七年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷及答案
七年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷及答案
在考試快要到來(lái)的時(shí)候，我們作為學(xué)生應(yīng)該做出什么樣的復(fù)習(xí)準(zhǔn)備工作呢?下面請(qǐng)欣賞學(xué)習(xí)啦網(wǎng)絡(luò)編輯為你帶來(lái)的七年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷及答案，希望你能夠喜歡!
七年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題(每小題3分，共36分)
1.下面是實(shí)驗(yàn)中學(xué)初二的同學(xué)為自己班設(shè)計(jì)的幾個(gè)班徽，是軸對(duì)稱的有( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
2.如圖，把一個(gè)正方形三次對(duì)折后沿虛線剪去一個(gè)角，則所得圖形展開后是( )
A. B. C. D.
3.如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C和點(diǎn)C′重合，若AB=2，則C′D的長(zhǎng)為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線BD交AC于D.若AB=m，CD=n，則△ABD的面積等于( )
A. mn B. C. 2mn D.
5.如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm，高BD為5cm，BC是直徑，一只螞蟻從點(diǎn)D出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C的最短路程大約是( )
A. 6cm B. 12cm C. 13cm D. 16cm
6.如圖，AB∥CD，∠A+∠E=75°，則∠C為( )
A. 60° B. 65° C. 75° D. 80°
7.若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和8，則它的周長(zhǎng)為( )
A. 12 B. 16 C. 20 D. 16或20
8.如圖是一個(gè)風(fēng)箏的圖案，它是以直線AF為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，下列結(jié)論中不一定成立的是( )
A. △ABD≌△ACD B. AF垂直平分EG
C. 直線BG，CE的交點(diǎn)在AF上 D. △DEG是等邊三角形
9.如圖，在△ABC中，∠B=40°，EF∥AB，∠1=50°，CE=3，EF比CF大1，則EF的長(zhǎng)為( )
A. 5 B. 6 C. 3 D. 4
10.E為正方形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，且AE=3，BE=4，∠E=90°，則陰影部分的面積為( )
A. 25 B. 12 C. 13 D. 19
11.若△ABC的三邊a，b，c滿足a2+b2﹣8a﹣10b+29+|c﹣3|=0，則( )
A. △ABC是直角三角形且∠C=90° B. △ABC是銳角三角形
C. △ABC是直角三角形且∠B=90° D. △ABC是直角三角形且∠A=90°
12.如圖，△ABC≌△ADE，則下列結(jié)論成立的是( )
?、貯B=AD，②∠E=∠C，③若∠BAE=120°，∠BAD=40°，則∠BAC=80°，④BC=DE.
A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④
二、填空題(每小題4分，共20分)
13.若三角形三內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3，最大邊的長(zhǎng)是16cm，則最小邊的長(zhǎng)是 .
14.如圖，BD垂直平分線段AC，AE⊥BC，垂足為E，交BD于P點(diǎn)，PE=3cm，則P點(diǎn)到直線AB的距離是 cm.
15.如圖，AB∥CD，BC與AD相交于點(diǎn)M，N是射線CD上的一點(diǎn).若∠B=65°，∠MDN=135°，則∠AMB= .
16.△ABC中，DE分別是BC，AD的中點(diǎn)，且△ABC的面積為4，則陰影部分的面積是 .
17.△ABC中，有一點(diǎn)P在AC上移動(dòng).若AB=AC=5，BC=6，AP+BP+CP的最小值為 .
三、解答題
18.先化簡(jiǎn)，再求值：﹣2+2ab2÷a，其中a=3，b=5.
19.如圖是一個(gè)四邊形的邊角料，木工師傅通過(guò)測(cè)量，獲得了如下數(shù)據(jù)：AB=3cm，BC=12cm，CD=13cm，AD=4cm，BD=5cm木工師傅由此認(rèn)為這個(gè)四邊形中∠A恰好是直角，你認(rèn)為木工師傅的判斷正確嗎?如果你認(rèn)為他正確，請(qǐng)說(shuō)明其中的理由;如果你認(rèn)為他不正確，那你認(rèn)為需要什么條件，才可以判斷∠A是直角?請(qǐng)求出木料的面積.
