高二數(shù)學(xué)三角函數(shù)學(xué)習(xí)要點(diǎn)
數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)是高考的三大必考主科之一，數(shù)學(xué)成績(jī)的好壞也將直接關(guān)系到你是否能夠考入理想的大學(xué)，高二數(shù)學(xué)也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)承上啟下的一年，所以一定要下功夫?qū)W好數(shù)學(xué)。以下是學(xué)習(xí)啦小編為您整理的關(guān)于高二數(shù)學(xué)三角函數(shù)學(xué)習(xí)要點(diǎn)的相關(guān)資料，供您閱讀。
高二數(shù)學(xué)三角函數(shù)學(xué)習(xí)要點(diǎn)
一、函數(shù)學(xué)習(xí)的幾個(gè)步驟
先送小詩(shī)一首
學(xué)函數(shù)
函數(shù)函數(shù)定義鋪路， 式子擺出，再限制參數(shù)，
定義域優(yōu)先，值域斷后，
圖像是小名，性質(zhì)是輔助，
拓展要灑脫，應(yīng)用要把握好步驟，
學(xué)吧，學(xué)吧，請(qǐng)走出自己的路。
1、學(xué)習(xí)某個(gè)函數(shù)肯定是先學(xué)習(xí)定義，而定義一般是用函數(shù)式來(lái)定義的，并且定義式中的參數(shù)一般會(huì)有一定的限制。如：一次函數(shù)y=ax+b，a不為0。
2、定義域優(yōu)先應(yīng)該說(shuō)所有的老師都明白，但是應(yīng)用的時(shí)候就可能會(huì)忘記，事實(shí)上在方程與不等式的研究中也應(yīng)該有“定義域”優(yōu)先的原則。缺少了定義域就不是完整的函數(shù)的定義了。而函數(shù)的值域是由解析式與定義域唯一確定的，所以一般不寫(xiě)。但它是研究的重點(diǎn)，研究的方法也非常多，并且不同的函數(shù)研究的方法不一樣。
3、圖像也是表示函數(shù)的一種方式，它直觀，用其研究性質(zhì)或是直接解題會(huì)很方便。性質(zhì)只是對(duì)函數(shù)的一種深入思考，研究時(shí)不能受到局限。
4、拓展包括定義與性質(zhì)，比如研究參數(shù)對(duì)函數(shù)的影響，值域中要研究最大最小值，奇偶性應(yīng)該研究其它的對(duì)稱(chēng)性等;函數(shù)應(yīng)用題的思考步驟應(yīng)該是：?是自變量，?是函數(shù)，什么關(guān)系?，定義域怎么樣?，……
5、談?wù)労瘮?shù)定義中的參數(shù)對(duì)單調(diào)性的影響
各位朋友有沒(méi)有注意到這一點(diǎn)：
函數(shù)定義中的參數(shù)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性產(chǎn)生直接的影響……
(1)一次函數(shù)：a>0時(shí)，單調(diào)增;a<0時(shí)，單調(diào)減;
(2)二次函數(shù)：a>0時(shí)，減后增;a<0時(shí)，增后減;
(3)三次函數(shù)：a>0時(shí)，一直增或是增減增;a<0時(shí)，一直減或是減增減;
(4)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)：當(dāng)0
二、三角函數(shù)學(xué)習(xí)的序曲
再送小詩(shī)一首
推廣角
角角角，銳角直角加鈍角，皆為圖形角;
有始有終旋轉(zhuǎn)角，有逆有順任意角，放入直角坐標(biāo)后，終邊確定解析角;
銳角鈍角是單區(qū)角，象限角為多區(qū)角，直角只是一個(gè)角，象限間角是多個(gè)角;
角角角，用度做單位太蹩腳，改用弧度才真正吹起函數(shù)的號(hào)角。
1、用平面內(nèi)從一點(diǎn)發(fā)出的兩條射線所構(gòu)成的圖形來(lái)定義角，是中學(xué)生最先學(xué)到的角的概念，這種定義下的角叫圖形角;
2、由平面內(nèi)的一條確定的射線繞起點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的角，定義為旋轉(zhuǎn)角，開(kāi)始的射線為角的始邊，終止的位置射線為終邊，旋轉(zhuǎn)角的范圍可以達(dá)到一周;
3、把上述的逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而成的角定義為正角，順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而形成的角定義為負(fù)角，轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)定義為角的大小，此時(shí)的角為任意角;
4、為了研究三角函數(shù)我們使任意角的始邊與x的非負(fù)半軸重合，這樣被確定的角我們(也許只有我自己)把它叫做解析角。此時(shí)一個(gè)終邊可以確定無(wú)限多個(gè)任意角;
