高二數(shù)學(xué)必修三理科期末試卷
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高二數(shù)學(xué)必修三理科期末試卷
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求的.
1.如果a>b>0,那么下列不等式成立的是( )
A.a2>ab B.ab D. >
2.“∀x∈R,x2﹣2>0”的否定是( )
A.∀x∈R,x2﹣2<0 B.∀x∈R,x2﹣2≤0
C.∃x0∈R,x ﹣2<0 D.∃x0∈R,x ﹣2≤0
3.在等差數(shù)列{an}中,a5=5,a10=15,則a15=( )
A.20 B.25 C.45 D.75
4.在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,a=3,A=45°,B=60°,則b=( )
A. B. C. D.
5.函數(shù)y=lnx+x在點(diǎn)(1,1)處的切線方程是( )
A.2x﹣y﹣1=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y+1=0 D.x+2y﹣1=0
6.“m>0”是“x2+x+m=0無(wú)實(shí)根”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
7.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖,則f(x)的極值點(diǎn)有( )
A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)
8.已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,a1+a5=17,a2a4=16,則公比q=( )
A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2
9.經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,﹣ )的雙曲線 ﹣ =1,其一條漸近線方程為y= x,該雙曲線的焦距為( )
A. B.2 C.2 D.4
10.若函數(shù)f(x)=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1處有極值,則9a+3b的最小值為( )
A.4 B.9 C.18 D.81
11.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,直線DC1與平面A1BD所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
12.設(shè)橢圓 + =1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,P是橢圓上一點(diǎn),|PF1|=λ|PF2|( ≤λ≤2),∠F1PF2= ,則橢圓離心率的取值范圍為( )
A.(0, ] B.[ , ] C.[ , ] D.[ ,1)
二、填空題:本大題共4個(gè)小題,每小題5分.、共20分.
13.已知 =(2,3,1), =(x,y,2),若 ∥ ,則x+y= .
14.若變量x,y滿足約束條件 ,則z=x﹣2y的最小值為 .
15.已知在觀測(cè)點(diǎn)P處測(cè)得在正東方向A處一輪船正在沿正北方向勻速航行,經(jīng)過(guò)1小時(shí)后在觀測(cè)點(diǎn)P測(cè)得輪船位于北偏東60°方向B處,又經(jīng)過(guò)t小時(shí)發(fā)現(xiàn)該輪船在北偏東45°方向C處,則t= .
16.對(duì)于正整數(shù)n,設(shè)曲線y=xn(2﹣x)在x=2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為an,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn= .
三、解答題:本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.已知等差數(shù)列{an},公差為2,的前n項(xiàng)和為Sn,且a1,S2,S4成等比數(shù)列,
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn= (n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
18.△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知(a+c)2﹣b2=3ac
(1)求角B;
(2)當(dāng)b=6,sinC=2sinA時(shí),求△ABC的面積.
19.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,C上一點(diǎn)(3,m)到焦點(diǎn)的距離為5.
(1)求C的方程;
(2)過(guò)F作直線l,交C于A、B兩點(diǎn),若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣1,求直線l的方程.
20.如圖,在多面體ABCDE中,∠BAC=90°,AB=AC=2,CD=2AE=2,AE∥CD,且AE⊥底面ABC,F(xiàn)為BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AF⊥BD;
(Ⅱ)求二面角A﹣BE﹣D的余弦值.
21.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx在x=1處取得極值2.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若(m+3)x﹣x2ex+2x2≤f(x)對(duì)于任意的x∈(0,+∞)成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
22.曲線C上的動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F(1,0)的距離和它到定直線x=3的距離之比是1: .
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)F(1,0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)△ABO面積為 時(shí),求直線l的方程.
高二數(shù)學(xué)必修三理科期末試卷參考答案與試題解析
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求的.
1.如果a>b>0,那么下列不等式成立的是( )
A.a2>ab B.ab D. >
【分析】利用不等式的基本性質(zhì)即可判斷出結(jié)論.