20.如圖，AC與BD交于點(diǎn)O，AD=CB，E、F是BD上兩點(diǎn)，且AE=CF，DE=BF.
請(qǐng)推導(dǎo)下列結(jié)論：
(1)∠D=∠B;
AE∥CF.
21.如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他要完成這件事情所走的最短路程是多少?
22.某港口位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里.它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里.如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行?為什么?
23.數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目.
小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：
(1)特殊情況•探索結(jié)論
當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線段AE與的DB大小關(guān)系.請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AE DB(填“>”，“<”或“=”).
特例啟發(fā)，解答題目
解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE DB(填“>”，“<”或“=”).理由如下：
如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，(請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程)
(3)拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題
在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC.若△ABC的邊長(zhǎng)為1，AE=2，求CD的長(zhǎng)(請(qǐng)你直接寫出結(jié)果).
2014015學(xué)年山東省萊蕪實(shí)驗(yàn)中學(xué)2014～2015學(xué)年度七年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷
七年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷參考答案
一、選擇題(每小題3分，共36分)
1.下面是實(shí)驗(yàn)中學(xué)初二的同學(xué)為自己班設(shè)計(jì)的幾個(gè)班徽，是軸對(duì)稱的有( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
考點(diǎn)： 軸對(duì)稱圖形.
分析： 根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解.
解答： 解：第二個(gè)、第三個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形.
故選B.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合;中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.
2.如圖，把一個(gè)正方形三次對(duì)折后沿虛線剪去一個(gè)角，則所得圖形展開后是( )
A. B. C. D.
考點(diǎn)： 剪紙問題.
分析： 把一個(gè)正方形的紙片向上對(duì)折，向右對(duì)折，向右下方對(duì)折，從上部剪去一個(gè)等腰直角三角形，展開，看得到的圖形為選項(xiàng)中的哪個(gè)即可.
解答： 解：從折疊的圖形中剪去8個(gè)等腰直角三角形，易得將從正方形紙片中剪去4個(gè)小正方形，
故選C.
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查剪紙問題，此類問題根據(jù)圖示進(jìn)行折疊，然后剪紙，可直接得到答案.
3.如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C和點(diǎn)C′重合，若AB=2，則C′D的長(zhǎng)為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
考點(diǎn)： 矩形的性質(zhì);翻折變換(折疊問題).
分析： 根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得CD=AB，再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得C′D=CD，代入數(shù)據(jù)即可得解.
解答： 解：在矩形ABCD中，CD=AB，
∵矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊后點(diǎn)C和點(diǎn)C′重合，
∴C′D=CD，
∴C′D=AB，
∵AB=2，
∴C′D=2.
故選B.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了矩形的對(duì)邊相等的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
4.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線BD交AC于D.若AB=m，CD=n，則△ABD的面積等于( )
A. mn B. C. 2mn D.
考點(diǎn)： 角平分線的性質(zhì).
分析： 根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE=CD，然后由三角形的面積公式進(jìn)行解答即可.
解答： 解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.
∵∠C=90°，BD是∠ABC的平分線，CD=n，
∴DE=CD=n，
∵AB=m，
∴△ABD的面積是： AB•DE= mn.
故選：B.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.
5.如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm，高BD為5cm，BC是直徑，一只螞蟻從點(diǎn)D出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C的最短路程大約是( )
A. 6cm B. 12cm C. 13cm D. 16cm
考點(diǎn)： 平面展開-最短路徑問題.
分析： 根據(jù)題意，先將圓柱體展開，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短.
解答： 解：將圓柱體展開，連接DC，
圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm，則DE=12cm，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，
CD= =13(cm).
而走B﹣D﹣C的距離更短，
∵BD=5，BC= ，
∴BD+BC≈12.
故選：B.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了平面展開﹣﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，將圓柱體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，運(yùn)用勾股定理解答即可.
6.如圖，AB∥CD，∠A+∠E=75°，則∠C為( )
A. 60° B. 65° C. 75° D. 80°
考點(diǎn)： 平行線的性質(zhì).
分析： 根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠EOB，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠C=∠EOB，代入即可得出答案.