5、用弧的長(zhǎng)度與對(duì)應(yīng)圓的半徑的比值來(lái)度量角，就是我們引入的弧度制，所以弧度就是用弧來(lái)度量的意思;
6、省略了角的弧度這個(gè)單位之后，角的大小就與實(shí)數(shù)產(chǎn)生了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這為研究三角函數(shù)提供了必要的前提條件;
7、角的再發(fā)展
當(dāng)角在平面上感覺(jué)有點(diǎn)郁悶的時(shí)候，它就開(kāi)始了新的旅程：
(1)異面直線所成的角;
(2)斜線與平面所成的角;
(3)二面角;
三、表示法中的過(guò)渡
一般來(lái)說(shuō)，我們表示函數(shù)習(xí)慣于用y=f(x)表示，其中x表示自變量，y表示函數(shù)，f表示對(duì)應(yīng)關(guān)系。那么我們有沒(méi)有注意到，學(xué)習(xí)三角函數(shù)的過(guò)程中：
1、初中就學(xué)習(xí)了三角函數(shù)，但是沒(méi)有說(shuō)什么是自變量，什么是函數(shù)。只是在直角三角形中，定義了銳角a的正弦、余弦、正切。
2、高中把角推廣到任意角之后，給出三角函數(shù)的定義時(shí)，使用的角仍然為a，只是定義用解析角的終邊上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)和該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離來(lái)定義(特別地，也可用終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)定義)，知道這是為什么嗎?
3、在研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的時(shí)候， 才把正弦函數(shù)的解析式寫(xiě)成y=sinx，余弦寫(xiě)為y=cosx......
教學(xué)中，千萬(wàn)不要忽略這一點(diǎn)，教材這樣處理是有它自已的道理的。
四、幾個(gè)定義的對(duì)照
1、初中學(xué)習(xí)了在直角三角形中定義銳角的三角函數(shù)，定義過(guò)程沒(méi)有任何理由，利用定義可以根據(jù)兩個(gè)特殊三角形記憶三個(gè)特殊角的三角函數(shù)值;
2、在直角坐標(biāo)系中，用角的終邊與單位圓的交點(diǎn)縱坐標(biāo)定義正弦，用橫坐標(biāo)定義角的余弦，……，利用這個(gè)公式容易證明同角關(guān)系式，容易看出不同象限角的各個(gè)三角函數(shù)值的符號(hào)，也容易得到相關(guān)的誘導(dǎo)公式;
3、單位圓中的三角函數(shù)線也是三角函數(shù)的定義，只不過(guò)是用有向線段的數(shù)量來(lái)定義的，利用這個(gè)定義容易畫(huà)出三角函數(shù)的圖像，解決一些比較大小的問(wèn)題或是求三角函數(shù)值;
4、利用角的終邊上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)與該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離來(lái)定義，這個(gè)定義是上述二者中所述定義的一般形式，可以用來(lái)解決一般的問(wèn)題;
5、在整個(gè)三角函數(shù)定義的過(guò)程中，讓我們感覺(jué)到了學(xué)習(xí)的知識(shí)是在不斷地發(fā)展中的，知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系非常密切，應(yīng)該體會(huì)同一性之中有著自己的特點(diǎn)。
五、同角關(guān)系式的運(yùn)用
新教材中，重點(diǎn)學(xué)習(xí)兩個(gè)同角關(guān)系式，一個(gè)是平方關(guān)系的，另一個(gè)是商數(shù)關(guān)系的。兩個(gè)公式各有應(yīng)用，運(yùn)用時(shí)應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：
1、平方關(guān)系可以完成正余弦的互求，注意開(kāi)方時(shí)應(yīng)該有兩個(gè)平方根，所以在角未受到一定的限制時(shí)，應(yīng)該仔細(xì)考慮結(jié)果的符號(hào)，而無(wú)限制時(shí)就應(yīng)該討論了。
2、商數(shù)關(guān)系的最大應(yīng)用是“弦切互化”。注意與“余角余函數(shù)”公式對(duì)應(yīng)學(xué)習(xí)與結(jié)合運(yùn)用。
六、誘導(dǎo)公式的理解
1、誘導(dǎo)公式在教材上占了較大篇幅，從誘導(dǎo)公式(一)到誘導(dǎo)公式(六)，最后結(jié)果是：較差的學(xué)生死記硬背，學(xué)一個(gè)忘一個(gè);中等的學(xué)生似懂非懂，會(huì)做一些簡(jiǎn)單的題;優(yōu)秀生學(xué)完之后，感覺(jué)太簡(jiǎn)單了，不知道為什么還要論述那么久?你的學(xué)生是不是這樣呢?
