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高二數(shù)學(xué)必修三理科期末試卷

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  單元練習(xí)題是所有考生最大的需求點,只有這樣才能保證答題的準(zhǔn)確率和效率,以下是學(xué)習(xí)啦小編為您整理的關(guān)于高二數(shù)學(xué)必修三理科期末試卷的相關(guān)資料,供您閱讀。

  高二數(shù)學(xué)必修三理科期末試卷

  一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每個小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求的.

  1.如果a>b>0,那么下列不等式成立的是(  )

  A.a2>ab B.ab D. >

  2.“∀x∈R,x2﹣2>0”的否定是(  )

  A.∀x∈R,x2﹣2<0 B.∀x∈R,x2﹣2≤0

  C.∃x0∈R,x ﹣2<0 D.∃x0∈R,x ﹣2≤0

  3.在等差數(shù)列{an}中,a5=5,a10=15,則a15=(  )

  A.20 B.25 C.45 D.75

  4.在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,a=3,A=45°,B=60°,則b=(  )

  A. B. C. D.

  5.函數(shù)y=lnx+x在點(1,1)處的切線方程是(  )

  A.2x﹣y﹣1=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y+1=0 D.x+2y﹣1=0

  6.“m>0”是“x2+x+m=0無實根”的(  )

  A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

  C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

  7.函數(shù)f(x)的定義域為R,其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖,則f(x)的極值點有(  )

  A.3個 B.4個 C.5個 D.6個

  8.已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,a1+a5=17,a2a4=16,則公比q=(  )

  A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2

  9.經(jīng)過點(3,﹣ )的雙曲線 ﹣ =1,其一條漸近線方程為y= x,該雙曲線的焦距為(  )

  A. B.2 C.2 D.4

  10.若函數(shù)f(x)=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1處有極值,則9a+3b的最小值為(  )

  A.4 B.9 C.18 D.81

  11.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,直線DC1與平面A1BD所成角的余弦值是(  )

  A. B. C. D.

  12.設(shè)橢圓 + =1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,P是橢圓上一點,|PF1|=λ|PF2|( ≤λ≤2),∠F1PF2= ,則橢圓離心率的取值范圍為(  )

  A.(0, ] B.[ , ] C.[ , ] D.[ ,1)

  二、填空題:本大題共4個小題,每小題5分.、共20分.

  13.已知 =(2,3,1), =(x,y,2),若 ∥ ,則x+y=      .

  14.若變量x,y滿足約束條件 ,則z=x﹣2y的最小值為      .

  15.已知在觀測點P處測得在正東方向A處一輪船正在沿正北方向勻速航行,經(jīng)過1小時后在觀測點P測得輪船位于北偏東60°方向B處,又經(jīng)過t小時發(fā)現(xiàn)該輪船在北偏東45°方向C處,則t=      .

  16.對于正整數(shù)n,設(shè)曲線y=xn(2﹣x)在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標(biāo)為an,則數(shù)列{an}的前n項和為Sn=      .

  三、解答題:本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

  17.已知等差數(shù)列{an},公差為2,的前n項和為Sn,且a1,S2,S4成等比數(shù)列,

  (1)求數(shù)列{an}的通項公式;

  (2)設(shè)bn= (n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

  18.△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知(a+c)2﹣b2=3ac

  (1)求角B;

  (2)當(dāng)b=6,sinC=2sinA時,求△ABC的面積.

  19.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,C上一點(3,m)到焦點的距離為5.

  (1)求C的方程;

  (2)過F作直線l,交C于A、B兩點,若線段AB中點的縱坐標(biāo)為﹣1,求直線l的方程.

  20.如圖,在多面體ABCDE中,∠BAC=90°,AB=AC=2,CD=2AE=2,AE∥CD,且AE⊥底面ABC,F(xiàn)為BC的中點.

  (Ⅰ)求證:AF⊥BD;

  (Ⅱ)求二面角A﹣BE﹣D的余弦值.

  21.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx在x=1處取得極值2.

  (Ⅰ)求f(x)的解析式;

  (Ⅱ)若(m+3)x﹣x2ex+2x2≤f(x)對于任意的x∈(0,+∞)成立,求實數(shù)m的取值范圍.

  22.曲線C上的動點M到定點F(1,0)的距離和它到定直線x=3的距離之比是1: .

  (Ⅰ)求曲線C的方程;

  (Ⅱ)過點F(1,0)的直線l與C交于A,B兩點,當(dāng)△ABO面積為 時,求直線l的方程.

