八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末測(cè)試題
八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末測(cè)試題
信心下妙筆生花，好狀態(tài)下能力揮灑。沉著應(yīng)對(duì)萬事俱備，人中才子舍我其誰。祝八年級(jí)數(shù)學(xué)期末考順利!小編整理了關(guān)于八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末測(cè)試題，希望對(duì)大家有幫助!
八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試題
一、精心選一選，慧眼識(shí)金!每小題3分，共24分，在四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)符合題目要求.
1.要使分式 有意義，則x的取值范圍是( )
A.x≠1 B.x>1 C.x<1 D.x≠﹣1
2.下列運(yùn)算正確的是( )
A.a3+a4=a7 B.2a3•a4=2a7 C.(2a4)3=8a7 D.a8÷a2=a4
3.下面有4個(gè)汽車標(biāo)致圖案，其中不是軸對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
4.在如圖中，正確畫出AC邊上高的是( )
A. B. C. D.
5.已知等腰三角形一邊長(zhǎng)為4，一邊的長(zhǎng)為6，則等腰三角形的周長(zhǎng)為( )
A.14 B.16 C.10 D.14或16
6.如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是( )
A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90°
7.圖(1)是一個(gè)長(zhǎng)為2a，寬為2b(a>b)的長(zhǎng)方形，用剪刀沿圖中虛線(對(duì)稱軸)剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長(zhǎng)方形，然后按圖(2)那樣拼成一個(gè)正方形，則中間空的部分的面積是( )
A.ab B.(a+b)2 C.(a﹣b)2 D.a2﹣b2
8.如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時(shí)，則∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變.請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是( )
A.∠A=∠1+∠2 B.2∠A=∠1+∠2 C.3∠A=2∠1+∠2 D.3∠A=2(∠1+∠2)
二、耐心填一填，一錘定音!每小題2分，共16分.
9.﹣ ﹣ = .
10.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(﹣2，3)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)P1的坐標(biāo)是 .
11.一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)都等于135°，則這個(gè)多邊形是 邊形.
12.生物學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一種新型病毒，這種病毒的長(zhǎng)度約為0.000043毫米，用科學(xué)記數(shù)法表示為 米.
13.若等腰三角形中有一個(gè)內(nèi)角等于50°，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為 度.
14.若a+b=6，ab=4，則a2+b2= .
15.如圖，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，PC∥OB交OA于C，若PC=6，則PD= .
16.如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：
?、俜謩e以B，C為圓心，以大于 BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn);
②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD，若CD=AC，∠B=25°，則∠ACB的度數(shù)為 .
三、認(rèn)真算一算，又快又準(zhǔn)!每小題6分，共24分.
17.分解因式：2a3﹣8a2b+8ab2.
18.4(x+1)2﹣(2x+5)(2x﹣5)
19.解方程： .
20.先化簡(jiǎn)( ﹣ )÷ ，然后給x選擇一個(gè)你喜歡的數(shù)代入求值.
四、細(xì)心想一想，用心做一做!每小題8分，共24分.
21.已知：如圖，AB∥ED，點(diǎn)F、點(diǎn)C在AD上，AB=DE，AF=DC.求證：BC=EF.
22.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分線，AD=20，求DC的長(zhǎng).
23.為了全面提升西寧市中小學(xué)學(xué)生的綜合素質(zhì)，某學(xué)習(xí)圖書館用240元購進(jìn)A種圖書若干本，同時(shí)用200元購進(jìn)B種圖書若干本.A種圖書單件是B種圖書單件的1.5倍，B種圖書比A種圖書多購進(jìn)4本，求B種圖書的單件.
五、你一定是生活中的智者!
24.如圖，△ABC為等邊三角形，AE=BD，AD，CE相交于點(diǎn)F，CP⊥AD于P，PF=3，EF=1.
(1)求證：AD=CE;
(2)求∠CFD的度數(shù);
(3)求AD的長(zhǎng).
八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末測(cè)試題參考答案
一、精心選一選，慧眼識(shí)金!每小題3分，共24分，在四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)符合題目要求.
1.要使分式 有意義，則x的取值范圍是( )
A.x≠1 B.x>1 C.x<1 D.x≠﹣1
【考點(diǎn)】分式有意義的條件.
【專題】常規(guī)題型.
【分析】根據(jù)分母不等于0列式計(jì)算即可得解.
【解答】解：由題意得，x﹣1≠0，
解得x≠1.
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式有意義的條件，從以下三個(gè)方面透徹理解分式的概念：
(1)分式無意義⇔分母為零;
(2)分式有意義⇔分母不為零;
(3)分式值為零⇔分子為零且分母不為零.
