初二數(shù)學(xué)下第五章生活中的軸對(duì)稱單元檢測(cè)試卷B
初二數(shù)學(xué)下第五章生活中的軸對(duì)稱單元檢測(cè)試卷B
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初二數(shù)學(xué)下第五章生活中的軸對(duì)稱單元檢測(cè)試題B
一.選擇題 (本大題共12小題，每小題4分，共48分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的)
1.等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為13cm、6cm，那么第三邊長(zhǎng)為( )
A.7cm B.13cm C.6cm D.8cm
2.下列四個(gè)判斷：①成軸對(duì)稱的兩個(gè)三角形是全等三角形;②兩個(gè)全等三角形一定成軸對(duì)稱;③軸對(duì)稱的兩個(gè)圓的半徑相等;④半徑相等的兩個(gè)圓成軸對(duì)稱，其中正確的有( )
A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)
3.如圖是跳棋盤，其中格點(diǎn)上的黑色點(diǎn)為棋子，剩余的格點(diǎn)上沒(méi)有棋子，我們約定跳棋游戲的規(guī)則是：把跳棋棋子在棋盤內(nèi)沿直線隔著棋子對(duì)稱跳行，跳行一次稱為一步，已知點(diǎn)A為乙方一枚棋子，欲將棋子A跳進(jìn)對(duì)方區(qū)域(陰影部分的格點(diǎn))，則跳行的最少步數(shù)為( )
A.2步 B.3步 C.4步 D.5步
4.如圖，在邊長(zhǎng)為1正方形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，3AE=EB，有一只螞蟻從E點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)F、G、H，最后回點(diǎn)E點(diǎn)，則螞蟻所走的最小路程是( )
A.2 B.4 C. D.
5.如圖①是一個(gè)直角三角形紙片，∠A=30°，BC=4cm，將其折疊，使點(diǎn)C落在斜邊上的點(diǎn)C′處，折痕為BD，如圖②，再將②沿DE折疊.使點(diǎn)A落在DC′的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)A′處，如圖③，則折痕DE的長(zhǎng)為( )
A. cm B. cm C. cm D.3cm
6.三角形ABC的三條內(nèi)角平分線為AE、BF、CG，下面的說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有( )
?、佟鰽BC的內(nèi)角平分線上的點(diǎn)到三邊距離相等
?、谌切蔚娜龡l內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)
?、廴切蔚膬?nèi)角平分線位于三角形的內(nèi)部
?、苋切蔚娜我粌?nèi)角平分線將三角形分成面積相等的兩部分.
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
7.下列各語(yǔ)句中不正確的是( )
A.全等三角形的周長(zhǎng)相等
B.全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等
C.到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上
D.線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩端點(diǎn)的距離相等
8.在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=70°.在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫( )
A.7條 B.8條 C.9條 D.10條
9.已知，如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，連接BE、CE，∠ABD+ ∠3=90°，∠1=∠2=∠3，下列結(jié)論：①△ABD為等腰三角形;②AE=AC;③BE=CE=CD;④CB平分∠ACE.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
10.若一個(gè)三角形的最小內(nèi)角為60°，則下列判斷中正確的有( )
(1)這個(gè)三角形是銳角三角形;(2)這個(gè)三角形是等腰三角形;(3)這個(gè)三角形是等邊三角形;(4)形狀不能確定;(5)不存在這樣的三角形.
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
11.已知△ABC中，三邊a，b，c滿足|b﹣c|+(a﹣b)2=0，則∠A等于( )
A.60° B.45° C.90° D.不能確定
12.邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，記為第1個(gè)等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接得到一個(gè)正六邊形，記為第1個(gè)正六邊形，取這個(gè)正六邊形不相鄰的三邊中點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)等邊三角形，記為第2個(gè)等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)正六邊形，記為第2個(gè)正六邊形(如圖)，…，按此方式依次操作，則第6個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)為( )
A. B. C. D.
二.填空題(共6小題,共24分)
13.把圖中的某兩個(gè)小方格涂上陰影，使整個(gè)圖形是以虛線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形.