【解答】解:∵a>b>0,
∴a2>ab,ab>b2, ,b2
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的基本性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
2.“∀x∈R,x2﹣2>0”的否定是( )
A.∀x∈R,x2﹣2<0 B.∀x∈R,x2﹣2≤0
C.∃x0∈R,x ﹣2<0 D.∃x0∈R,x ﹣2≤0
【分析】根據(jù)全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題進(jìn)行判斷即可.
【解答】解:命題是全稱(chēng)命題,則命題的否定是特稱(chēng)命題,
即∃x0∈R,x ﹣2≤0,
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含有量詞的命題的否定,比較基礎(chǔ).
3.在等差數(shù)列{an}中,a5=5,a10=15,則a15=( )
A.20 B.25 C.45 D.75
【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組,求出首項(xiàng)和公差,由此能求出數(shù)列的第15項(xiàng).
【解答】解:∵在等差數(shù)列{an}中,a5=5,a10=15,
∴ ,
解得a1=﹣3,d=2,
∴a15=﹣3+14×2=25.
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的第15項(xiàng)的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.
4.在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,a=3,A=45°,B=60°,則b=( )
A. B. C. D.
【分析】由已知利用正弦定理即可求值得解.
【解答】解:∵a=3,A=45°,B=60°,
∴由正弦定理可得:b= = = .
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
5.函數(shù)y=lnx+x在點(diǎn)(1,1)處的切線方程是( )
A.2x﹣y﹣1=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y+1=0 D.x+2y﹣1=0
【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.
【解答】解:函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)= +1,
則f′(1)=1+1=2,
即切線斜率k=2,
則函數(shù)y=lnx+x在點(diǎn)(1,1)處的切線方程是y﹣1=2(x﹣1),
即2x﹣y﹣1=0,
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的切線的求解,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率是解決本題的關(guān)鍵.
6.“m>0”是“x2+x+m=0無(wú)實(shí)根”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【分析】x2+x+m=0無(wú)實(shí)根⇔△<0,即可判斷出結(jié)論.
【解答】解:x2+x+m=0無(wú)實(shí)根⇔△=1﹣4m<0,⇔m .
∴“m>0”是“x2+x+m=0無(wú)實(shí)根”的必要不充分條件,
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、不等式的解法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
7.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖,則f(x)的極值點(diǎn)有( )
A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)
【分析】結(jié)合圖象,根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于零,即導(dǎo)函數(shù)的圖象在x軸上方,說(shuō)明原函數(shù)在該區(qū)間上是單調(diào)遞增,否則為減函數(shù),極大值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào),從左往右,符號(hào)相反,因此根據(jù)圖象即可求得極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),
【解答】解:結(jié)合函數(shù)圖象,根據(jù)極值的定義可知在該點(diǎn)處從左向右導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反,
從圖象上可看出符合條件的有3點(diǎn),
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件,以及學(xué)生的識(shí)圖能力.屬于基礎(chǔ)題.
8.已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,a1+a5=17,a2a4=16,則公比q=( )
A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2
【分析】設(shè)等比數(shù)列{an}是公比為q的遞增的等比數(shù)列,運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì),求得a1=1,a5=16,再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得公比即可.
【解答】解:設(shè)等比數(shù)列{an}是公比為q的遞增的等比數(shù)列,
由a2a4=16,可得a1a5=16,
又a1+a5=17,解得 或 (不合題意,舍去),
即有q4=16,解得q=2(負(fù)的舍去).
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用,是基礎(chǔ)題.
9.經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,﹣ )的雙曲線 ﹣ =1,其一條漸近線方程為y= x,該雙曲線的焦距為( )
A. B.2 C.2 D.4
【分析】將點(diǎn)(3,﹣ )代入雙曲線的方程,由漸近線方程可得 = ,解得a,b,可得c=2,進(jìn)而得到焦距2c=4.