2.下列運(yùn)算正確的是( )
A.a3+a4=a7 B.2a3•a4=2a7 C.(2a4)3=8a7 D.a8÷a2=a4
【考點(diǎn)】單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式;合并同類項(xiàng);冪的乘方與積的乘方;同底數(shù)冪的除法.
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，積的乘方，同底數(shù)冪的除法分別求出每個(gè)式子的值，再判斷即可.
【解答】解：A、a3和a4不是同類項(xiàng)不能合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、2a3•a4=2a7，故本選項(xiàng)正確;
C、(2a4)3=8a12，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、a8÷a2=a6，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了合并同類項(xiàng)法則，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，積的乘方，同底數(shù)冪的除法的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力和判斷能力.
3.下面有4個(gè)汽車標(biāo)致圖案，其中不是軸對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形.
【專題】幾何圖形問題.
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念結(jié)合4個(gè)汽車標(biāo)志圖案的形狀求解.
【解答】解：由軸對(duì)稱圖形的概念可知第1個(gè)，第2個(gè)，第3個(gè)都是軸對(duì)稱圖形.
第4個(gè)不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的知識(shí)，軸對(duì)稱的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，兩邊圖象折疊后可重合.
4.在如圖中，正確畫出AC邊上高的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高.
【分析】作哪一條邊上的高，即從所對(duì)的頂點(diǎn)向這條邊或者條邊的延長(zhǎng)線作垂線即可.
【解答】解：畫出AC邊上高就是過B作AC的垂線，
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的高，關(guān)鍵是掌握高的作法.
5.已知等腰三角形一邊長(zhǎng)為4，一邊的長(zhǎng)為6，則等腰三角形的周長(zhǎng)為( )
A.14 B.16 C.10 D.14或16
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系.
【專題】分類討論.
【分析】因?yàn)榈走吅脱幻鞔_，分兩種情況進(jìn)行討論.
【解答】解：(1)當(dāng)4是腰時(shí)，符合三角形的三邊關(guān)系，
所以周長(zhǎng)=4+4+6=14;
(2)當(dāng)6是腰時(shí)，符合三角形的三邊關(guān)系，
所以周長(zhǎng)=6+6+4=16.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】注意此題一定要分兩種情況討論.但要注意檢查是否符合三角形的三邊關(guān)系.
6.如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是( )
A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90°
【考點(diǎn)】全等三角形的判定.
【分析】本題要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共邊，具備了兩組邊對(duì)應(yīng)相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分別根據(jù)SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后則不能.
【解答】解：A、添加CB=CD，根據(jù)SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A選項(xiàng)不符合題意;
B、添加∠BAC=∠DAC，根據(jù)SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B選項(xiàng)不符合題意;
C、添加∠BCA=∠DCA時(shí)，不能判定△ABC≌△ADC，故C選項(xiàng)符合題意;
D、添加∠B=∠D=90°，根據(jù)HL，能判定△ABC≌△ADC，故D選項(xiàng)不符合題意;
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角.
7.圖(1)是一個(gè)長(zhǎng)為2a，寬為2b(a>b)的長(zhǎng)方形，用剪刀沿圖中虛線(對(duì)稱軸)剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長(zhǎng)方形，然后按圖(2)那樣拼成一個(gè)正方形，則中間空的部分的面積是( )
A.ab B.(a+b)2 C.(a﹣b)2 D.a2﹣b2
【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景.
【分析】中間部分的四邊形是正方形，表示出邊長(zhǎng)，則面積可以求得.
【解答】解：中間部分的四邊形是正方形，邊長(zhǎng)是a+b﹣2b=a﹣b，
則面積是(a﹣b)2.
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列代數(shù)式，正確表示出小正方形的邊長(zhǎng)是關(guān)鍵.
8.如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時(shí)，則∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變.請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是( )
A.∠A=∠1+∠2 B.2∠A=∠1+∠2 C.3∠A=2∠1+∠2 D.3∠A=2(∠1+∠2)
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理;翻折變換(折疊問題).
【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°及翻折的性質(zhì)，就可求出2∠A=∠1+∠2這一始終保持不變的性質(zhì).
【解答】解：2∠A=∠1+∠2，
理由：∵在四邊形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360°，
則2∠A+180°﹣∠2+180°﹣∠1=360°，
∴可得2∠A=∠1+∠2.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查四邊形的內(nèi)角和及翻折的性質(zhì)特點(diǎn)，解決本題的關(guān)鍵是熟記翻折的性質(zhì).
二、耐心填一填，一錘定音!每小題2分，共16分.
9.﹣ ﹣ = ﹣3 .
【考點(diǎn)】二次根式的加減法.
【專題】計(jì)算題.
【分析】原式化簡(jiǎn)后，合并即可得到結(jié)果.
【解答】解：原式=﹣2 ﹣ =﹣3 .