解答： 解：∵∠A+∠E=75°，
∴∠EOB=∠A+∠E=75°，
∵AB∥CD，
∴∠C=∠EOB=75°，
故選C.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了平行線性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是得出∠C=∠EOB和求出∠EOB的度數(shù).
7.若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和8，則它的周長(zhǎng)為( )
A. 12 B. 16 C. 20 D. 16或20
考點(diǎn)： 等腰三角形的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系.
分析： 由于題中沒有指明哪邊是底哪邊是腰，則應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析.
解答： 解：①當(dāng)4為腰時(shí)，4+4=8，故此種情況不存在;
?、诋?dāng)8為腰時(shí)，8﹣4<8<8+4，符合題意.
故此三角形的周長(zhǎng)=8+8+4=20.
故選C.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和三邊關(guān)系，解答此題時(shí)注意分類討論，不要漏解.
8.如圖是一個(gè)風(fēng)箏的圖案，它是以直線AF為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，下列結(jié)論中不一定成立的是( )
A. △ABD≌△ACD B. AF垂直平分EG
C. 直線BG，CE的交點(diǎn)在AF上 D. △DEG是等邊三角形
考點(diǎn)： 軸對(duì)稱的性質(zhì).
分析： 認(rèn)真觀察圖形，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得選項(xiàng)A、B、C都是正確的，沒有理由能夠證明△DEG是等邊三角形.
解答： 解：A、因?yàn)榇藞D形是軸對(duì)稱圖形，正確;
B、對(duì)稱軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線，正確;
C、由三角形全等可知，BG=CE，且直線BG，CE的交點(diǎn)在AF上，正確;
D、題目中沒有60°條件，不能判斷是等邊三角形，錯(cuò)誤.
故選D.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì);解決此題要注意，不要受圖形誤導(dǎo)，要找準(zhǔn)各選項(xiàng)正誤的具體原因是正確解答本題的關(guān)鍵.
9.如圖，在△ABC中，∠B=40°，EF∥AB，∠1=50°，CE=3，EF比CF大1，則EF的長(zhǎng)為( )
A. 5 B. 6 C. 3 D. 4
考點(diǎn)： 勾股定理;平行線的性質(zhì).
分析： 由平行線的性質(zhì)得出∠A=∠1=50°，得出∠C=90°，設(shè)CF=x，則EF=x+1，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程求出x，即可得出EF的長(zhǎng).
解答： 解：∵EF∥AB，
∴∠A=∠1=50°，
∴∠A+∠B=50°+40°=90°，
∴∠C=90°，
設(shè)CF=x，則EF=x+1，
根據(jù)勾股定理得：CE2+CF2=EF2，
即32+x2=(x+1)2，
解得：x=4，
∴EF=4+1=5，
故選：A.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了平行線的性質(zhì)、直角三角形的判定、勾股定理;熟練掌握平行線的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵.
10.E為正方形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，且AE=3，BE=4，∠E=90°，則陰影部分的面積為( )
A. 25 B. 12 C. 13 D. 19
考點(diǎn)： 勾股定理.
分析： 根據(jù)勾股定理求出AB，分別求出△AEB和正方形ABCD的面積，即可求出答案.
解答： 解：∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=3，BE=4，由勾股定理得：AB=5，
∴正方形的面積是5×5=25，
∵△AEB的面積是 AE×BE= ×3×4=6，
∴陰影部分的面積是25﹣6=19，
故選D.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，利用勾股定理求出正方形的邊長(zhǎng)并觀察出陰影部分的面積的表示是解題的關(guān)鍵.
11.若△ABC的三邊a，b，c滿足a2+b2﹣8a﹣10b+29+|c﹣3|=0，則( )
A. △ABC是直角三角形且∠C=90° B. △ABC是銳角三角形
C. △ABC是直角三角形且∠B=90° D. △ABC是直角三角形且∠A=90°
考點(diǎn)： 勾股定理的逆定理;非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方;配方法的應(yīng)用.
分析： 先將式子變形為(a﹣4)2+(b﹣5)2+|c﹣3|=12，找到滿足式子的一組值，根據(jù)勾股定理的逆定理即可求解.
