三角形的中線和中位線是三角形中的兩條重要線段，也是初中幾何中兩個(gè)易混的概念。

　　一、考點(diǎn)精講精練

　　考點(diǎn)1、三角形、分類

　　例1、三角形是( )

　　A、連接任意三點(diǎn)組成的圖形;B、由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所成的圖形;

　　C、由三條線段組成的圖形;D、以上說(shuō)法均不對(duì) 。

　　例2、如圖所示，以BC為邊的三角形共有( )

　　例題2圖

　　A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)

　　例3、下列說(shuō)法正確的有( )

　?、俚妊切问堑冗吶切? ②三角形按邊分可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形;

　?、鄣妊切沃辽儆袃蛇呄嗟? ④三角形按角分類應(yīng)分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。

　　A.①② B.①③④ C.③④ D.①②④

　　例4、若三角形三邊之比為3：4：5，周長(zhǎng)為 24，則三角形的三邊分別為 ?

　　例5、△ABC的周長(zhǎng)為22cm，AB邊比AC邊長(zhǎng)2cm，BC邊是AC邊的一半，求△ABC三邊的長(zhǎng)。

　　舉一反三：

　　1、三角形按邊分類可分為( )

　　A、等腰三角形和等邊三角形;B、鈍角三角形、銳角三角形和直角三角形;

　　C、等腰三角形和不等邊三角形;D、等邊三角形和不等邊三角形 。

　　2、一位同學(xué)用三根木棒拼成如下圖形，則其中符合三角形概念的是( )

　　第2題圖

　　A、① B、② C、③ D、④

　　3、三角形的周長(zhǎng)為12，且三邊a,b,c有如下關(guān)系a=b+1,b=c+1,則a,b,c的長(zhǎng)分別為多少?

　　4、△ABC周長(zhǎng)為120，已知CB比CA長(zhǎng)28，CB比AB短4，求三邊長(zhǎng)各為多少?

　　5、已知△ABC的周長(zhǎng)為38cm.最長(zhǎng)邊與最短邊之差為7cm，最長(zhǎng)邊與最短邊之和為27cm，求△ABC各邊的長(zhǎng)。

　　考點(diǎn)2、三角形的高、中線、角平分線：

　　例1、如圖，BO、CO分別平分∠ABC與∠ACB，MN∥BC，若AB=36，AC=24，則△AMN的周長(zhǎng)是( )

　　例題1圖

　　A、60 B、66 C、72 D、78

　　例2、三角形的下列線段中能將三角形的面積分成相等兩部分的是(　 　)

　　A、中線 B、角平分線 C、高線 D、中位線

　　例3、如圖，直角三角形ABC中，∠C=90°，若AC="3" cm，BC="4" cm，AB="5" cm，則點(diǎn)C到AB的最短距離等于 cm。

　　例題3圖

　　例4、如圖，AD、AE分別是△ABC的角平分線和高，∠B=50°，∠C=70°，求∠EAD的度數(shù)。

　　例題4圖

　　例5、如圖，AD為△ABC的中線,

　　(1)作△ABD的中線BE;

　　(2)作△BED的BD邊上的高EF;

　　(3)若△ABC的面積為60，BD=10，則點(diǎn)E到BC邊的距離為多少?

　　例題5圖

　　舉一反三：

　　1、鈍角三角形的內(nèi)心在這個(gè)三角形的( )

　　A、內(nèi)部　 B、外部 　C、一條邊上 D、以上都有可能

　　2、如圖,在△ABC中,∠A=50°,BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的角平分線,則∠BOC=_________。

　　第2題圖

　　3、如圖，在△ABC 中，BC = 5 cm ，BP , CP 分別是 ∠ABC 和 ∠ACB 的角平分線，且 PD∥AB，PE∥AC ，則 △PDE的周長(zhǎng)是?

　　第3題圖

　　4、如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°，

　　(1)用直尺和圓規(guī)作∠ABC的平分線BD，交AC于點(diǎn)D.(保留作圖痕跡，不要求寫作法)

　　(2)在(1)中作出∠ABC的平分線后，求∠BDC的度數(shù)。

　　第4題圖

　　5、如圖所示，在△ABC中，已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是BC，AD，CE的中點(diǎn)，且 S△ACB =4，則 S△BEF 的值為多少?

