(xué)期高二年級(jí)期中題
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是滿(mǎn)足題目要求的.
1.命題“ ”的否定為
A. B.
C. D.
2.已知隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布 ，若 ，則
A. B. C. D.
3.已知平面 的法向量為 ，點(diǎn) 不在 內(nèi)，則直線(xiàn) 與平面的位置關(guān)系為
A. B.
C. 與 相交不垂直 D.
4.為防止某種疾病，今研制一種新的預(yù)防藥.任選取100只小白鼠作試驗(yàn)，得到如下的列聯(lián)表：
經(jīng)計(jì)算得 ,則在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)( )的前提下認(rèn)為“藥物對(duì)防止某種疾病有效”。
A.0.025 B.0.10 C . 0.01 D. 0.05
參考數(shù)據(jù)：
氣溫(℃) 18 13 10 -1
銷(xiāo)售量個(gè)) 24 34 38 64
5.某咖啡廠(chǎng)為了了解熱飲的銷(xiāo)售量 (個(gè))與氣溫 (℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的銷(xiāo)售量與氣溫，并制作了對(duì)照表：
由表中數(shù)據(jù)，得線(xiàn)性回歸方程為y^= x ，，當(dāng)氣溫為-4℃時(shí)，預(yù)測(cè)銷(xiāo)售量約為
A.68 B.66 C.72 D.70
6.拋擲兩枚骰子，當(dāng)至少有一枚5點(diǎn)或6點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，就說(shuō)試驗(yàn)成功，則在30次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功的次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望是
A. B. C.10 D.20
7.下列選項(xiàng)中，說(shuō)法正確的是
A.若命題“ ”為真命題，則命題 和命題 均為真命題
B. 是 的必要不充分條件
C. 是 的充要條件
D.命題“若 構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則 構(gòu)成空間的一個(gè)基底”的否命題為真命題
8.已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線(xiàn)與圓 有公共點(diǎn) ，且圓在 點(diǎn)的切線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行，則雙曲線(xiàn)的離心率為
A. B. C. 或 D.以上都不對(duì)
9.某校在高二年級(jí)開(kāi)設(shè)選修課，選課結(jié)束后，有四名同學(xué)要求改選物理，現(xiàn)物理選修課開(kāi)有三個(gè)班，若每個(gè)班至多可再接收2名同學(xué)，那么不同的接收方案共有
A.72種 B.54種 C.36種 D.18種
10.已知函數(shù) 有平行于 軸的切線(xiàn)且切點(diǎn)在 軸右側(cè)，則 的范圍為
A. B. C. D.
11.拋物線(xiàn) 的焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線(xiàn)為 ， 是拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足 .設(shè)線(xiàn)段 的中點(diǎn) 在 上的投影為 ，則 的最大值是
A. B. C. D.
12.在棱長(zhǎng)為 的正方體 中， 是 的中點(diǎn)，點(diǎn) 在側(cè)面 上運(yùn)動(dòng).現(xiàn)有下列命題：
①若點(diǎn) 總保持 ，則動(dòng)點(diǎn) 的軌跡所在的曲線(xiàn)是直線(xiàn);
?、谌酎c(diǎn) 到點(diǎn) 的距離為 ，則動(dòng)點(diǎn) 的軌跡所在的曲線(xiàn)是圓;
?、廴?滿(mǎn)足 ，則動(dòng)點(diǎn) 的軌跡所在的曲線(xiàn)是橢圓;
?、苋?到直線(xiàn) 與直線(xiàn) 的距離比為 ，則動(dòng)點(diǎn) 的軌跡所在的曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn);
?、萑?到直線(xiàn) 與直線(xiàn) 的距離相等，則動(dòng)點(diǎn) 的軌跡所在的曲線(xiàn)是拋物線(xiàn).
其中真命題的個(gè)數(shù)為( )
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。
13.假定一個(gè)家庭有兩個(gè)小 孩，生男、生女是等可能的，在已知有一個(gè)是女孩的前提下，則另一個(gè)小孩是男孩的概率是 .