2、有一個(gè)口訣：“奇變偶不變，符號(hào)看象限。”多數(shù)的學(xué)生都知道，但是知其然不知其所以然。所以，好多的學(xué)生不會(huì)用。追究其原因，仍然是不理解造成的。
3、這些公式的形式都是從一個(gè)三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一個(gè)三角函數(shù)，可以同名也可以不同名。那么，我們?yōu)槭裁匆D(zhuǎn)化呢?求值?求角?還是?
4、復(fù)雜之中，有著一絲不變的線索，它是什么呢?——“角的變化”。事實(shí)上是把終邊相同或是關(guān)于x軸、y軸或是坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的角與角之間建立起來(lái)的等量關(guān)系。這些公式能把角從一個(gè)象限轉(zhuǎn)化到其它象限中，或者說(shuō)是與其它象限中的某些相關(guān)角建立聯(lián)系。我們把這種聯(lián)系的起源選定，其它就都是利用上述公式“誘惑”與“引導(dǎo)”而來(lái)。在做題目的時(shí)候，可以有上述的體會(huì)。
5、例如：已知sinA=-1/2，A在第四象限，請(qǐng)把A角表示出來(lái)。熟練的老師或是學(xué)生，可能一下就可以看出，有一個(gè)特角-30度，再加上360度的整數(shù)倍就可以了。但不熟練的學(xué)生怎么辦呢?用誘導(dǎo)的辦法就可以完成。第一步：在銳角中找一個(gè)角，使它的正弦值為1/2，那么當(dāng)然是30度了。第二步：把30度誘導(dǎo)到第四象限，可以就是-30度，也可以是360度減去30度，第三步：把第二步的角再加上360度的整數(shù)倍就可以了。如果想誘導(dǎo)到第二象限，只需用180度減;如果想誘導(dǎo)到第三象限，就用180度加就好了。
6、誘導(dǎo)公式口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”的正確性可以用“和差角公式”去驗(yàn)證，sin(π/2-x)=sin(π/2)cosx-cos(π/2)sinx=cosx。輔助角公式配合單位圓，用數(shù)量積定義去理解，acosx+bsinx=(a,b)·(cosx,sinx)，對(duì)于學(xué)生進(jìn)一步理解所學(xué)知識(shí)是非常有好處的。同時(shí)，我們也不能不看到，原來(lái)的思路與方法和公式可能解決的問(wèn)題是不可代替的。
七、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的深入思考1、三角函數(shù)圖像的作法與其它函數(shù)的圖像的作法相同，基本步驟應(yīng)該是：
(1)確定函數(shù)定義域，值域;
(2)研究單調(diào)性與奇偶性等性質(zhì);
(3)取關(guān)鍵點(diǎn)列表描點(diǎn);
(4)結(jié)合函數(shù)的變化速度與變化趨勢(shì)連線作圖;
2、與其它函數(shù)不同的就是周期性，體會(huì)最小正周期，與起點(diǎn)的位置無(wú)關(guān);
3、三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何定義，它把三角函數(shù)值準(zhǔn)確的用有向線段的數(shù)量表示出來(lái)，這為準(zhǔn)確描點(diǎn)提供了保障;
4、由于圖像本身就是函數(shù)的定義的一種形式，所以對(duì)函數(shù)圖像的研究就顯得非常的重要，而函數(shù)的性質(zhì)都寫(xiě)在函數(shù)的圖像上，所以不必太追究性質(zhì)是什么、分幾條，而應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)會(huì)讀懂函數(shù)的圖像語(yǔ)言，會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖像解題就可以了;
5、所謂深入思考就是體會(huì)函數(shù)=Asin(wx+q)+b中的各個(gè)參數(shù)對(duì)函數(shù)圖像的影響，對(duì)性質(zhì)的影響，這一點(diǎn)應(yīng)該與其它函數(shù)對(duì)照研究;
6、關(guān)于正弦與余弦函數(shù)圖像與性質(zhì)的再思考
(1)單調(diào)區(qū)間的長(zhǎng)度為最小正周期長(zhǎng)度的一半，單調(diào)區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)是函數(shù)取到最值的點(diǎn);