.
14.如圖所示，已知△ABC的周長(zhǎng)是20，OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，則△ABC的面積是 .
15.在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中線BD將三角形周長(zhǎng)分為15和21兩部分，則這個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)為 .
16.如圖，△ABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)O.給出下列三個(gè)條件：①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.上述三個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件可判定△ABC是等腰三角形(用序號(hào)寫出一種情形)： .
17.如圖，已知△ABC中，AC+BC=24，AO、BO分別是角平分線，且MN∥BA，分別交AC于N、BC于M，則△CMN的周長(zhǎng)為 .
18.如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，E重合)，在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ.則下列結(jié)論：①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP.其中正確的是 .
三.解答題(共8小題)
19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，﹣3)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣1，3)，回答下列問(wèn)題
(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)是 .
(2)點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 .
(3)△ABC的面積為 .
(4)畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A′B′C′.
20.如圖，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C、D.
求證：(1)∠ECD=∠EDC;
(2)OC=OD;
(3)OE是線段CD的垂直平分線.
21.如圖，在ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，分別交AB，BC于D，E.
(1)若∠CAE=∠B+30°，求∠B的大小;
(2)若AC=3，AB=5，求△AEB的周長(zhǎng).
22.小明用一條長(zhǎng)30cm的細(xì)繩圍成了一個(gè)等腰三角形，他想使這個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的2倍，那么這個(gè)三角形的各邊的長(zhǎng)分別是多少?
23.已知如圖1：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC交AB、AC于E、F.
?、賵D中有幾個(gè)等腰三角形?請(qǐng)說(shuō)明EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系.
?、谌鬉B≠AC，其他條件不變，如圖2，圖中還有等腰三角形嗎?如果有，請(qǐng)分別指出它們.另第①問(wèn)中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?
③若△ABC中，∠B的平分線與三角形外角∠ACD的平分線CO交于O，過(guò)O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F.如圖3，這時(shí)圖中還有哪幾個(gè)等腰三角形?EF與BE、CF間的關(guān)系如何?為什么?
24.在等腰三角形中，過(guò)其中的一個(gè)頂點(diǎn)的直線如果能把這個(gè)等腰三角形分成兩個(gè)小的等腰三角形，我們稱這種等腰三角形為“少見的三角形”，這條直線稱為分割線，下面我們來(lái)研究這類三角形.
(1)等腰直角三角形是不是“少見的三角形”?
(2)已知如圖所示的鈍角三角形是一個(gè)“少見的三角形”，請(qǐng)你畫出分割線的大致位置，并求出頂角的度數(shù);
(3)銳角三角形中有沒(méi)有“少見的三角形”?如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由;如果有，請(qǐng)畫出圖形并求出頂角的度數(shù).
25.數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下的題目：
“在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且ED=EC，如圖，試確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由”.
小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：
(1)特殊情況，探索結(jié)論
當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AE DB(填“>”，“<”或“=”).
(2)特例啟發(fā)，解答題目
解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE DB(填“>”，“<”或“=”).理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F.(請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程)
(3)拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題
在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC.若△ABC的邊長(zhǎng)為1，AE=2，求CD的長(zhǎng)(請(qǐng)你直接寫出結(jié)果).
26.數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目.
小明與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：
(1)特殊情況，探索結(jié)論
當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AE DB(填“>”，“<”或“=”).
(2)一般情況，證明結(jié)論：
如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F.(請(qǐng)你繼續(xù)完成對(duì)以上問(wèn)題(1)中所填寫結(jié)論的證明)
(3)拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題：
在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC. 若△ABC的邊長(zhǎng)為1，AE=2，則CD的長(zhǎng)為 (請(qǐng)直接寫出結(jié)果).