　　第5題圖

　　考點(diǎn)3、三角形三邊關(guān)系

　　例1、長(zhǎng)度分別為2，7，x的三條線段能組成一個(gè)三角形，x 的值可以是( )

　　A、4 B、5 C、6 D、9

　　例2、a、b、c為三角形的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)：|a+b+c|-|a-b-c|-|a-b+c|-|a+b-c|，結(jié)果是( )

　　A、0 B、2a+2b+2c C、4a D、2b-2c

　　例3、已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)都是整數(shù)，且其中兩條邊長(zhǎng)分別為21和2002，則這樣的三角形共有______個(gè)。

　　例4、已知a,b,c是△ABC的三邊，a,b滿足|a-4|+(b-2)²=0,c為奇數(shù)，求△ABC的周長(zhǎng) ?

　　例5、如圖，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，證明：OA+OB+OC>1/2 (AB+BC+CA)

　　例題5圖

　　舉一反三：

　　1、若△ABC的周長(zhǎng)為20，則AB的長(zhǎng)可能為( )

　　A、8 B、10 C、12 D、14

　　2、三角形的三邊長(zhǎng)分別為5，8，x，則最長(zhǎng)邊x的取值范圍是( )

　　A、3

　　3、△ABC的邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且最大邊的邊長(zhǎng)為7，那么這樣的三角形共有___個(gè)。

　　4、已知三角形三條邊分別為a+4,a+5,a+6,求a的取值范圍。

　　5、已知a，b，c分別為△ABC的三邊長(zhǎng)且滿足a+b=3c-2,a-b=2c-6 ;

　　(1)求c的取值范圍;(2)若△ABC的周長(zhǎng)為18，求c的值 。

　　考點(diǎn)4、三角形的穩(wěn)定性

　　例1、如圖，工人師傅砌門時(shí)，常用木條 EF 固定矩形門框ABCD，使其不變形，這種做法的根據(jù)是( )

　　例題1圖

　　A、兩點(diǎn)之間直線段最短 ; B、矩形的穩(wěn)定性;C、矩形四個(gè)角都是直角 ; D、三角形的穩(wěn)定性

　　例2、如圖，工人師傅做了一個(gè)長(zhǎng)方形窗框ABCD，E、F、G、H分別是四條邊上的中點(diǎn)，為了使它穩(wěn)固，需要在窗框上釘一根木條，這根木條不應(yīng)釘在( )

　　例題2圖

　　A.A、C兩點(diǎn)之間 ; B.E、G兩點(diǎn)之間 ; C.B、F兩點(diǎn)之間 ; D.G、H兩點(diǎn)之間 。

　　例3、如圖，6根鋼管交接成六邊形鋼架ABCDEF，要使鋼架穩(wěn)定且不能活動(dòng)，最少還需 根鋼管。

　　例題3圖

　　例4、工人師傅要將邊長(zhǎng)為4m和3m的平行四邊形框架固定，現(xiàn)有下列長(zhǎng)度的木棒，在木棒的兩端釘上達(dá)到固定平行四邊形的目的，不符合要求的是( )

　　A、2m B、3m C、4m D、8m

　　例5、如圖，是一個(gè)用六根竹條連接而成的凸六邊形風(fēng)箏骨架，考慮到骨架的穩(wěn)固性、美觀性、實(shí)用性等因素，需再加竹條與其頂點(diǎn)連接。

　　例題5圖

　　要求：

　　(1)在圖(1)、(2)中分別加適當(dāng)根竹條，設(shè)計(jì)出兩種不同連接方案;

　　(2)通過(guò)上面的設(shè)計(jì)，可以看出至少需再加幾根竹條，才能保證風(fēng)箏骨架穩(wěn)固、美觀和實(shí)用?

　　(3)在上面的方案設(shè)計(jì)過(guò)程中，你所應(yīng)用的數(shù)學(xué)道理是什么?