14.已知空間四點(diǎn) 共面，則 =
15.已知 是圓 ( 為圓心)上一動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段 的垂直平分線(xiàn)交直線(xiàn) 于 ，則動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程為 .
16.把長(zhǎng)度 和寬 分別為 和2的長(zhǎng)方形 沿對(duì)角線(xiàn) 折成 的二面角，則 等于 .
三、解答題：本大題 共6小題，共74分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
17.(本小題滿(mǎn)分10分)
已知 恒成立， 方程 表示焦點(diǎn)在 軸上的橢圓，若命題“ 且 ”為假，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
18.(本小題滿(mǎn)分12分)
已知 展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和比各項(xiàng)的系數(shù)和大256;
(Ⅰ)求展開(kāi)式中的所有無(wú)理項(xiàng)的系數(shù)和;
(Ⅱ)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).
19.(本小題滿(mǎn)分12分)
已知點(diǎn)M到點(diǎn) 的距離比到點(diǎn)M到直線(xiàn) 的距離小4;
(Ⅰ)求點(diǎn)M的軌 跡 的方程;
(Ⅱ)若曲線(xiàn)C上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線(xiàn)l: 對(duì)稱(chēng)，求直線(xiàn)AB的方程.
20.(本小題滿(mǎn)分12分)
醫(yī)生的專(zhuān)業(yè)能力參數(shù) 可有效衡量醫(yī)生的綜合能力， 越大，綜合能力越強(qiáng)，并規(guī)定: 能力參數(shù) 不少于30稱(chēng)為合格，不少于50稱(chēng)為優(yōu)秀.某市衛(wèi)生管理部門(mén)隨機(jī)抽取300名醫(yī)生進(jìn)行專(zhuān)業(yè)能力參數(shù)考核,得到如圖所示的能力 的頻率分布直方圖:
(Ⅰ)求出這個(gè)樣本的合格率、優(yōu)秀率;
(Ⅱ)現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽出一個(gè)樣本容量為20的樣本,再?gòu)倪@20名醫(yī)生中隨機(jī)選出2名.
?、偾筮@2名醫(yī)生的能力參數(shù) 為同一組的概率;
?、谠O(shè)這2名醫(yī)生中能力參數(shù) 為優(yōu)秀的人數(shù)為 ,求隨機(jī)變量 的分布列和期望.
21.(本小題滿(mǎn)分12分)
如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E為AD的中點(diǎn)， PA=PD=4，BC=12AD=2，CD= .
(Ⅰ)求證：PA⊥CD;
(Ⅱ) 若M是棱PC的中點(diǎn)，求直線(xiàn)PB與平面BEM所成角的正弦值;
(Ⅲ)在棱PC上是否存在點(diǎn)N，使二面角N-EB-C 的余弦值為 ，若存在，確定點(diǎn)N的位置;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
22.(本小題滿(mǎn)分12分)
已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別是 ，離心率為 ，過(guò) 且垂直于 軸的直線(xiàn)被橢圓 截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為 ;
(Ⅰ)求橢圓 的方程;
(Ⅱ)若P為橢圓C在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且斜率為 的直線(xiàn)與橢圓相切，設(shè) 的斜率分別為 ，試證明 為定值，并求出此定值;
(Ⅲ)若直線(xiàn) 與橢圓 交于不同的兩點(diǎn) ，且原點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離為1，設(shè) ，當(dāng) 時(shí)，求 的面積 的取值范圍.
高二數(shù)學(xué)(理科)參考答案
一、選擇題：
題號(hào) 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
答案 C C D B A B D B B A C C
二、填空題：
13. 14. 15. 16.