初二數(shù)學(xué)下第五章生活中的軸對(duì)稱單元檢測(cè)試題B答案
一.選擇題(共12小題)
1.【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)分別為13cm、6cm，而沒(méi)有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.
【解答】解：當(dāng)6cm是腰時(shí)，因6+6<13，不能組成三角形，應(yīng)舍去;
當(dāng)13cm是腰時(shí)，6cm、13cm、13cm能夠組成三角形.
則第三邊應(yīng)是13cm.
故選：B.
2. 【分析】注意全等三角形與軸對(duì)稱的性質(zhì)
【解答】解：①成軸對(duì)稱的圖形，關(guān)于對(duì)稱軸折疊后可重合，正確;
②軸對(duì)稱不僅考慮全等，還要考慮位置，所以全等三角形不一定成軸對(duì)稱，錯(cuò)誤;
③錯(cuò)誤.兩個(gè)同心圓，是軸對(duì)稱圖形，半徑不相等.
?、軆蓚€(gè)圓半徑相等，則全等，并且總能找到作為對(duì)稱軸的一條直線，所以一定成軸對(duì)稱，正確.
∴①④共2個(gè)正確.
故選C.
3. 【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，由軸對(duì)稱的性質(zhì)判定正確選項(xiàng).
【解答】解：觀察圖形可知：先向右跳行，在向左，最后沿著對(duì)稱的方法即可跳到對(duì)方那個(gè)區(qū)域，所以最少是3步.
故選B.
4.【分析】延長(zhǎng)DC到D'，使CD=CD'，G對(duì)應(yīng)位置為G'，則FG=FG'，作D'A'⊥CD'，D'A'=DA，H對(duì)應(yīng)的位置為H'，則G'H'=GH，再作A'B'⊥D'A'，E的對(duì)應(yīng)位置為E'，則H'E'=HE.由兩點(diǎn)之間線段最短可知當(dāng)E、F、G'、H'、E'在一條直線上時(shí)路程最小，再延長(zhǎng)AB至K使BK=AB，連接E′K，利用勾股定理即可求出EE′的長(zhǎng).
【解答】解：延長(zhǎng)DC到D'，使CD=CD'，G關(guān)于C對(duì)稱點(diǎn)為G'，則FG=FG'，
同樣作D'A'⊥CD'，D'A'=DA，H對(duì)應(yīng)的位置為H'，則G'H'=GH，
再作A'B'⊥D'A'，E的對(duì)應(yīng)位置為E'，
則H'E'=HE.
容易看出，當(dāng)E、F、G'、H'、E'在一條直線上時(shí)路程最小，
最小路程為EE'= = =2 .
故選C.
5.【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ABC=60°，翻折前后兩個(gè)圖形能夠互相重合可得∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=30°，∠ADE=∠A′DE，然后求出∠BDE=90°，再解直角三角形求出BD，然后求出DE即可.
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，
∴∠ABC=90°﹣30°=60°，
∵沿折痕BD折疊點(diǎn)C落在斜邊上的點(diǎn)C′處，
∴∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD= ∠ABC=30°，
∵沿DE折疊點(diǎn)A落在DC′的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)A′處，
∴∠ADE=∠A′DE，
∴∠BDE=∠A′DB+∠A′DE= ×180°=90°，
在Rt△BCD中，BD=BC÷cos30°=4÷ = cm，
在Rt△BDE中，DE=BD•tan30°= × = cm.
故選：C.
6. 【分析】畫出圖形，設(shè)O為∠BAC的角平分線和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，過(guò)O作ON⊥AB于N，OM⊥BC于M，OQ⊥AC于Q，求出ON=OM=OQ，判斷即可.