  高二數(shù)學(xué)必修三理科期末試卷參考答案與試題解析

  一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每個小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求的.

  1.如果a>b>0,那么下列不等式成立的是(  )

  A.a2>ab B.ab D. >

  【分析】利用不等式的基本性質(zhì)即可判斷出結(jié)論.

  【解答】解:∵a>b>0,

  ∴a2>ab,ab>b2, ,b2

  故選:A.

  【點評】本題考查了不等式的基本性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.

  2.“∀x∈R,x2﹣2>0”的否定是(  )

  A.∀x∈R,x2﹣2<0 B.∀x∈R,x2﹣2≤0

  C.∃x0∈R,x ﹣2<0 D.∃x0∈R,x ﹣2≤0

  【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進(jìn)行判斷即可.

  【解答】解:命題是全稱命題,則命題的否定是特稱命題,

  即∃x0∈R,x ﹣2≤0,

  故選:D.

  【點評】本題主要考查含有量詞的命題的否定,比較基礎(chǔ).

  3.在等差數(shù)列{an}中,a5=5,a10=15,則a15=(  )

  A.20 B.25 C.45 D.75

  【分析】利用等差數(shù)列的通項公式列出方程組,求出首項和公差,由此能求出數(shù)列的第15項.

  【解答】解:∵在等差數(shù)列{an}中,a5=5,a10=15,

  ∴ ,

  解得a1=﹣3,d=2,

  ∴a15=﹣3+14×2=25.

  故選:B.

  【點評】本題考查等差數(shù)列的第15項的求法,是基礎(chǔ)題,解題時要認(rèn)真審題,注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用.

  4.在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,a=3,A=45°,B=60°,則b=(  )

  A. B. C. D.

  【分析】由已知利用正弦定理即可求值得解.

  【解答】解:∵a=3,A=45°,B=60°,

  ∴由正弦定理可得:b= = = .

  故選:B.

  【點評】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

  5.函數(shù)y=lnx+x在點(1,1)處的切線方程是(  )

  A.2x﹣y﹣1=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y+1=0 D.x+2y﹣1=0

  【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.

  【解答】解:函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)= +1,

  則f′(1)=1+1=2,

  即切線斜率k=2,

  則函數(shù)y=lnx+x在點(1,1)處的切線方程是y﹣1=2(x﹣1),

  即2x﹣y﹣1=0,

  故選:A.

  【點評】本題主要考查函數(shù)的切線的求解,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率是解決本題的關(guān)鍵.

  6.“m>0”是“x2+x+m=0無實根”的(  )

  A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

  C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

  【分析】x2+x+m=0無實根⇔△<0,即可判斷出結(jié)論.

  【解答】解:x2+x+m=0無實根⇔△=1﹣4m<0,⇔m .

  ∴“m>0”是“x2+x+m=0無實根”的必要不充分條件,

  故選:B.

  【點評】本題考查了一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

  7.函數(shù)f(x)的定義域為R,其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖,則f(x)的極值點有(  )

  A.3個 B.4個 C.5個 D.6個

  【分析】結(jié)合圖象,根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于零,即導(dǎo)函數(shù)的圖象在x軸上方,說明原函數(shù)在該區(qū)間上是單調(diào)遞增,否則為減函數(shù),極大值點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號,從左往右,符號相反,因此根據(jù)圖象即可求得極值點的個數(shù),

  【解答】解:結(jié)合函數(shù)圖象,根據(jù)極值的定義可知在該點處從左向右導(dǎo)數(shù)符號相反,

  從圖象上可看出符合條件的有3點,

  故選:A.

  【點評】本題主要考查函數(shù)在某點取得極值的條件,以及學(xué)生的識圖能力.屬于基礎(chǔ)題.

  8.已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,a1+a5=17,a2a4=16,則公比q=(  )

  A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2

  【分析】設(shè)等比數(shù)列{an}是公比為q的遞增的等比數(shù)列,運用等比數(shù)列的性質(zhì),求得a1=1,a5=16,再由等比數(shù)列的通項公式求得公比即可.

  【解答】解:設(shè)等比數(shù)列{an}是公比為q的遞增的等比數(shù)列,

  由a2a4=16,可得a1a5=16,

  又a1+a5=17,解得 或 (不合題意,舍去),

  即有q4=16,解得q=2(負(fù)的舍去).

  故選:D.

  【點評】本題考查等比數(shù)列的通項公式的運用,是基礎(chǔ)題.