三、解答題：
17. 解：由題意：若 為真，則有 對(duì) 恒成立
取“=” …………4分
若 為真，則有 ，即 或 ………8分
由 且 為假，則 、 中至少一個(gè)為假
若 、 均為真，則
且 為假，實(shí)數(shù) 的取值范圍是 …………10分
18.解：由條件得 ，則 ，則 的第 項(xiàng)為
…………4分
(1)由通項(xiàng)公式易知當(dāng) 時(shí)， 為無(wú)理項(xiàng)
故無(wú)理項(xiàng)的系數(shù)和為 …………8分
(2) 當(dāng) 時(shí)，系數(shù)為 ;當(dāng) 時(shí)，系數(shù)為
當(dāng) 時(shí)，系數(shù)最大，故系數(shù)最大的項(xiàng)為 ……12分
19.解：(1)結(jié)合圖形知，點(diǎn)M不可能在 軸的左側(cè)，即M到點(diǎn) 的距離等于M到直線(xiàn) 的距離 M的軌跡是拋物線(xiàn)， 為焦點(diǎn)， 為準(zhǔn)線(xiàn) M的軌跡方程是： (或由 化簡(jiǎn)得 )……6分
(2)設(shè) 則 相減得
又 的斜率為-4則
中點(diǎn)的坐標(biāo)為 ， 即
經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)， 與拋物線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，滿(mǎn)足題意. …………12分
20. 解：(1)合格率是：
優(yōu)秀率是： …………3分
(2)由題意知，這20名醫(yī)生中，[20，30]有4人，[30，40]有6人，[40，50]有4人，[50，60]有3 人，[60，70]有2人，[70，80]有1人
① …………7分
?、趦?yōu)秀的人數(shù)為：3+2+1=6人
，
的分布列是：
0 1 2
故 的期望是 …………12分
21.解：(1) 面 面
等腰 中， 為 的中點(diǎn)， 面
又 在面 內(nèi)的射影是 ，
由三垂線(xiàn)定理知： …………4分
(2)以 為原點(diǎn)，分別以 的方向?yàn)?軸， 軸， 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由 得
又 則 ， 又
設(shè)平面 的一個(gè)法向量為
則
令 則 又
設(shè)直線(xiàn) 與平面 所成角為
則 …………8分
(3)假設(shè)在棱 上存在點(diǎn) ，使二面角 的余弦值為
設(shè) ，則
又 ，設(shè)平面 的一個(gè)法向量為
則
令
又 為平面 的一個(gè)法向量
則 解得 (負(fù)值舍)
故存在點(diǎn) 為棱 的靠近 的三分點(diǎn)符合條件. …………12分
22.解：(Ⅰ)橢圓方程為 …………3分
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為
則 ，又由 得
則 ，又
，故 ……7分
(Ⅱ)方法二：設(shè) 與 相切于點(diǎn)
則 即
又 即 (同上)
(Ⅲ)設(shè)
聯(lián)立
則 則
又 點(diǎn) 到直線(xiàn) 的距離為1， 即
則 ，
令 ，則 ，
又 ，由 得
故當(dāng) 時(shí)， ;當(dāng) 時(shí)， ， 的范圍是 ……12分
高二下學(xué)期數(shù)學(xué)理期中聯(lián)考試題
一 、選擇題 (本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.命題“存在實(shí)數(shù) ，使 >1”的否定是( )
A.對(duì)任意實(shí)數(shù) ，都有 >1 B.不存在實(shí)數(shù) ，使 ≤1
C.對(duì)任意實(shí)數(shù) ，都有 ≤1 D.存在實(shí)數(shù) ，使 ≤1
2.已知向量a=(1，0，-1)，則下列向量中與a成60°夾角的是( )
A.(-1，1，0) B.(1，-1，0)
C.(0，-1，1) D.(-1，0，1)
3. 是 的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
4.已知點(diǎn) 及拋物線(xiàn) 上一動(dòng)點(diǎn) ，則 的最小值是( )
A. 2 B.3 C.4 D.
5.已知 ， ，則 的最小值為( )