【解答】解：
∵設(shè)O為∠BAC的角平分線和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，過(guò)O作ON⊥AB于N，OM⊥BC于M，OQ⊥AC于Q，
∴ON=OQ，OQ=OM，
∴ON=OM=OQ，
∴△ABC的三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，∴①錯(cuò)誤;
∵ON⊥AB，OM⊥BC，ON=OM，
∴O在∠ABC的角平分線上，
即O是△ABC的三個(gè)角的平分線交點(diǎn)，∴②正確;
∵三角形的三個(gè)內(nèi)角的平分線都在三角形的內(nèi)部，∴③正確;
∵三角形的任意中線把三角形的面積分為面積相等的兩部分，而三角形的任意角平分線不一定把三角形的面積分成面積相等的兩部分，∴④錯(cuò)誤;
故選B.
7.【分析】此題從已知開始結(jié)合全等三角形、角平分線、中垂線的相關(guān)性質(zhì)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.
【解答】解：全等三角形是能夠完全重合的兩個(gè)三角形，因此它們的周長(zhǎng)相等，對(duì)應(yīng)角也相等;故A、B正確;
到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在角的平分線所在直線上，很明顯C的敘述有漏解的情況，故C錯(cuò)誤;
線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，是中垂線的性質(zhì)，故D正確;
故選C.
8. 【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，進(jìn)行劃分，即可解答.
【解答】解：如圖：
∴最多畫8條，
故選：B.
9. 【分析】可根據(jù)證△ABF≌△△ADF推出AB=AD，得出△ABD為等腰三角形;可根據(jù)同弦所對(duì)的圓周角相等點(diǎn)A、B、C、E共圓，可判出BE=CE=CD，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，可判出AE=AC;求出∠7=90°﹣ ∠2，根據(jù)∠1=∠4=∠2推出∠4≠∠7，即可得出BC不是∠ACE的平分線.
【解答】解：作AF平分∠BAD，
∵∠BAD=∠3，∠ABD+ ∠3=90°，
∴∠BAF= ∠3=∠DAF，
∴∠ABF+∠BAF=90°
∴∠AFB=∠AFD=90°，
在△BAF和△DAF中
∴△ABF≌△ADF(ASA)，
∴AB=AD，∴①正確;
∵∠BAD=∠2=∠3，
∴點(diǎn)A、B、E、C在同一個(gè)圓上，
∴∠BAE=∠4=∠3，∠ABC=∠6，
∴BE=CE，
∵∠5=∠ADB=∠ABD，∠BAE=∠4，
∴∠5=∠6，
∴CE=CD，
即CD=CE=BE，∴③正確;
∵∠6+∠2+∠ACE=180°，∠6=∠5=∠ADB=∠ABD=90°﹣ ∠2.
∴∠ACE=180°﹣∠6﹣∠2=90°﹣ ∠2，
∴∠ACE=∠6，
∴AE=CE，∴②正確
∵∠5=∠2+∠7=90°﹣ ∠2，
∴∠7=90°﹣ ∠2，
∵∠BAD=∠4=∠2，
∴∠4≠∠7，∴④錯(cuò)誤;
故選C.
10. 【分析】因?yàn)樽钚〗菫?0度，則該三角形的最大角不能大于60度，否則最小的角將不是60°，則可以得到其三個(gè)角均為60度，即是一個(gè)等邊三角形.
【解答】解：因?yàn)樽钚〗菫?0度，則該三角形的最大角不能大于60度，否則不合題意，則可以得到其三個(gè)角均為60度，即是一個(gè)等邊三角形;
其最大角不大于90度，所以是銳角三角形;
等邊三角形是特殊的等腰三角形.
所以前三項(xiàng)正確，即正確有三個(gè).
故選C.
11. 【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求解得到a=b=c，然后選擇答案即可.
【解答】解：△ABC中，三邊a，b，c滿足|b﹣c|+(a﹣b)2=0，
∴b﹣c=0，a﹣b=0，
∴a=b=c，
∴三角形是等邊三角形，所以∠A=60°.
故答案選：A.