【解答】解:點(diǎn)(3,﹣ )在雙曲線 ﹣ =1上,可得
﹣ =1,
又漸近線方程為y=± x,一條漸近線方程為y= x,
可得 = ,
解得a= ,b=1,
可得c= =2,
即有焦距為2c=4.
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的焦距的求法,注意運(yùn)用點(diǎn)滿足雙曲線的方程和漸近線方程的運(yùn)用,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
10.若函數(shù)f(x)=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1處有極值,則9a+3b的最小值為( )
A.4 B.9 C.18 D.81
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到2a+b=4,根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出代數(shù)式的最小值即可.
【解答】解:f′(x)=4x3﹣2ax﹣b,
若f(x)在x=1處有極值,
則f′(x)=4﹣2a﹣b=0,
∴2a+b=4,
∴9a+3b=32a+3b≥2 =18,
當(dāng)且僅當(dāng)9a=3b時(shí)“=”成立,
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查基本不等式的性質(zhì),是一道基礎(chǔ)題.
11.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,直線DC1與平面A1BD所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
【分析】以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出直線DC1與平面A1BD所成角的余弦值.
【解答】解:以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長(zhǎng)為1,
則D(0,0,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),B(1,1,0),
=(0,1,1), =(1,0,1), =(1,1,0),
設(shè)平面A1BD的法向量 =(x,y,z),
則 ,取x=1,得 =(1,﹣1,﹣1),
設(shè)直線DC1與平面A1BD所成角為θ,
則sinθ= = = ,
∴cosθ= = .
∴直線DC1與平面A1BD所成角的余弦值為 .
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面所成角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
12.設(shè)橢圓 + =1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,P是橢圓上一點(diǎn),|PF1|=λ|PF2|( ≤λ≤2),∠F1PF2= ,則橢圓離心率的取值范圍為( )
A.(0, ] B.[ , ] C.[ , ] D.[ ,1)
【分析】設(shè)F1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0),運(yùn)用橢圓的定義和勾股定理,求得e2= ,令m=λ+1,可得λ=m﹣1,即有 = =2( ﹣ )2+ ,運(yùn)用二次函數(shù)的最值的求法,解不等式可得所求范圍.
【解答】解:設(shè)F1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0),由橢圓的定義可得,|PF1|+|PF2|=2a,
可設(shè)|PF2|=t,可得|PF1|=λt,
即有(λ+1)t=2a①
由∠F1PF2= ,可得|PF1|2+|PF2|2=4c2,
即為(λ2+1)t2=4c2,②
由②÷①2,可得e2= ,
令m=λ+1,可得λ=m﹣1,
即有 = =2( ﹣ )2+ ,
由 ≤λ≤2,可得 ≤m≤3,即 ≤ ≤ ,
則m=2時(shí),取得最小值 ;m= 或3時(shí),取得最大值 .
即有 ≤e2≤ ,解得 ≤e≤ .
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì),主要考查離心率的范圍,同時(shí)考查不等式的解法,屬于中檔題.
二、填空題:本大題共4個(gè)小題,每小題5分.、共20分.
13.已知 =(2,3,1), =(x,y,2),若 ∥ ,則x+y= 10 .
【分析】根據(jù)向量的共線定理,列出方程組求出x、y的值,再計(jì)算x+y的值.
【解答】解:∵ =(2,3,1), =(x,y,2),且 ∥ ,
∴ = = ,
解得x=4,y=6;
∴x+y=10.
故答案為:10.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與共線定理的應(yīng)用問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.
14.若變量x,y滿足約束條件 ,則z=x﹣2y的最小值為 ﹣2 .
【分析】作出可行域,變形目標(biāo)函數(shù),平移直線y= x可得結(jié)論.
【解答】解:作出約束條件 所對(duì)應(yīng)的可行域(如圖△ABC),
變形目標(biāo)函數(shù)可得y= x﹣ z,平移直線y= x可知,
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A( , )時(shí),直線的截距最大,z取最小值﹣2,
故答案為:﹣2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃,準(zhǔn)確作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,屬中檔題.