  9.經(jīng)過點(3,﹣ )的雙曲線 ﹣ =1,其一條漸近線方程為y= x,該雙曲線的焦距為(  )

  A. B.2 C.2 D.4

  【分析】將點(3,﹣ )代入雙曲線的方程,由漸近線方程可得 = ,解得a,b,可得c=2,進(jìn)而得到焦距2c=4.

  【解答】解:點(3,﹣ )在雙曲線 ﹣ =1上,可得

  ﹣ =1,

  又漸近線方程為y=± x,一條漸近線方程為y= x,

  可得 = ,

  解得a= ,b=1,

  可得c= =2,

  即有焦距為2c=4.

  故選:D.

  【點評】本題考查雙曲線的焦距的求法,注意運用點滿足雙曲線的方程和漸近線方程的運用,考查運算能力,屬于基礎(chǔ)題.

  10.若函數(shù)f(x)=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1處有極值,則9a+3b的最小值為(  )

  A.4 B.9 C.18 D.81

  【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到2a+b=4,根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出代數(shù)式的最小值即可.

  【解答】解:f′(x)=4x3﹣2ax﹣b,

  若f(x)在x=1處有極值,

  則f′(x)=4﹣2a﹣b=0,

  ∴2a+b=4,

  ∴9a+3b=32a+3b≥2 =18,

  當(dāng)且僅當(dāng)9a=3b時“=”成立,

  故選:C.

  【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查基本不等式的性質(zhì),是一道基礎(chǔ)題.

  11.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,直線DC1與平面A1BD所成角的余弦值是(  )

  A. B. C. D.

  【分析】以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出直線DC1與平面A1BD所成角的余弦值.

  【解答】解:以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

  設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長為1,

  則D(0,0,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),B(1,1,0),

  =(0,1,1), =(1,0,1), =(1,1,0),

  設(shè)平面A1BD的法向量 =(x,y,z),

  則 ,取x=1,得 =(1,﹣1,﹣1),

  設(shè)直線DC1與平面A1BD所成角為θ,

  則sinθ= = = ,

  ∴cosθ= = .

  ∴直線DC1與平面A1BD所成角的余弦值為 .

  故選:C.

  【點評】本題考查直線與平面所成角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運用.

  12.設(shè)橢圓 + =1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,P是橢圓上一點,|PF1|=λ|PF2|( ≤λ≤2),∠F1PF2= ,則橢圓離心率的取值范圍為(  )

  A.(0, ] B.[ , ] C.[ , ] D.[ ,1)

  【分析】設(shè)F1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0),運用橢圓的定義和勾股定理,求得e2= ,令m=λ+1,可得λ=m﹣1,即有 = =2( ﹣ )2+ ,運用二次函數(shù)的最值的求法,解不等式可得所求范圍.

  【解答】解:設(shè)F1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0),由橢圓的定義可得,|PF1|+|PF2|=2a,

  可設(shè)|PF2|=t,可得|PF1|=λt,

  即有(λ+1)t=2a①

  由∠F1PF2= ,可得|PF1|2+|PF2|2=4c2,

  即為(λ2+1)t2=4c2,②

  由②÷①2,可得e2= ,

  令m=λ+1,可得λ=m﹣1,

  即有 = =2( ﹣ )2+ ,

  由 ≤λ≤2,可得 ≤m≤3,即 ≤ ≤ ,

  則m=2時,取得最小值 ;m= 或3時,取得最大值 .

  即有 ≤e2≤ ,解得 ≤e≤ .

  故選:B.

  【點評】本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì),主要考查離心率的范圍,同時考查不等式的解法,屬于中檔題.

  二、填空題:本大題共4個小題,每小題5分.、共20分.

  13.已知 =(2,3,1), =(x,y,2),若 ∥ ,則x+y= 10 .

  【分析】根據(jù)向量的共線定理,列出方程組求出x、y的值,再計算x+y的值.

  【解答】解:∵ =(2,3,1), =(x,y,2),且 ∥ ,

  ∴ = = ,

  解得x=4,y=6;

  ∴x+y=10.

  故答案為:10.

  【點評】本題考查了空間向量的坐標(biāo)運算與共線定理的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題.

  14.若變量x,y滿足約束條件 ,則z=x﹣2y的最小值為 ﹣2 .

  【分析】作出可行域,變形目標(biāo)函數(shù),平移直線y= x可得結(jié)論.

  【解答】解:作出約束條件 所對應(yīng)的可行域(如圖△ABC),

  變形目標(biāo)函數(shù)可得y= x﹣ z,平移直線y= x可知,

  當(dāng)直線經(jīng)過點A( , )時,直線的截距最大,z取最小值﹣2,

  故答案為:﹣2.