A. B. C. D.
6. 在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BCA=90°，點(diǎn)E、F分別是A1B1、A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1，則BE與AF所成的角的余弦值是( )
A. 3010 B. 12 C. 3015 D. 1510
7.已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，-5)，點(diǎn)P(x，-1，3)在平面ABC內(nèi)，則x的值為( )
A.-4 B.1 C.10 D.11
8.已知a>b>0，橢圓C1的方程為x2a2+y2b2=1，雙曲線(xiàn)C2的方程為x2a2-y2b2=1，C1與C2的離心率之積為32，則C2的漸近線(xiàn)方程為( )
A. x±2y=0 B. 2x±y=0 C. x±2y=0 D. 2x±y=0
9.已知橢圓E：x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3，0)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交E于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-1)，則E的方程為( )
A.x245+y236=1 B.x236+y227=1 C.x227+y218=1 D.x218+y29=1
10.雙曲線(xiàn)C： 的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P在C上且直線(xiàn)PA2斜率的取值范圍是[-4，-2]，那么直線(xiàn)PA1斜率的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分)。
11.在空間中，
(1)若四點(diǎn)不共面，則這四點(diǎn)中任三個(gè)點(diǎn)都不共線(xiàn);
(2)若兩條直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩條直線(xiàn)是異面直線(xiàn).
以上兩個(gè)命題中，逆命題為真命題的是_____________(只填序號(hào))
12.已知空間四邊形OABC，如圖所示，其對(duì)角線(xiàn)為OB，AC.M，N分別為OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線(xiàn)段MN上，且 ，現(xiàn)用基向量 表示向量 ，并設(shè) ，則 ______.
13.已知P是拋物線(xiàn)C： 上一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線(xiàn) 的最短距離為_(kāi)_____.
14.已知 直二面角α-l-β，點(diǎn)A∈α，AC⊥l，C為垂足.點(diǎn)B∈β，BD⊥l，D為垂足.若AB=2，AC=BD=1，則D到平面ABC的距離等于 ________.
15.已知橢圓E: 與雙曲線(xiàn)D: (a>0，b>0)，直線(xiàn) ： 與雙曲線(xiàn)D的兩條漸近線(xiàn)分別交于點(diǎn)A，B.若橢圓E的右焦點(diǎn)F在以線(xiàn)段AB為直徑的圓內(nèi)，則橢圓的離心率 的取值范圍是________.
三、解答題(本大題共6小題，滿(mǎn)分75分.解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟).
16.(本小題滿(mǎn)分12分)
已知命題P: 表示雙曲線(xiàn);命題q： ( ),若 是 的充分非必要條件，試求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
17.(本小題滿(mǎn)分12分)
如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點(diǎn).x
(1)求證：EF⊥CF;
(2)求 與 所成角的余弦值.
18.(本小題滿(mǎn)分12分)
設(shè)命題p：“直線(xiàn)x+y-m=0與圓 不相交”，命題q：“ 有一正根和一負(fù)根。”如果p q為真且p q為假，求m的取值范圍.
19.(本小題滿(mǎn)分12分)
已知拋物線(xiàn)C: ，過(guò)點(diǎn)K( ,0)的直線(xiàn)l與C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，且直線(xiàn)BD與x軸相交于點(diǎn)P(m,0),求m的值.
20. (本小題滿(mǎn)分13分)
已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC = AD = CD = DE = 2， AB = 1，F(xiàn)為CD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證：AF⊥平面CDE;
(Ⅱ)求直線(xiàn)AC與平面CBE所成角正弦值;
(Ⅲ)求面ACD和面BCE所成銳二面角的大小.
21. (本小題滿(mǎn)分14分)
已知橢圓C： 的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)構(gòu)成等腰直角三角形，直線(xiàn) 與以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心，以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè) 為橢圓上一點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn) 的直線(xiàn) 與橢圓 相交于不同的兩點(diǎn) 和 ,且滿(mǎn)足 (O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
參考答案
一、選擇題
1、C 2、B 3、B 4、A 5、D 6、A 7、D 8、A 9、D 10、C
二、填空題
11、(2) 12、 13、 14、 15.