　　舉一反三：

　　1、如圖.小王爸爸用四根木條釘成一個(gè)平行四邊形木架，要使木架不變形，他至少要釘上木條的根數(shù)為( )

　　圖(1)

　　A、0 根 B、1根 C、2根 D、3根

　　2、在現(xiàn)實(shí)的生產(chǎn)、生活中有以下四種情況：

　?、儆?ldquo;人”字梁建筑屋頂; ②自行車車梁是三角形結(jié)構(gòu);③用窗鉤來(lái)固定窗扇; ④商店的推拉防盜鐵門。

　　其中用到三角形穩(wěn)定性的是( )

　　A、①② B、②③ C、①②③ D、②③④

　　3、下列圖形中，不具有穩(wěn)定性的是( )

　　第3題圖

　　4、六邊形鋼架ABCDEF，由6條鋼管鉸接而成，如圖所示，為使這一鋼架穩(wěn)固，試用三條鋼管連接使之不能活動(dòng)，方法很多，請(qǐng)至少畫出三種方法.(只需畫圖，不必寫出作法)

　　第4題圖

　　參考答案:

　　考點(diǎn)1、三角形、分類

　　例1、B　 例2、C 例3、C

　　例4、設(shè)三角形的三邊是3x，4x，5x，則3x+4x+5x=24，解得x=2

　　∴三角形的三邊是6，8，10

　　例5、試題解析：設(shè)AC邊長(zhǎng)為xcm，則AB邊長(zhǎng)為(x+2)cm，BC邊長(zhǎng)為x，

　　根據(jù)題意，得x+(x+2)+x=22，

　　解得x=8，

　　∴x+2=10， x=4，

　　即AB=10cm，BC=4cm，AC=8cm.

　　舉一反三：

　　1、D 2、D

　　3、因?yàn)閍+b+c=12

　　所以 b+1+b+b-1=12，3b=12 ， b=4

　　因?yàn)閍=b+1,b=c+1 所以a=5 c=3

　　4、解：設(shè)CB=x，則CA=x-28，AB=x+4.依題意，得

　　x+x-28+x+4=120，解得 x=48，

　　則CB=48，則CA=x-28=48-28=20，AB=x+4=48+4=52，

　　答：三邊長(zhǎng)各為48、20、52.

　　5、

　　第5題圖

　　考點(diǎn)2、三角形的高、中線、角平分線：

　　例1、A　例2、A

　　例3、

　　圖(3)

　　例4、

　　圖(4)

　　例5、

　　圖(5)

　　舉一反三：

　　1、A 2、115° 3、5cm

　　.4、解：(1 )

　?、僖稽c(diǎn)B為圓心，以任意長(zhǎng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AB、BC于點(diǎn)E、F;

　?、诜謩e以點(diǎn)E、F為圓心，以大于 1/2 EF為半徑畫圓，兩圓相較于點(diǎn)G，連接BG角AC于點(diǎn)D即可;

　　圖(1)

　　圖(2)

　　5、

　　圖(5)

　　考點(diǎn)3、三角形三邊關(guān)系

　　例1、C 例2、A

　　例3、∵2002-21=1981， 2002+21=2023，

　　∴1981<第三邊<2023，

　　2023-1981-1=41，

　　即這樣的三角形共有41個(gè).

　　故答案為：41.

　　例4、a-4=0,a=4, b-2=0,b=2

　　∵2<c<6 c=3或5

　　周長(zhǎng)=4+2+3=9 或周長(zhǎng)=4+2+5=11

　　例5、證明：∵△ABO中，OA+OB>AB，

　　同理，OA+OC>CA，OB+OC>BC.

　　∴2(OA+OB+OC)>AB+BC+CA，

　　∴OA+OB+OC>1/2 (AB+BC+CA)。

　　舉一反三：

　　1、A 2、D

　　3、解：設(shè)另兩邊是x，y，那么x<7，y<7，且x+y>7，并且x，y都是整數(shù).

　　不妨設(shè)x≤y，滿足以上幾個(gè)條件的x，y的值有：1，7;2，6;3，5;4，4;6，3;2，7;4，5;4，6;5，5;7，3;4，7;5，6;5，7;6，6;6，7;7，7共有16種情況.

　　4、解：易得：a+4<a+5<a+6

　　所以，只需滿足條件：a+4+a+5>a+6 a>-3

　　5、

　　圖(5)

　　考點(diǎn)4、三角形的穩(wěn)定性

　　例1、D　例2、B 例3、 3 .例4、D

　　例5、解：(1)如圖所示：(答案不唯一)

　　例題5圖

　　(2)至少要三根;(3)三角形的穩(wěn)定性。

　　舉一反三：

　　1、B 2、C 3、B

　　4、如圖所示.