  【點評】本題考查簡單線性規(guī)劃,準(zhǔn)確作圖是解決問題的關(guān)鍵,屬中檔題.

  15.已知在觀測點P處測得在正東方向A處一輪船正在沿正北方向勻速航行,經(jīng)過1小時后在觀測點P測得輪船位于北偏東60°方向B處,又經(jīng)過t小時發(fā)現(xiàn)該輪船在北偏東45°方向C處,則t=   .

  【分析】設(shè)輪船的速度為v,求出BC,即可得出結(jié)論.

  【解答】解:設(shè)輪船的速度為v,則AB=v,PA=AC= v,

  ∴BC=( ﹣1)v,

  ∴t= = .

  故答案為: .

  【點評】本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.

  16.對于正整數(shù)n,設(shè)曲線y=xn(2﹣x)在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標(biāo)為an,則數(shù)列{an}的前n項和為Sn= 2n+2﹣4 .

  【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程為y=﹣2n(x﹣2),從而得到an=2n+1,利用等比數(shù)列的求和公式能求出Sn.

  【解答】解:∵y=xn(2﹣x),∴y'=2nxn﹣1﹣(n+1)xn,

  ∴曲線y=xn(2﹣x)在x=2處的切線的斜率為k=n2n﹣(n+1)2n=﹣2n,

  切點為(2,0),

  ∴切線方程為y=﹣2n(x﹣2),

  令x=0得an=2n+1,

  ∴Sn= =2n+2﹣4,

  故答案為:2n+2﹣4.

  【點評】考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程的能力,以及利用等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行數(shù)列求和的能力.

  三、解答題:本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

  17.已知等差數(shù)列{an},公差為2,的前n項和為Sn,且a1,S2,S4成等比數(shù)列,

  (1)求數(shù)列{an}的通項公式;

  (2)設(shè)bn= (n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

  【分析】(1))由a1,S2,S4成等比數(shù)列得 .化簡解得a1,再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出;

  (2)利用“裂項求和”即可得出.

  【解答】解:(1))由a1,S2,S4成等比數(shù)列得 .

  化簡得 ,又d=2,解得a1=1,

  故數(shù)列{an}的通項公式 …

  (2)∵ ∴由(1)得 ,

  ∴ = ….

  【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

  18.△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知(a+c)2﹣b2=3ac

  (1)求角B;

  (2)當(dāng)b=6,sinC=2sinA時,求△ABC的面積.

  【分析】(1)由余弦定理變形已知式子可得cosB的值,可得B值;

  (2)由題意和正弦定理可得c=2a,代入b2=a2﹣ac+c2可得a和c的值,可得三角形為直角三角形,由面積公式可得.

  【解答】解:(1)∵(a+c)2﹣b2=3ac,∴b2=a2﹣ac+c2,

  ∴ac=a2+c2﹣b2,∴

  ∵B∈(0,π),∴ ;

  (2)∵sinC=2sinA,∴由正弦定理可得c=2a,

  代入b2=a2﹣ac+c2可得36=a2+4a2﹣2a2,

  解得 , ,滿足a2+b2=c2,

  ∴△ABC為直角三角形,

  ∴△ABC的面積S= ×2 ×6=6 .

  【點評】本題考查正余弦定理解三角形,涉及三角形的面積公式,屬基礎(chǔ)題.

  19.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,C上一點(3,m)到焦點的距離為5.

  (1)求C的方程;

  (2)過F作直線l,交C于A、B兩點,若線段AB中點的縱坐標(biāo)為﹣1,求直線l的方程.

  【分析】(1)利用拋物線的定義,求出p,即可求C的方程;

  (2)利用點差法求出直線l的斜率,即可求直線l的方程.

  【解答】解:(1)拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為 ,

  由拋物線的定義可知

  解得p=4

  ∴C的方程為y2=8x.

  (2)由(1)得拋物線C的方程為y2=8x,焦點F(2,0)

  設(shè)A,B兩點的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),

  則

  兩式相減.整理得

  ∵線段AB中點的縱坐標(biāo)為﹣1

  ∴直線l的斜率

  直線l的方程為y﹣0=﹣4(x﹣2)即4x+y﹣8=0

  【點評】本題考查拋物線的定義與方程,考查點差法的運用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

  20.如圖,在多面體ABCDE中,∠BAC=90°,AB=AC=2,CD=2AE=2,AE∥CD,且AE⊥底面ABC,F(xiàn)為BC的中點.

  (Ⅰ)求證:AF⊥BD;

  (Ⅱ)求二面角A﹣BE﹣D的余弦值.