三 、解答題(若不同于參考答案，可根據(jù)步驟酌情給分)
16. 解：由命題P得 ∴ 4分
由命題q得∴ 5分
由題意及逆否命題的等價(jià)性可知 ，即 7分
∴由 (不同時(shí)取等號(hào))及 得 11分
∴所求m的取值范圍為 12分
17.(1)證明：建立如圖所示的空間直有坐標(biāo)系D-xyz， 1分
則D(0，0，0)，E(0，0， )，C(0，1，0)，F(xiàn)( ， ，0)，G(1，1， ) 3分
所以 =( ， ，- )， =( ，- ，0)， =(1，0， )，
=(0，-1， ).4分 因?yàn)?，5分
所以 ，即EF⊥CF. 6分
(2)解：因?yàn)?， 8分
，
. 10分
所以 12分
18.解：對(duì)命題P：
由x+y-m=0和 得
則 ，∴
∴P為真時(shí) 3分
對(duì)命題q：則有題意得 得
∴q為真時(shí) 6分
由題意可知P與q有且只有一個(gè)命題為真命題 7分
若P假q真時(shí)， ∩ = 9分
若P真q假時(shí)， ∩ = 11分
綜述： 12分
19. 設(shè)A D ， 的方程為
將 代入 中整理得 4分
從而 5分
∴直線(xiàn)BD方程為 即 8分
令y=0,得 =2，10分 即P(2，0) ∴m=2 12分
20. 解：(Ⅰ)∵DE⊥平面ACD，AF 平面ACD，∴DE⊥AF.
又∵AC=AD，F(xiàn)為CD中點(diǎn)，∴AF⊥CD，
因CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE. ……………… 4分
(Ⅱ)取CE的中點(diǎn)Q，連接FQ，因?yàn)镕為CD的中點(diǎn)，則FQ∥DE，故DE⊥平面ACD
∴FQ⊥平面ACD，又由(Ⅰ)可知FD，F(xiàn)Q，F(xiàn)A兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系F—xyz,
∴直線(xiàn)AC與平面CBE所成角的正弦值為
(Ⅲ)平面ACD的一個(gè)法向量為 ，則
∴面ACD和面BCE所成銳二面角的大小為45°.………………13分
21. 解： (1)由題意：以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心，以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓的方程為 ,
∴圓心到直線(xiàn) 的距離
∵橢圓 的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)構(gòu)成等腰直角三角形， b=c, 代入*式得b=c=1 ∴
故所求橢圓方程為 5分
(Ⅱ)由題意知直線(xiàn) 的斜率存在，設(shè)直線(xiàn) 方程為 ，設(shè)
將直線(xiàn)方程代入橢圓方程得： ………… 6分
∴
∴ 7分
設(shè) , 則 ………………8分
當(dāng)t=0時(shí)，直線(xiàn)l的方程為y=0,此時(shí)t=0， 成立，故，t=0符合題意。
當(dāng) 時(shí)
得
∴ …………… 10分
將上式代入橢圓方程得：
整理得： 12分
由 知
綜上所以t∈(-2，2)…………… 14分
高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理科
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.設(shè) ，則 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于
A.第一象限 B.第二 象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知8件產(chǎn)品中有2件次品，從中任取3件，取到次品的件數(shù)為隨機(jī)變量，用 表示，那么 的取值為
A.0，1 B.1，2 C.0，1，2 D.0，1，2，3
3.計(jì)算
A.1 B.2 C.3 D.4
4.在曲線(xiàn) 上切線(xiàn)的斜率為3的點(diǎn)是
A.(0，0) B.(1，1) C.(-1，-1) D.(1，1)或(-1，-1)
5.某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中目標(biāo)的概率為0. 8，問(wèn)他連續(xù)射擊兩次都沒(méi)命中的概率為
A.0.8 B.0.64 C.0.16 D.0.04
6.下列函數(shù) 中，滿(mǎn)足“對(duì)任意 ，當(dāng) 時(shí)，都有 ”的是
A. B. C. D.
7.復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)是
A. B. C. D.
8.有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，則不同的選法共有
A.60種 B.70種 C.75種 D.150種
9.函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為
A. 與 B. C.(0，1) D.(1，+∞)
10.