解答： 解：a2+b2﹣8a﹣10b+29+|c﹣3|=0，
a2﹣8a+16+b2﹣10b+25+|c﹣3|=12，
(a﹣4)2+(b﹣5)2+|c﹣3|=12，
當(dāng)a=6，b=7，c=7時(shí)，滿足上面的式子，
∵62+72>72，
∴△ABC是銳角三角形.
故選：B.
點(diǎn)評(píng)： 考查了勾股定理的逆定理，配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方，關(guān)鍵是將式子變形為(a﹣4)2+(b﹣5)2+|c﹣3|=12.
12.如圖，△ABC≌△ADE，則下列結(jié)論成立的是( )
?、貯B=AD，②∠E=∠C，③若∠BAE=120°，∠BAD=40°，則∠BAC=80°，④BC=DE.
A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④
考點(diǎn)： 全等三角形的性質(zhì).
分析： 根據(jù)△ABC≌△ADE，可得其對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)角相等，即可得AB=AD，∠E=∠C，∠BAC=∠DAE;由∠DAC是公共角易證得∠BAD=∠CAE，已知∠BAE=120°，∠BAD=40°，即可求得∠BAC的度數(shù).
解答： 解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB=AD，BC=DE，∠E=∠C，∠BAC=∠DAE;
∵∠DAC是公共角
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
已知∠BAE=120°，∠BAD=40°，
∴∠CAE=40°，∠BAC=∠BAE﹣∠CAE=120°﹣40°=80°.
故選D.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了全等三角形的性質(zhì)及比較角的大小，解題的關(guān)鍵是找到兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊.
二、填空題(每小題4分，共20分)
13.若三角形三內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3，最大邊的長(zhǎng)是16cm，則最小邊的長(zhǎng)是 8cm .
考點(diǎn)： 含30度角的直角三角形.
分析： 根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出最大角和最小角，然后根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半解答.
解答： 解：∵三角形三內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3，
∴三角形的最大的內(nèi)角度數(shù)是：180°× =90°，
最小的內(nèi)角度數(shù)是：180°× =30°，
∴此三角形是有一個(gè)銳角是30°的直角三角形，
∵最大邊的長(zhǎng)是16cm，
∴則最小邊的長(zhǎng)是16× =8cm.
故答案為：8cm.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并求出此三角形是有一個(gè)銳角是30°的直角三角形是解題的關(guān)鍵.
14.如圖，BD垂直平分線段AC，AE⊥BC，垂足為E，交BD于P點(diǎn)，PE=3cm，則P點(diǎn)到直線AB的距離是 3 cm.
考點(diǎn)： 線段垂直平分線的性質(zhì).
分析： 由已知條件，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AB=BC，可得到∠ABD=∠DBC，再利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得到答案.
解答： 解：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB與點(diǎn)M，
∵BD垂直平分線段AC，
∴AB=CB，
∴∠ABD=∠DBC，即BD為角平分線，
又PM⊥AB，PE⊥CB，
∴PM=PE=3.
故答案為：3.
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí).得到三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵，也可直接應(yīng)用角平分線的性質(zhì)求解.
15.如圖，AB∥CD，BC與AD相交于點(diǎn)M，N是射線CD上的一點(diǎn).若∠B=65°，∠MDN=135°，則∠AMB= 70° .
考點(diǎn)： 平行線的性質(zhì);三角形的外角性質(zhì).
分析： 根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠BAM，再由三角形的內(nèi)角和定理可得出∠AMB.
解答： 解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠MDN=180°，
∴∠A=180°﹣∠MDN=45°，
在△ABM中，∠AMB=180°﹣∠A﹣∠B=70°.
故答案為：70°.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行同胖內(nèi)角互補(bǔ)，及三角形的內(nèi)角和定理.
16.△ABC中，DE分別是BC，AD的中點(diǎn)，且△ABC的面積為4，則陰影部分的面積是 1 .
考點(diǎn)： 三角形的面積.
分析： 根據(jù)中線將三角形面積分為相等的兩部分可知：△ADC是陰影部分的面積的2倍，△ABC的面積是△ADC的面積的2倍，依此即可求解.
解答： 解：∵D、E分別是BC，AD的中點(diǎn)，
∴S△AEC= ，S△ACD= S△ABC，
∴S△AEC= S△ABC= =1.