  【分析】(1)推導(dǎo)出AF⊥BC,從而AF⊥DC,進(jìn)而AF⊥面BCD,由此能證明AF⊥BD.

  (2)以A為原點,AB為x軸,AC為y軸,AE為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣D的余弦值.

  【解答】證明:(1)∵AB=AC,F(xiàn)為BC的中點,

  ∴AF⊥BC,又AE∥CD,且AE⊥底面ABC,AF⊂底面ABC,

  ∴AF⊥DC,又BC∩DC=C,且BC、DC⊂面BCD,

  ∴AF⊥面BCD,又BD⊂面BCD,∴AF⊥BD.…

  解:(2)以A為原點,AB為x軸,AC為y軸,AE為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖,

  ∴B(2,0,0),D(0,2,2),E(0,0,1),

  , ,

  設(shè)面BED的一個法向量為 ,

  則 ,令z=2得x=1,y=﹣1,∴ ,

  又面ABE的一個法向量為 ,

  ∴ ,

  ∵二面角A﹣BE﹣D的平面角是銳角,

  ∴二面角A﹣BE﹣D的余弦值為 .…

  【點評】本題考查異面直線垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運用.

  21.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx在x=1處取得極值2.

  (Ⅰ)求f(x)的解析式;

  (Ⅱ)若(m+3)x﹣x2ex+2x2≤f(x)對于任意的x∈(0,+∞)成立,求實數(shù)m的取值范圍.

  【分析】(Ⅰ)根據(jù)極值的定義得到關(guān)于a,b的方程組,求出a,b的值,從而求出f(x)的表達(dá)式;

  (Ⅱ)問題等價于m≤xex﹣x2﹣2x于任意的x∈(0,+∞)成立,設(shè)h(x)=xex﹣x2﹣2x,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可.

  【解答】解:(Ⅰ)∵函數(shù)f(x)=ax3+bx在x=1處取得極值2,

  ∴ ,解得 ,

  ∴f(x)=﹣x3+3x…

  (Ⅱ)∵(m+3)x﹣x2ex+2x2≤f(x)對于任意的x∈(0,+∞)成立,

  ∴(m+3)x﹣x2ex+2x2≤﹣x3+3x

  ⇔m≤xex﹣x2﹣2x于任意的x∈(0,+∞)成立

  設(shè)h(x)=xex﹣x2﹣2x,

  則h′(x)=ex+xex﹣2x﹣2=(x+1)(ex﹣2),

  令h′(x)=0解得x=ln2,

  且當(dāng)0

  當(dāng)x>ln2時,h′(x)>0,

  ∴h(x)=xex﹣x2﹣2x在(0,ln2)上單調(diào)遞減,在(ln2,+∞)上單調(diào)遞增,

  ∴ ,

  ∴m≤﹣(ln2)2.

  【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題,是一道中檔題.

  22.曲線C上的動點M到定點F(1,0)的距離和它到定直線x=3的距離之比是1: .

  (Ⅰ)求曲線C的方程;

  (Ⅱ)過點F(1,0)的直線l與C交于A,B兩點,當(dāng)△ABO面積為 時,求直線l的方程.

  【分析】(Ⅰ)設(shè)M(x,y),運用兩點的距離公式和點到直線的距離公式,化簡整理即可得到所求方程;

  (Ⅱ)當(dāng)l斜率不存在時,l方程為x=1,求得A,B的坐標(biāo),以及△ABO的面積;由直線l斜率存在,設(shè)l方程為y=k(x﹣1),代入橢圓方程,運用韋達(dá)定理和弦長公式,以及點到直線的距離公式,解方程可得斜率k,進(jìn)而得到所求直線的方程.

  【解答】解:(Ⅰ)設(shè)M(x,y)

  由題意可得, ,

  整理得 ,

  則曲線C的方程為 ;

  (Ⅱ)當(dāng)l斜率不存在時,l方程為x=1,

  此時l與C的交點分別為 , ,

  即有 ,

  則 ,

  由直線l斜率存在,設(shè)l方程為y=k(x﹣1),

  由 ,

  得 , ,

  ∴ .

  設(shè)O到l的距離為d,則 ,

  ∴ ,

  解得k=±1.

  綜上所述,當(dāng)△ABO面積為 時,l的方程為y=x﹣1或y=﹣x+1.

  【點評】本題考查軌跡方程的求法,注意運用坐標(biāo)法,考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運用韋達(dá)定理和弦長公式,考查運算能力,屬于中檔題.

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