12.【分析】連接AD、DB、DF，求出∠AFD=∠ABD=90°，根據(jù)HL證兩三角形全等得出∠FAD=60°，求出AD∥EF∥GI，過(guò)F作FZ⊥GI，過(guò)E作EN⊥GI于N，得出平行四邊形FZNE得出EF=ZN= a，求出GI的長(zhǎng)，求出第一個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是 a，是等邊三角形QKM的邊長(zhǎng)的 ;同理第二個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是等邊三角形GHI的邊長(zhǎng)的 ;求出第五個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)，乘以 即可得出第六個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng).
【解答】解：連接AD、DF、DB.
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠ABC=∠BAF=∠AFE，AB=AF，∠E=∠C=120°，EF=DE=BC=CD，
∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°，
∵∠AFE=∠ABC=120°，
∴∠AFD=∠ABD=90°，
在Rt△ABD和RtAFD中
∴Rt△ABD≌Rt△AFD(HL)，
∴∠BAD=∠FAD= ×120°=60°，
∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°，
∴AD∥EF，
∵G、I分別為AF、DE中點(diǎn)，
∴GI∥EF∥AD，
∴∠FGI=∠FAD=60°，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，△QKM是等邊三角形，
∴∠EDM=60°=∠M，
∴ED=EM，
同理AF=QF，
即AF=QF=EF=EM，
∵等邊三角形QKM的邊長(zhǎng)是a，
∴第一個(gè)正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)是 a，即等邊三角形QKM的邊長(zhǎng)的 ，
過(guò)F作FZ⊥GI于Z，過(guò)E作EN⊥GI于N，
則FZ∥EN，
∵EF∥GI，
∴四邊形FZNE是平行四邊形，
∴EF=ZN= a，
∵GF= AF= × a= a，∠FGI=60°(已證)，
∴∠GFZ=30°，
∴GZ= GF= a，
同理IN= a，
∴GI= a+ a+ a= a，即第二個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是 a，與上面求出的第一個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)的方法類似，可求出第二個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是 × a;
同理第第三個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是 × a，與上面求出的第一個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)的方法類似，可求出第三個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是 × × a;
同理第四個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是 × × a，第四個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是 × × × a;
第五個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是 × × × a，第五個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是 × × × × a;
第六個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是 × × × × a，第六個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是 × × × × × a，
即第六個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是 × a，
故選：A.
二.填空題(共6小題)
13.【分析】本題主要是根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)來(lái)做，就是從陰影部分圖形的各頂點(diǎn)向虛線作垂線并延長(zhǎng)相同的距離找對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接各點(diǎn)就可.
【解答】解：所作圖形如圖：
14.【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得點(diǎn)O到AB、AC、BC的距離都相等(即OE=OD=OF)，從而可得到△ABC的面積等于周長(zhǎng)的一半乘以3，代入求出即可.
【解答】解：如圖，連接OA，過(guò)O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，
∴OE=OF=OD=3，
∵△ABC的周長(zhǎng)是22，OD⊥BC于D，且OD=3，
∴S△ABC= ×AB×OE+ ×BC×OD+ ×AC×OF= ×(AB+BC+AC)×3
= 20×3=30，
故答案為：30.
15.【分析】本題由題意可知有兩種情況，AB+AD=15或AB+AD=21.從而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系可求出底邊為8或16.
【解答】解：∵BD是等腰△ABC的中線，可設(shè)AD=CD=x，則AB=AC=2x，
又知BD將三角形周長(zhǎng)分為15和21兩部分，
∴可知分為兩種情況
?、貯B+AD=15，即3x=15，解得x=5，此時(shí)BC=21﹣x=21﹣5=16;
②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7;此時(shí)等腰△ABC的三邊分別為14，14，8.
經(jīng)驗(yàn)證，這兩種情況都是成立的.
∴這個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)為8或16.
故答案為：16或8.
16.【分析】根據(jù)已知條件求證△EBO≌△DCO，然后可得∠OBC=∠OCB再利用兩角相等即可判定△ABC是等腰三角形.此題答案不唯一.