故答案為：1.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了三角形的面積和中線的性質(zhì)：三角形的中線將三角形分為相等的兩部分，知道中線將三角形面積分為相等的兩部分是解題的關(guān)鍵.
17.△ABC中，有一點(diǎn)P在AC上移動(dòng).若AB=AC=5，BC=6，AP+BP+CP的最小值為 9.8 .
考點(diǎn)： 等腰三角形的性質(zhì);垂線段最短;勾股定理.
分析： 若AP+BP+CP最小，就是說(shuō)當(dāng)BP最小時(shí)，AP+BP+CP才最小，因?yàn)椴徽擖c(diǎn)P在AC上的那一點(diǎn)，AP+CP都等于AC.那么就需從B向AC作垂線段，交AC于P.先設(shè)AP=x，再利用勾股定理可得關(guān)于x的方程，解即可求x，在Rt△ABP中，利用勾股定理可求BP.那么AP+BP+CP的最小值可求.
解答： 解：從B向AC作垂線段BP，交AC于P，
設(shè)AP=x，則CP=5﹣x，
在Rt△ABP中，BP2=AB2﹣AP2，
在Rt△BCP中，BP2=BC2﹣CP2，
∴AB2﹣AP2=BC2﹣CP2，
∴52﹣x2=62﹣(5﹣x)2
解得x=1.4，
在Rt△ABP中，BP= = =4.8，
∴AP+BP+CP=AC+BP=5+4.8=9.8.
故答案為：9.8.
點(diǎn)評(píng)： 考查了等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)，直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.因此先從B向AC作垂線段BP，交AB于P，再利用勾股定理解題即可.
三、解答題
18.先化簡(jiǎn)，再求值：﹣2+2ab2÷a，其中a=3，b=5.
考點(diǎn)： 整式的混合運(yùn)算—化簡(jiǎn)求值.
分析： 先算乘法和除法，再合并同類項(xiàng)，最后代入求出即可.
解答： 解：﹣2+2ab2÷a
=4a2﹣b2﹣4a2+4ab﹣b2+2b2
=4ab，
當(dāng)a=3，b=5時(shí)，原式=4×3×5=60.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了整式的混合運(yùn)算和求值的應(yīng)用，能正確運(yùn)用整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵.
19.如圖是一個(gè)四邊形的邊角料，木工師傅通過(guò)測(cè)量，獲得了如下數(shù)據(jù)：AB=3cm，BC=12cm，CD=13cm，AD=4cm，BD=5cm木工師傅由此認(rèn)為這個(gè)四邊形中∠A恰好是直角，你認(rèn)為木工師傅的判斷正確嗎?如果你認(rèn)為他正確，請(qǐng)說(shuō)明其中的理由;如果你認(rèn)為他不正確，那你認(rèn)為需要什么條件，才可以判斷∠A是直角?請(qǐng)求出木料的面積.
考點(diǎn)： 勾股定理的逆定理;勾股定理.
分析： 根據(jù)AB=3cm，BD=5cm，AD=4cm利用勾股定理逆定理可得AB2+AD2=BD2，因此∠A=90°;再利用勾股定理逆定理可判定∠DBC=90°，然后再計(jì)算出面積即可.
解答： 解：正確，
∵32+42=52，
∴AB2+AD2=BD2，
∴∠A=90°，
∵122+52=132，
∴BD2+BC2=CD2，
∴∠DBC=90°，
∴木料的面積為： ×4×3+ ×12×5=6+30=36(cm2).
答：木工師傅的判斷正確，木料的面積為36cm2.
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形.
20.如圖，AC與BD交于點(diǎn)O，AD=CB，E、F是BD上兩點(diǎn)，且AE=CF，DE=BF.
請(qǐng)推導(dǎo)下列結(jié)論：
(1)∠D=∠B;
AE∥CF.
考點(diǎn)： 全等三角形的判定與性質(zhì).
專題： 證明題.
分析： (1)根據(jù)SSS推出△ADE≌△CBF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可.
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出∠AED=∠CFB，求出∠AEO=∠CFO，根據(jù)平行線的判定推出即可.
解答： 解：(1)∵在△ADE和△CBF中
∴△ADE≌△CBF(SSS)，
∴∠D=∠B.