(2)函數(shù)圖像與x軸(平衡位置)的交點(diǎn)都是它們的對(duì)稱(chēng)中心，過(guò)最大或最小值點(diǎn)垂直于x軸(平衡位置所在的直線)的直線都是它們的對(duì)稱(chēng)軸。相鄰的對(duì)稱(chēng)中心或是兩個(gè)對(duì)稱(chēng)軸之間的距離應(yīng)該是周期的一半;
(3)兩個(gè)函數(shù)圖像形狀相同，只是在坐標(biāo)系中的位置不同，它們左右位置差周期的1/4;
(4)對(duì)于函數(shù)y=Asin(wx+q)+b或y=Acos(wx+q)+b來(lái)說(shuō)，對(duì)以上三條只需進(jìn)行稍微的修改即可。
八、平移與伸縮變換的引申有好多的學(xué)生在平移與伸縮變換的時(shí)候會(huì)混淆，知其然不知所以然……。下面提出幾個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)各位朋友一起思考，你們?cè)诮虒W(xué)的時(shí)候是否對(duì)它們進(jìn)行了研究?1、對(duì)于平移口訣：“左加右減，上加下減”的理解……左是x軸的負(fù)半軸，為什么要加呢?右是x軸的正半軸，為什么要減呢?上是y軸的正半軸，加就好理解了，下是y軸的負(fù)半軸也是一回事。2、對(duì)于左右平移與橫坐標(biāo)的伸縮變換，如果先后順序倒置，則平移的量就可能不一致，這是為什么呢?3、把平移與伸縮變換推廣到一般情況應(yīng)該是什么樣的?關(guān)鍵在什么地方?4、左右與上下平移變換與沿某向量平移的關(guān)系如何?5、對(duì)函數(shù)的平移與對(duì)曲線的平移有區(qū)別嗎?6、平移函數(shù)的圖像與坐標(biāo)變換怎樣進(jìn)行區(qū)別?各有什么優(yōu)點(diǎn)?
(1)對(duì)于平移口訣：“左加右減，上加下減”的理解……左是x軸的負(fù)半軸，為什么要加呢?右是x軸的正半軸，為什么要減呢?上是y軸的正半軸，加就好理解了，下是y軸的負(fù)半軸也是一回事。
這個(gè)問(wèn)題其實(shí)是這樣的：向左移，每點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在減少，應(yīng)該把橫坐標(biāo)減去移動(dòng)的量。但是，你必須把函數(shù)式y(tǒng)=f(x)變成x=g(y)的形式之后完成。比如：你把函數(shù)圖像向左平移了2個(gè)單位，那么，函數(shù)式x=g(y)應(yīng)該變?yōu)椋簒=g(y)-2。而這個(gè)式子變形之后就是：y=f(x+2)了。
別的還用說(shuō)嗎?
(2)對(duì)于左右平移與橫坐標(biāo)的伸縮變換，如果先后順序倒置，則平移的量就可能不一致，這是為什么呢?
同問(wèn)1的回答：把函數(shù)y=f(x)變形為x=g(y)，如果向右平移a個(gè)單位，則變?yōu)閤=g(y)+a，再伸縮為原來(lái)的b倍，則變?yōu)閤=b[g(y)+a]，解得：y=f[(1/b)x-a];如果橫坐標(biāo)先伸縮為原來(lái)的b倍，則變?yōu)閤=bg(x)，再向右平移a個(gè)單位，則變?yōu)閤=bg(y)+a，解得：y=f[1/b(x-a)]。顯然所得兩函數(shù)表達(dá)式不同……
7、把平移與伸縮變換推廣到一般情況應(yīng)該是什么樣的?關(guān)鍵在什么地方?
(1)如果把函數(shù)y=f(x)的圖像向左平移a個(gè)單位，然后再把每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的b倍，則所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=f(bx+a);
(2)如果把函數(shù)y=f(x)的圖像每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的b倍，然后再把圖像向左平移a個(gè)單位，則所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=f[b(x+a)];
仔細(xì)分析，左右的平移與每點(diǎn)橫坐標(biāo)的伸縮都是對(duì)自變量x而言的，只對(duì)x做相應(yīng)的處理。
8、左右與上下平移變換與沿某向量平移的關(guān)系如何?
左右的平移就是向量的橫坐標(biāo)，上下的平移就在于向量的縱坐標(biāo)，橫與縱坐標(biāo)的符號(hào)代表平移的方向。目標(biāo)相同，路徑不同罷了。
9、對(duì)函數(shù)的平移與對(duì)曲線的平移有區(qū)別嗎?