15.已知在觀測(cè)點(diǎn)P處測(cè)得在正東方向A處一輪船正在沿正北方向勻速航行,經(jīng)過(guò)1小時(shí)后在觀測(cè)點(diǎn)P測(cè)得輪船位于北偏東60°方向B處,又經(jīng)過(guò)t小時(shí)發(fā)現(xiàn)該輪船在北偏東45°方向C處,則t= .
【分析】設(shè)輪船的速度為v,求出BC,即可得出結(jié)論.
【解答】解:設(shè)輪船的速度為v,則AB=v,PA=AC= v,
∴BC=( ﹣1)v,
∴t= = .
故答案為: .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題.
16.對(duì)于正整數(shù)n,設(shè)曲線y=xn(2﹣x)在x=2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為an,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn= 2n+2﹣4 .
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程為y=﹣2n(x﹣2),從而得到an=2n+1,利用等比數(shù)列的求和公式能求出Sn.
【解答】解:∵y=xn(2﹣x),∴y'=2nxn﹣1﹣(n+1)xn,
∴曲線y=xn(2﹣x)在x=2處的切線的斜率為k=n2n﹣(n+1)2n=﹣2n,
切點(diǎn)為(2,0),
∴切線方程為y=﹣2n(x﹣2),
令x=0得an=2n+1,
∴Sn= =2n+2﹣4,
故答案為:2n+2﹣4.
【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程的能力,以及利用等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行數(shù)列求和的能力.
三、解答題:本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.已知等差數(shù)列{an},公差為2,的前n項(xiàng)和為Sn,且a1,S2,S4成等比數(shù)列,
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn= (n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
【分析】(1))由a1,S2,S4成等比數(shù)列得 .化簡(jiǎn)解得a1,再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出;
(2)利用“裂項(xiàng)求和”即可得出.
【解答】解:(1))由a1,S2,S4成等比數(shù)列得 .
化簡(jiǎn)得 ,又d=2,解得a1=1,
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式 …
(2)∵ ∴由(1)得 ,
∴ = ….
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
18.△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知(a+c)2﹣b2=3ac
(1)求角B;
(2)當(dāng)b=6,sinC=2sinA時(shí),求△ABC的面積.
【分析】(1)由余弦定理變形已知式子可得cosB的值,可得B值;
(2)由題意和正弦定理可得c=2a,代入b2=a2﹣ac+c2可得a和c的值,可得三角形為直角三角形,由面積公式可得.
【解答】解:(1)∵(a+c)2﹣b2=3ac,∴b2=a2﹣ac+c2,
∴ac=a2+c2﹣b2,∴
∵B∈(0,π),∴ ;
(2)∵sinC=2sinA,∴由正弦定理可得c=2a,
代入b2=a2﹣ac+c2可得36=a2+4a2﹣2a2,
解得 , ,滿足a2+b2=c2,
∴△ABC為直角三角形,
∴△ABC的面積S= ×2 ×6=6 .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正余弦定理解三角形,涉及三角形的面積公式,屬基礎(chǔ)題.
19.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,C上一點(diǎn)(3,m)到焦點(diǎn)的距離為5.
(1)求C的方程;
(2)過(guò)F作直線l,交C于A、B兩點(diǎn),若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣1,求直線l的方程.
【分析】(1)利用拋物線的定義,求出p,即可求C的方程;
(2)利用點(diǎn)差法求出直線l的斜率,即可求直線l的方程.
【解答】解:(1)拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為 ,
由拋物線的定義可知
解得p=4
∴C的方程為y2=8x.
(2)由(1)得拋物線C的方程為y2=8x,焦點(diǎn)F(2,0)
設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),
則
兩式相減.整理得
∵線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣1
∴直線l的斜率
直線l的方程為y﹣0=﹣4(x﹣2)即4x+y﹣8=0
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的定義與方程,考查點(diǎn)差法的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
20.如圖,在多面體ABCDE中,∠BAC=90°,AB=AC=2,CD=2AE=2,AE∥CD,且AE⊥底面ABC,F(xiàn)為BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AF⊥BD;
(Ⅱ)求二面角A﹣BE﹣D的余弦值.