故答案為：﹣3
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
10.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(﹣2，3)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)P1的坐標(biāo)是 P1(﹣2，﹣3) .
【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo).
【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù);則P1的坐標(biāo)為(﹣2，﹣3).
【解答】解：∵P(﹣2，3)與P1關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，
∴P1的坐標(biāo)為(﹣2，﹣3).
故答案為(﹣2，﹣3).
【點(diǎn)評(píng)】考查了關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，注意結(jié)合圖象，進(jìn)行記憶和解題.
11.一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)都等于135°，則這個(gè)多邊形是 八 邊形.
【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角.
【分析】由多邊形的每個(gè)外角與其相鄰的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角得出每個(gè)外角都是45°，然后用45°×n=360°求得n值即可.
【解答】解：由題意可得：(n﹣2)•180=135n，
解得n=8.
即這個(gè)多邊形的邊數(shù)為八.
故答案為：八.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，多邊形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，驗(yàn)證了多邊形的外角和定理，比較簡(jiǎn)單.
12.生物學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一種新型病毒，這種病毒的長(zhǎng)度約為0.000043毫米，用科學(xué)記數(shù)法表示為 4.3×10﹣5 米.
【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù).
【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.
【解答】解：0.000043=4.3×10﹣5，
故答案為：4.3×10﹣5.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|<10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.
13.若等腰三角形中有一個(gè)內(nèi)角等于50°，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為 50或80 度.
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理.
【分析】已知給出了等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，但沒有明確這個(gè)內(nèi)角是頂角還是底角，因此要分類討論.
【解答】解：(1)若等腰三角形一個(gè)底角為50°，頂角為180°﹣50°﹣50°=80°;(2)等腰三角形的頂角為50°.
因此這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為50°或80°.
故答案為：50或80.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理.在解答此類題目的關(guān)鍵是要注意分類討論，不要漏解.
14.若a+b=6，ab=4，則a2+b2= 28 .
【考點(diǎn)】完全平方公式.
【分析】首先根據(jù)完全平方公式將a2+b2用(a+b)與ab的代數(shù)式表示，然后把a(bǔ)+b，ab的值整體代入求值.
【解答】解：∵a+b=6，ab=4，
∴a2+b2=(a+b)2﹣2ab
=62﹣2×4
=36﹣8
=28.
故答案為：28.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，關(guān)鍵是要熟練掌握完全平方公式的變形，做到靈活運(yùn)用.
15.如圖，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，PC∥OB交OA于C，若PC=6，則PD= 3 .
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);含30度角的直角三角形.
【分析】過點(diǎn)P作PE⊥OA于E，根據(jù)角平分線定義可得∠AOP=∠BOP=15°，再由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BOP=∠OPC=15°，然后利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠PCE=30°，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半解答.
【解答】解：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥OA于E，
∵∠AOB=30°，OP平分∠AOB，
∴∠AOP=∠BOP=15°.
∵PC∥OB，
∴∠BOP=∠OPC=15°，
∴∠PCE=∠AOP+∠OPC=15°+15°=30°，
又∵PC=6，
∴PE= PC=3，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB于D，PE⊥OA于E，
∴PD=PE=3，
故答案為3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出含30°的直角三角形是解題的關(guān)鍵.
16.如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：
?、俜謩e以B，C為圓心，以大于 BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn);
?、谧髦本€MN交AB于點(diǎn)D，連接CD，若CD=AC，∠B=25°，則∠ACB的度數(shù)為 105° .
【考點(diǎn)】作圖—基本作圖;線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】首先根據(jù)題目中的作圖方法確定MN是線段BC的垂直平分線，然后利用垂直平分線的性質(zhì)解題即可.
【解答】解：由題中作圖方法知道MN為線段BC的垂直平分線，
∴CD=BD，
∵∠B=25°，
∴∠DCB=∠B=25°，
∴∠ADC=50°，
∵CD=AC，
∴∠A=∠ADC=50°，
∴∠ACD=80°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°，
故答案為：105°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本作圖中的垂直平分線的作法及線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解垂直平分線的做法.
三、認(rèn)真算一算，又快又準(zhǔn)!每小題6分，共24分.
17.分解因式：2a3﹣8a2b+8ab2.
【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.
【分析】首先提取公因式2a，進(jìn)而利用完全平方公式分解因式得出答案.
【解答】解：2a3﹣8a2b+8ab2
=2a(a2﹣4ab+4b2)
=2a(a﹣2b)2.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵.
18.4(x+1)2﹣(2x+5)(2x﹣5)
【考點(diǎn)】平方差公式;完全平方公式.
【專題】計(jì)算題.
【分析】原式第一項(xiàng)利用完全平方公式展開，第二項(xiàng)利用平方差公式化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果.
【解答】解：原式=4x2+8x+4﹣4x2+25=8x+29.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.