函數(shù)本身就是方程，所以函數(shù)圖像就是曲線，所以對(duì)曲線的平移方法可以直接用到函數(shù)中來(lái)。但是，對(duì)函數(shù)圖像的平移口訣“左加右減”不可以直接用到曲線的平移之中……原因應(yīng)該由上面的可以知道了。
10、平移函數(shù)的圖像與坐標(biāo)變換怎樣進(jìn)行區(qū)別?各有什么優(yōu)點(diǎn)?
這兩者都可以完成同樣的事，那就是簡(jiǎn)化我們要研究的函數(shù)表達(dá)或是曲線的方程，優(yōu)點(diǎn)也與些類(lèi)似。各自的優(yōu)點(diǎn)可以通過(guò)例題來(lái)體會(huì)，不多述了。
九、和角與差角公式的推導(dǎo)指引1、cos(A-B)
2、cos(A+B)
3、sin(A-B)
4、sin(A+B)
5、tan(A-B)
6、tan(A+B)
7、sin2A
8、cos2A
9、tan2A
10、sinAcosA
11、(sinA)^2
12、(cosA)^2
13、asinA+bcosA
14、tanA+tanB
15、用tanA表示sin2A，cos2A，tan2A
16、……
上述公式，每天推導(dǎo)三次，連續(xù)推導(dǎo)三天，題可做，分可拿……
請(qǐng)注意，是推導(dǎo)不是背公式啊!
十、倍角余弦公式的變形應(yīng)用公式：cos2A=(cosA)^2-(sinA)^2=1-2(sinA)^2=2(cosA)^2-1
公式變形：(sinA)^2=1/2(1-cos2A);(cosA)^2=1/2(1+cos2A)
上述公式與正弦二倍角公式的變形統(tǒng)稱(chēng)“降冪公式”，對(duì)化簡(jiǎn)三角函數(shù)式為Asin(wx+b)的形式起到非常重要的作用。
十一、解三角形的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)1、三角形本身就是已知條件：(1)內(nèi)角和定理;(2)邊角大小關(guān)系;
2、正弦與余弦定理：注意應(yīng)用時(shí)解的取舍;
3、面積公式：注意用內(nèi)切圓半徑時(shí)，把三角形一分為三的方法，學(xué)會(huì)推導(dǎo)海淪公式;
4、三角形的重心、內(nèi)心、外心及垂心;
小結(jié)：1、學(xué)習(xí)線索三角函數(shù)與其它函數(shù)一樣，學(xué)習(xí)的步驟是：
(1)定義;(2)定義域;(3)圖像;(4)性質(zhì);
但也有本身的特點(diǎn)，如周期性、對(duì)稱(chēng)性等，所以在上述步驟中應(yīng)該適應(yīng)加入：
(1)同角關(guān)系式;(2)誘導(dǎo)公式;(3)兩角和與差公式;(4)倍角公式……;
那么加在什么地方?怎么加呢?
2、學(xué)習(xí)重點(diǎn)剛好回答上面的問(wèn)題，那些公式都是由定義直接可以得到的，可以看成是對(duì)定義的引申。在教學(xué)時(shí)應(yīng)該緊緊圍繞三角函數(shù)的定義去教學(xué)。所以，三角函數(shù)的教學(xué)重點(diǎn)就是三角函數(shù)的定義。
3、學(xué)習(xí)技巧三角函數(shù)難點(diǎn)在三角變換，所以三角變換的技巧就是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的技巧。一般來(lái)說(shuō)可以從三個(gè)方面考慮：
(1)從角上考慮：用已知角表示未知角，教材上的例題與習(xí)題都有滲透;
(2)從函數(shù)的名稱(chēng)上考慮：注意把握弦與切的互化，正弦與余弦之間的轉(zhuǎn)化;
(3)從式子的結(jié)構(gòu)上考慮：公式的每一種變形都是一道很好三角題目，只有掌握了公式的全部變形才能應(yīng)用得手。如：tanB+tanC=?一般的學(xué)生不知道，尤其是當(dāng)B+C為特殊角的時(shí)候，它就完成了正切和與正切積的轉(zhuǎn)化;
一般來(lái)說(shuō)，上述三個(gè)方面應(yīng)該同時(shí)考慮，解決了一兩個(gè)方面，其它方面自然平衡，題目可以順利完成。
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