∵△ADE≌△CBF，
∴∠AED=∠CFB，
∵∠AED+∠AEO=180°，∠CFB+∠CFO=180°，
∴∠AEO=∠CFO，
∴AE∥CF.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.
21.如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他要完成這件事情所走的最短路程是多少?
考點(diǎn)： 軸對(duì)稱-最短路線問題.
專題： 應(yīng)用題.
分析： 先作A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)，連接A′B，構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案.
解答： 解：如圖，作出A點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交MN于點(diǎn)P，
則A′B就是最短路線，
在Rt△A′DB中，由勾股定理求得
A′B=DA = =17km，
答：他要完成這件事情所走的最短路程是17km.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是勾股定理和軸對(duì)稱在實(shí)際生活中的運(yùn)用，需要同學(xué)們聯(lián)系實(shí)際，題目是一道比較典型的題目，難度適中.
22.某港口位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里.它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里.如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行?為什么?
考點(diǎn)： 勾股定理的應(yīng)用;方向角.
分析： 根據(jù)路程=速度×時(shí)間分別求得PQ、PR的長(zhǎng)，再進(jìn)一步根據(jù)勾股定理的逆定理可以證明三角形PQR是直角三角形，從而求解.
解答： 解：根據(jù)題意，得
PQ=16×1.5=24(海里)，PR=12×1.5=18(海里)，QR=30(海里).
∵242+182=302，
即PQ2+PR2=QR2，
∴∠QPR=90°.
由“遠(yuǎn)航號(hào)”沿東北方向航行可知，∠QPS=45°，則∠SPR=45°，即“海天”號(hào)沿西北方向航行.
點(diǎn)評(píng)： 此題主要是能夠根據(jù)勾股定理的逆定理發(fā)現(xiàn)直角三角形.
23.數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目.
小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：
(1)特殊情況•探索結(jié)論
當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線段AE與的DB大小關(guān)系.請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AE = DB(填“>”，“<”或“=”).
特例啟發(fā)，解答題目
解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE = DB(填“>”，“<”或“=”).理由如下：
如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，(請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程)
(3)拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題
在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC.若△ABC的邊長(zhǎng)為1，AE=2，求CD的長(zhǎng)(請(qǐng)你直接寫出結(jié)果).
考點(diǎn)： 全等三角形的判定與性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理;等邊三角形的判定與性質(zhì).
專題： 計(jì)算題;證明題;壓軸題;分類討論.
分析： (1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠D=∠ECB=30°，∠ABC=60°，求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案;
作EF∥BC，證出等邊三角形AEF，再證△DBE≌△EFC即可得到答案;
(3)分為四種情況：畫出圖形，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出符合條件的CD即可.
解答： 解：(1)答案為：=.
答案為：=.
證明：在等邊△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，
∴AE=AF=EF，
∴AB﹣AE=AC﹣AF，
即BE=CF，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∴∠BED=∠FCE，
在△DBE和△EFC中
，
∴△DBE≌△EFC(SAS)，
∴DB=EF，
∴AE=BD.
(3)解：分為四種情況：
如圖1：
∵AB=AC=1，AE=2，
∴B是AE的中點(diǎn)，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形(根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半)，
∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，
∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°，
即△DEB是直角三角形.
∴BD=2BE=2(30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半)，
即CD=1+2=3.
如圖2，
過(guò)A作AN⊥BC于N，過(guò)E作EM⊥CD于M，
∵等邊三角形ABC，EC=ED，
∴BN=CN= BC= ，CM=MD= CD，AN∥EM，
∴△BAN∽△BEM，
∴ = ，
∵△ABC邊長(zhǎng)是1，AE=2，
∴ = ，
∴MN=1，
∴CM=MN﹣CN=1﹣ = ，
∴CD=2CM=1;
如圖3，∵∠ECD>∠EBC(∠EBC=120°)，而∠ECD不能大于120°，否則△EDC不符合三角形內(nèi)角和定理，
∴此時(shí)不存在EC=ED;
如圖4
∵∠EDC<∠ABC，∠ECB>∠ACB，
又∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ECD>∠EDC，
即此時(shí)ED≠EC，
∴此時(shí)情況不存在，
答：CD的長(zhǎng)是3或1.
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查對(duì)全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.