19.解方程： .
【考點(diǎn)】解分式方程.
【專題】計(jì)算題.
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.
【解答】解：去分母得：x(x+2)﹣1=x2﹣4，
去括號(hào)得：x2+2x﹣1=x2﹣4，
解得：x=﹣ ，
經(jīng)檢驗(yàn)x=﹣ 是分式方程的解.
故原方程的解是x=﹣ .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.解分式方程一定注意要驗(yàn)根.
20.先化簡(jiǎn)( ﹣ )÷ ，然后給x選擇一個(gè)你喜歡的數(shù)代入求值.
【考點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值.
【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再選出合適的x的值代入進(jìn)行計(jì)算即可.
【解答】解：原式= •
= •
=﹣ ，
當(dāng)x=3時(shí)，原式=﹣6.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵.
四、細(xì)心想一想，用心做一做!每小題8分，共24分.
21.已知：如圖，AB∥ED，點(diǎn)F、點(diǎn)C在AD上，AB=DE，AF=DC.求證：BC=EF.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】由已知AB∥ED，AF=DC可以得出∠A=∠D，AC=DF，又因?yàn)锳B=DE，則我們可以運(yùn)用SAS來判定△ABC≌△DEF，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得出BC=EF.
【解答】證明：∵AB∥ED，
∴∠A=∠D，
又∵AF=DC，
∴AC=DF.
在△ABC與△DEF中，
∴△ABC≌△DEF.
∴BC=EF.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角.
22.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分線，AD=20，求DC的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形;三角形的角平分線、中線和高.
【分析】先Rt△ABC，利用∠C=90°，∠A=30°易求∠ABC=60°，再利用角平分線性質(zhì)可求∠ABD=∠DBC=30°，從而可得∠ABD=∠A，進(jìn)而可求BD，在Rt△BDC中，利用30°的角所對(duì)的便等于斜邊的一半可求CD.
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠A，
∴BD=AD=20，
又∵∠DBC=30°，
∴DC=10.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含有30°角的直角三角形、角平分線的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是得出BD=AD=20.
23.為了全面提升西寧市中小學(xué)學(xué)生的綜合素質(zhì)，某學(xué)習(xí)圖書館用240元購進(jìn)A種圖書若干本，同時(shí)用200元購進(jìn)B種圖書若干本.A種圖書單件是B種圖書單件的1.5倍，B種圖書比A種圖書多購進(jìn)4本，求B種圖書的單件.
【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用.
【分析】未知量是單價(jià)，已知總價(jià)，一定是根據(jù)數(shù)量來列等量關(guān)系.關(guān)鍵描述語是：所購買的B種圖書比A種圖書多購進(jìn)4本;A種圖書的數(shù)量為： ，B種圖書的數(shù)量為： .根據(jù)等量關(guān)系：B種圖書數(shù)量﹣A種圖書數(shù)量=4本可以列出方程，解方程即可.
【解答】解：設(shè)B種圖書的單價(jià)為x元，則A種圖書的單價(jià)為1.5x元，根據(jù)題意得：
=4，
解得：x=10，
∴1.5x=15，
經(jīng)檢驗(yàn)：x=10是原方程的解，
∴x=10.
答：B種圖書的單價(jià)為10元，則A種圖書的單價(jià)為15元.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，弄清題意，根據(jù)關(guān)鍵描述語，找出等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.
五、你一定是生活中的智者!
24.如圖，△ABC為等邊三角形，AE=BD，AD，CE相交于點(diǎn)F，CP⊥AD于P，PF=3，EF=1.
(1)求證：AD=CE;
(2)求∠CFD的度數(shù);
(3)求AD的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).
【分析】(1)由于△ABC是等邊三角形，那么有AB=AC，∠CAE=∠B=60°，而AE=BD，利用SAS可證△ABD≌△CAE，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得到結(jié)論;
(2)由△ABD≌△CAE，從而有∠EAD=∠ACE，根據(jù)∠CFD=∠ACE+∠BAD，∠BAD+∠CAD=60°等量代即可求得結(jié)果;
(3)在Rt△CPF，由于∠CFD=60°，于是可求CF，進(jìn)而可求CE，而AD=CE，那么有AD=CE=7.
【解答】(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠CAE=∠B=60°，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE，
∴AD=CE;
(2)由△ABD≌△CAE，
∴∠EAD=∠ACE，
∵∠CFD=∠ACE+∠BAD，∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠CFD=∠ACE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°;
(3)∵CP⊥AD，
∴∠CPF=90°，
∵∠CFD=60°，
∴CF=2PF=2×3=6，
∴CE=CF+EF=6+1=7，
由(1)知：AD=CE，
∴AD=7.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、含有30°的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明△BAE≌△ACD.
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