A. B. C. D.
11.在 的展開(kāi)式中，記 項(xiàng)的系數(shù)為 ，則
A.210 B.120 C.60 D.54
12.已知函數(shù) ，若 存在唯一的零點(diǎn) ，且 ，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
A.(1，+∞) B.(2，+∞) C.(-∞，-1) D.(-∞，-2)
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為 ▲ .
14.從集合{0，1，2，3，4，5}中任取兩個(gè)互不相等的數(shù) 組成復(fù)數(shù) ，其中虛數(shù)有 ▲ 個(gè)(用數(shù)字作答).
15.設(shè)隨機(jī)變量 ，且 ， ，則 ▲ .
16.數(shù)列 滿(mǎn)足 ， ，則 ▲ .
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出證明過(guò)程或演算步驟.
17.(本小題滿(mǎn)分10分)
在 平面直角坐標(biāo)系 中，直線(xiàn) 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù))，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為 ( 為 參數(shù)).
(1)求直線(xiàn) 和曲線(xiàn)C的普通方程;
(2)求直線(xiàn) 和曲線(xiàn)C的公共點(diǎn)的坐標(biāo).
18.(本小題滿(mǎn)分12分)
某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用支出 與銷(xiāo)售額 (單位：百萬(wàn)元)之間有如下的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：
/百萬(wàn)元
2 4 5 6 8
/百萬(wàn)元
30 40 60 50 70
(1)求 與 之間的回歸直線(xiàn)方程;(參考數(shù)據(jù)： ， )
(2)試預(yù)測(cè)廣告費(fèi)用支出為1千萬(wàn)元時(shí)，銷(xiāo)售額是多少?
19.(本小題滿(mǎn)分12分)
隨機(jī)詢(xún)問(wèn)某大學(xué)40名不同性別的大學(xué)生在購(gòu)買(mǎi)食物時(shí)是否讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明，得到如下 列聯(lián)表：
讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明 不讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明 合計(jì)
男 16 4 20
女 8 12 20
合計(jì) 24 16 40
(1)根據(jù)以上列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“性別與是否讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明之間有關(guān)系”?
(2)從被詢(xún)問(wèn)的16名不讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明的大學(xué)生中，隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求抽到男生人數(shù) 的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
20.(本小題滿(mǎn)分12分)
如圖，在四面體 中， 平面 ， . 是 的中點(diǎn)， 是 的中點(diǎn)，點(diǎn) 在線(xiàn)段 上，且 .
(1)證明：BC⊥CM;
(2)證明： 平面 .
2 1.(本小題滿(mǎn)分12分)
已知函數(shù) ( )， 是 的導(dǎo)函數(shù).
(1)當(dāng) 時(shí)，對(duì)于任意的 ， ，求 的最小值;
(2) 若存在 ，使 ，求 的取值范圍.
22.(本小題滿(mǎn)分12分)
已知函數(shù) ( ).
(1)討論 的單調(diào)性;
(2)設(shè) ， ，證明： .
2014—2015學(xué)年第二學(xué)期統(tǒng)一檢測(cè)題
高二數(shù)學(xué)(理科)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C A D D A B C C D B D
二、填空題
13.6 14.25 15. 16.
三、解答題
17.(本小題滿(mǎn)分10分)
解：(1)由直線(xiàn) 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù))，得 ，代入 ，得直線(xiàn) 的普通方程為 . (3分)
由曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù))，得 ，代入 ，得曲線(xiàn)C的普通方程 . (6分)
(2)由題意，得 解得 或 . (8分)
故直線(xiàn) 和曲線(xiàn)C的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為 . (10分)
18.(本小題滿(mǎn)分12分)
解：(1) ， (1分)
， (2分)
， (3分)
， (4分)
， (6分)
， (8分)
所以回歸直線(xiàn)方程為 . (9分)
(2)當(dāng)x=10時(shí)， (百萬(wàn)元)，即當(dāng)廣告費(fèi)用支出為1千萬(wàn)元時(shí)，銷(xiāo)售額是8.25千萬(wàn)元. (12分)
19.(本小題滿(mǎn)分12分)
解：(1)因?yàn)?， (3分)
所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，認(rèn)為“性別與是否讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明之間有關(guān)系”.