【解答】答：由①③條件可判定△ABC是等腰三角形.
證明：∵∠EBO=∠DCO，∠EOB=∠DOC，(對(duì)頂角相等)
BE=CD，
∴△EBO≌△DCO，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形.
17.【分析】根據(jù)AO、BO分別是角平分線和MN∥BA，求證△AON和△BOM為等腰三角形，再根據(jù)AC+BC=24，利用等量代換即可求出△CMN的周長(zhǎng)
【解答】解：AO、BO分別是角平分線，
∴∠OAN=∠BAO，∠ABO=∠OBM，
∵M(jìn)N∥BA，∴∠AON=∠BAO，∠MOB=∠ABO，
∴AN=ON，BM=OM，即△AON和△BOM為等腰三角形，
∵M(jìn)N=MO+ON，AC+BC=24，
∴△CMN的周長(zhǎng)=MN+MC+NC=AC+BC=24.
故答案為：24.
18.【分析】根據(jù)等邊三角形的三邊都相等，三個(gè)角都是60°，可以證明△ACD與△BCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=BE，所以①正確，對(duì)應(yīng)角相等可得∠CAD=∠CBE，然后證明△ACP與△BCQ全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得PC=PQ，從而得到△CPQ是等邊三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以找出相等的角，從而證明PQ∥AE，所以②正確;根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可以推出AP=BQ，所以③正確，根據(jù)③可推出DP=EQ，再根據(jù)△DEQ的角度關(guān)系DE≠DP.
【解答】解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴180°﹣∠ECD=180°﹣∠ACB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD與△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，故①小題正確;
∵△ACD≌△BCE(已證)，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°(已證)，
∴∠BCQ=180°﹣60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP與△BCQ中， ，
∴△ACP≌△BCQ(ASA)，
∴AP=BQ，故③小題正確;PC=QC，
∴△PCQ是等邊三角形，
∴∠CPQ=60°，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ∥AE，故②小題正確;
∵AD=BE，AP=BQ，
∴AD﹣AP=BE﹣BQ，
即DP=QE，
∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE，故④小題錯(cuò)誤.
綜上所述，正確的是①②③.
故答案為：①②③.
三.解答題(共8小題)
19.(【分析】(1)根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫出即可;
(2)根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)解答;
(3)利用三角形所在的矩形的面積減去四周三個(gè)直角三角形的面積，列式計(jì)算即可得解;
(4)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B、C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′、B′、C′的位置，然后順次連接即可.
【解答】解：(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)是(﹣3，﹣2);
(2)點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，﹣3);
(3)△ABC的面積=6×6﹣ ×2×5﹣ ×1×6﹣ ×4×6，
=36﹣5﹣3﹣12，
=36﹣20，
=16;
(4)如圖所示，△A′B′C′即為所求作的三角形.
故答案為：(1)(﹣3，﹣2)，(2)(1，﹣3)，(3)16.
20.【分析】(1)根據(jù)角平分線性質(zhì)可證ED=EC，從而可知△CDE為等腰三角形，可證∠ECD=∠EDC;
(2)由OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，OE=OE，可證△OED≌△OEC，可得OC=OD;
(3)根據(jù)ED=EC，OC=OD，可證OE是線段CD的垂直平分線.
【解答】證明：(1)∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ED=EC，即△CDE為等腰三角形，
∴∠ECD=∠EDC;
(2)∵點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，OE=OE，
∴△OED≌△OEC(AAS)，
∴OC=OD;
(3)∵OC=OD，且DE=EC，
∴OE是線段CD的垂直平分線.
21.【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AE=BE，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠B=∠BAE，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B，然后在△ACE中，根據(jù)直角三角形兩銳角互余列出方程求解即可;
(2)利用勾股定理列式求出BC=4，設(shè)AE=BE=x，表示出CE=4﹣x，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理列式求出x，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)的定義列式計(jì)算即可得解.