【分析】(1)推導(dǎo)出AF⊥BC,從而AF⊥DC,進(jìn)而AF⊥面BCD,由此能證明AF⊥BD.
(2)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AC為y軸,AE為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣D的余弦值.
【解答】證明:(1)∵AB=AC,F(xiàn)為BC的中點(diǎn),
∴AF⊥BC,又AE∥CD,且AE⊥底面ABC,AF⊂底面ABC,
∴AF⊥DC,又BC∩DC=C,且BC、DC⊂面BCD,
∴AF⊥面BCD,又BD⊂面BCD,∴AF⊥BD.…
解:(2)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AC為y軸,AE為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖,
∴B(2,0,0),D(0,2,2),E(0,0,1),
, ,
設(shè)面BED的一個(gè)法向量為 ,
則 ,令z=2得x=1,y=﹣1,∴ ,
又面ABE的一個(gè)法向量為 ,
∴ ,
∵二面角A﹣BE﹣D的平面角是銳角,
∴二面角A﹣BE﹣D的余弦值為 .…
【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
21.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx在x=1處取得極值2.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若(m+3)x﹣x2ex+2x2≤f(x)對(duì)于任意的x∈(0,+∞)成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【分析】(Ⅰ)根據(jù)極值的定義得到關(guān)于a,b的方程組,求出a,b的值,從而求出f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)問(wèn)題等價(jià)于m≤xex﹣x2﹣2x于任意的x∈(0,+∞)成立,設(shè)h(x)=xex﹣x2﹣2x,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可.
【解答】解:(Ⅰ)∵函數(shù)f(x)=ax3+bx在x=1處取得極值2,
∴ ,解得 ,
∴f(x)=﹣x3+3x…
(Ⅱ)∵(m+3)x﹣x2ex+2x2≤f(x)對(duì)于任意的x∈(0,+∞)成立,
∴(m+3)x﹣x2ex+2x2≤﹣x3+3x
⇔m≤xex﹣x2﹣2x于任意的x∈(0,+∞)成立
設(shè)h(x)=xex﹣x2﹣2x,
則h′(x)=ex+xex﹣2x﹣2=(x+1)(ex﹣2),
令h′(x)=0解得x=ln2,
且當(dāng)0
當(dāng)x>ln2時(shí),h′(x)>0,
∴h(x)=xex﹣x2﹣2x在(0,ln2)上單調(diào)遞減,在(ln2,+∞)上單調(diào)遞增,
∴ ,
∴m≤﹣(ln2)2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題,是一道中檔題.
22.曲線C上的動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F(1,0)的距離和它到定直線x=3的距離之比是1: .
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)F(1,0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)△ABO面積為 時(shí),求直線l的方程.
【分析】(Ⅰ)設(shè)M(x,y),運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式,化簡(jiǎn)整理即可得到所求方程;
(Ⅱ)當(dāng)l斜率不存在時(shí),l方程為x=1,求得A,B的坐標(biāo),以及△ABO的面積;由直線l斜率存在,設(shè)l方程為y=k(x﹣1),代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式,以及點(diǎn)到直線的距離公式,解方程可得斜率k,進(jìn)而得到所求直線的方程.
【解答】解:(Ⅰ)設(shè)M(x,y)
由題意可得, ,
整理得 ,
則曲線C的方程為 ;
(Ⅱ)當(dāng)l斜率不存在時(shí),l方程為x=1,
此時(shí)l與C的交點(diǎn)分別為 , ,
即有 ,
則 ,
由直線l斜率存在,設(shè)l方程為y=k(x﹣1),
由 ,
得 , ,
∴ .
設(shè)O到l的距離為d,則 ,
∴ ,
解得k=±1.
綜上所述,當(dāng)△ABO面積為 時(shí),l的方程為y=x﹣1或y=﹣x+1.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程的求法,注意運(yùn)用坐標(biāo)法,考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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