(5分)
(2)由題意 的取值為0，1，2. (6分)
因?yàn)?， ， ，
所以 的分布列為：
0 1 2
(9分)
所以 的數(shù)學(xué)期望為 . (12分)
20.(本小題滿(mǎn)分12分)
證明：(1)因?yàn)锳D⊥平面BCD，BC平面BCD，
所以BCAD. (1分)
又BC⊥CD，且CD、AD平面ACD，CD∩AD=D，新課 標(biāo)第 一 網(wǎng)
所以BC平面ACD. (2分)
又CM平面ACD， (3分)
所以平面BCCM. (4分)
(2)取BD的中點(diǎn)E，在線(xiàn)段CD上取點(diǎn)F，使得DF=3FC，連接PE，EF，QF. (5分)
因?yàn)镻、E分別是BM、BD的中點(diǎn)，所以PE為△BDM的中位線(xiàn)， (6分)
所以PE//DM，且 ，即PE//AD，且 . (7分)
在△CAD中，AQ=3QC，DF=3FC，
所以QF//AD，且 . (9分)
所以PE//QF，且PE=QF，故四邊形EFQP為平行四邊形. (10分)
所以PQ//EF. (11分)
又EF平面BCD，PQ平面BCD，所以PQ//平面BCD. (12分)
21.(本小題滿(mǎn)分12分)
解：(1)當(dāng) 時(shí)， ， . (1分)
令 ，得 . (2分)
當(dāng) 時(shí)， ，所以 在(-1，0)上單調(diào)遞減;
當(dāng) 時(shí)， ，所以 在(0，1)上單調(diào)遞增;
所以對(duì)于 ， 的最小值為 . (3分)
因?yàn)?的開(kāi)口向下，且對(duì)稱(chēng)軸為 ，所以對(duì)于 ， 的最小值為 . (4分)
故 的最小值為-11. (5分)
(2) . (6分)
?、偃?，當(dāng) 時(shí)， ，所以 在 上單調(diào)遞減，又 ，則當(dāng) 時(shí)， . 所以當(dāng) 時(shí)，不存在 ，使 . (8分)
?、谌?，當(dāng) 時(shí)， ，所以 在 上單調(diào)遞增;當(dāng) 時(shí)， ，所以 在 上單調(diào)遞減;
故當(dāng) 時(shí)， . (10分)
依題意 ，解得 . (11分)
綜上， 的取值范圍是 . (12分)
22.(本小題滿(mǎn)分12分)
解：(1) 的定義域?yàn)?-1，+∞).
. (1分)
?、佼?dāng) 時(shí)，xkb1
若 ，則 ，所以 在 上單調(diào)遞增;
若 ，則 ，所以 在 上單調(diào)遞減;
若 ，則 ，所以 在 上單調(diào)遞增. (3分)
?、诋?dāng) 時(shí)， ，所以 在 上單調(diào)遞增. (4分)
③當(dāng) 時(shí)，
若 ，則 ，所以 在 上單調(diào)遞增;
若 ，則 ，所以 在 上單調(diào)遞減;
若 ，則 ，所以 在 上單調(diào)遞增. (6分)
(2)由(1)知，當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增，所以當(dāng) 時(shí)， ，即 . (7分)
又由(1)知，當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞減，所以當(dāng) ， ，即 . (8分)
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： .
?、佼?dāng) 時(shí)，由已知 ，故結(jié)論成立; (9分)
?、诩僭O(shè)當(dāng) 時(shí)結(jié)論成立，即 ，
當(dāng) 時(shí)， . (10分)
， (11分)
即當(dāng) 時(shí)，有 成立.
根據(jù)①、②知對(duì)任何 結(jié) 論成立. (12分)
第二學(xué)期高二級(jí)數(shù)學(xué)期中考試試題相關(guān)文章：