【解答】解：(1)∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE，
∴∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B，
在△ACE中，∠CAE+∠CEA=∠B+30°+2∠B=90°，
解得∠B=20°;
(2)由勾股定理得，BC= = =4，
設(shè)AE=BE=x，則CE=4﹣x，
在Rt△ACE中，AC2+CE2=AE2，
即32+(4﹣x)2=x2，
解得x= ，
∴△AEB的周長(zhǎng)= ×2+5=11.25.
22.【分析】可設(shè)一邊長(zhǎng)為x，則另一邊長(zhǎng)為2x，然后分x為腰和底兩種情況，表示出周長(zhǎng)解出x，再利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證即可.
【解答】解：設(shè)一邊為xcm，則另一邊為2xcm，
當(dāng)長(zhǎng)為xcm的邊為腰時(shí)，此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為xcm、xcm、2xcm，
由題意可列方程：x+x+2x=30，解得x=7.5，此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為：7.5、7.5和15，因?yàn)?.5+7.5=15，不符合三角形三邊之間的關(guān)系，所以不符合題意;
當(dāng)長(zhǎng)為xcm的邊為底時(shí)，此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為xcm、2xcm、2xcm，
由題意可列方程：x+2x+2x=30，解得x=6，此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為：6、12、12，滿足三角形的三邊之間的關(guān)系，
所以這個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)分別為6cm、12cm和12cm.
23.【分析】(1)根據(jù)EF∥BC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，可得∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，再加上題目中給出的AB=AC，共5個(gè)等腰三角形;根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得出EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系.
(2)根據(jù)EF∥BC 和∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，還可以證明出△OBE和△OCF是等腰三角形;利用幾個(gè)等腰三角形的性質(zhì)即可得出EF與BE，CF的關(guān)系.
(3)EO∥BC和OB，OC分別是∠ABC與∠ACL的角平分線，還可以證明出△BEO和△CFO是等腰三角形.
【解答】解：(1)有5個(gè)等腰三角形，EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系是：EF=BE+CF=2BE=2CF.理由如下：
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
又∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∴∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，
∴OE=BE，OF=CF，
∴EF=OE+OF=BE+CF.
又AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC，
∴EF=BE+CF=2BE=2CF;
(2)有2個(gè)等腰三角形分別是：等腰△OBE和等腰△OCF;
第一問(wèn)中的EF與BE，CF的關(guān)系是：EF=BE+CF.
(3)有，還是有2個(gè)等腰三角形，△EBO，△OCF，EF=BE﹣CF，理由如下：
∵EO∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠OCG(G是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn))
又∵OB，OC分別是∠ABC與∠ACG的角平分線
∴∠EBO=∠OBC，∠ACO=∠OCD，
∴∠EOB=∠EBO，
∴BE=OE，
∠FCO=∠FOC，
∴CF=FO，
又∵EO=EF+FO，
∴EF=BE﹣CF.
24.【分析】(1)畫出圖形，利用三角形內(nèi)角和進(jìn)行計(jì)算，可得等腰直角三角形是“少見的三角形”;
(2)畫出圖形，利用等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和進(jìn)行解答;
(3)有，畫出圖形，利用等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和進(jìn)行解答.
【解答】解：(1)如圖1，
當(dāng)過(guò)頂角∠C的頂點(diǎn)的直線CD把△ABC分成了兩個(gè)等腰三角形，則AC=BC，AD=CD=BD，
設(shè)∠A=x°，
則∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，
∴∠BCD=∠B=x°，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°
∴x+x+x+x=180，
解得x=45，
則頂角是90°;
∴△ABC是等腰直角三角形，
即等腰直角三角形是“少見的三角形”;
(2)如圖2，
AC=CD=AB，BD=AD，
設(shè)∠B=x°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=x°，
∵BD=AD，
∴∠BAD=∠B=x°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=2x°，
∵AC=DC，
∴∠ADC=∠CAD=2x°，
∴∠BAC=3x°，
∴x+x+3x=180，
x=36°，
則頂角∠BAC=108°.
(3)如圖3，
當(dāng)過(guò)底角∠CAB的角平分線AD把△ABC分成了兩個(gè)等腰三角形，則有AC=BC，AB=AD=CD，
設(shè)∠C=x°，
∵AD=CD，
∴∠CAD=∠C=x°，
∴∠ADB=∠CAD+∠C=2x°，
∵AD=AB，
∴∠B=∠ADB=2x°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠B=2x°，
∵∠CAB+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180，
x=36°，
則頂角是36°.
25.【分析】(1)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可;
(2)過(guò)E作EF∥BC交AC于F，求出等邊三角形AEF，證△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可;
(3)當(dāng)D在CB的延長(zhǎng)線上，E在AB的延長(zhǎng)線式時(shí)，由(2)求出CD=3，當(dāng)E在BA的延長(zhǎng)線上，D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求出CD=1.
【解答】解：(1)故答案為：=.
(2)過(guò)E作EF∥BC交AC于F，
∵等邊三角形ABC，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AE=EF=AF，
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，
∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，
∵DE=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠BED=∠ECF，
在△DEB和△ECF中
，
∴△DEB≌△ECF，
∴BD=EF=AE，
即AE=BD，
故答案為：=.
(3)解：CD=1或3，
理由是：分為兩種情況：①如圖1
過(guò)A作AM⊥BC于M，過(guò)E作EN⊥BC于N，
則AM∥EN，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM= BC= ，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴△AMB∽△ENB，
∴ = ，
∴ = ，
∴BN= ，
∴CN=1+ = ，
∴CD=2CN=3;
②如圖2，作AM⊥BC于M，過(guò)E作EN⊥BC于N，
則AM∥EN，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM= BC= ，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴ = ，
∴ = ，
∴MN=1，
∴CN=1﹣ = ，
∴CD=2CN=1，
即CD=3或1.
26. 【分析】(1)當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，過(guò)E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F，則可證明△BDE≌△FEC，可得到AE=DB;
(2)類似(1)過(guò)E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F，可利用AAS證明△BDE≌△FEC，可得BD=EF，再證明△AEF是等邊三角形，可得到AE=EF，可得AE=DB;
(3)分為四種情況：畫出圖形，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出符合條件的CD即可.
【解答】解：(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF為等邊三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
在△BDE和△FEC中，
∴△BDE≌△FEC(AAS)，
∴BD=EF，
∴AE=BD，
故答案為：=;
(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF為等邊三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
在△BDE和△FEC中
∴△BDE≌△FEC(AAS)，
∴BD=EF，
∴AE=BD.
(3)解：分為四種情況：
如圖3，
∵AB=AC=1，AE=2，
∴B是AE的中點(diǎn)，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形(根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半)，
∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，
∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°，
即△DEB是直角三角形.
∴BD=2BE=2(30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半)，
即CD=1+2=3.
如圖4，
過(guò)A作AN⊥BC于N，過(guò)E作EM⊥CD于M，
∵等邊三角形ABC，EC=ED，
∴BN=CN= BC= ，CM=MD= CD，AN∥EM，
∴△BAN∽△BEM，
∴ ，
∵△ABC邊長(zhǎng)是1，AE=2，
∴ = ，
∴MN=1，
∴CM=MN﹣CN=1﹣ = ，
∴CD=2CM=1;
如圖5，
∵∠ECD>∠EBC(∠EBC=120°)，而∠ECD不能大于120°，否則△EDC不符合三角形內(nèi)角和定理，
∴此時(shí)不存在EC=ED;
如圖6，
∵∠EDC<∠ABC，∠ECB>∠ACB，
又∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ECD>∠EDC，
即此時(shí)ED≠EC，
∴此時(shí)情況不存在，
答：CD的長(zhǎng)是3或1.
故答案為：1或3.