人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試卷
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人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試題
一、選擇題(共10小題，每小題2分，滿分20分)
1.﹣8的立方根是( )
A.﹣2 B.±2 C.2 D.﹣2
2.分式 有意義的條件是( )
A.x≥2 B.x≠2 C.x=2 D.x<2
3.下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
4.下面結(jié)論正確的是( )
A.無限小數(shù)是無理數(shù) B.無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)
C.帶根號(hào)的數(shù)是無理數(shù) D.無理數(shù)是開方開不盡的數(shù)
5.如圖，△ABC≌△ADE，若∠BAE=130°，∠BAD=50°，則∠BAC的度數(shù)為( )
A.130° B.50° C.30° D.80°
6.如圖，已知△ABC中AB=6，AC=4，AD為角平分線，DE⊥AB，DE=2，則△ABC的面積為( )
A.6 B.8 C.10 D.9
7.已知直角三角形的兩條邊的長(zhǎng)為3和4，則第三條邊的長(zhǎng)為( )
A.5 B.4 C. D.5或
8.如圖，在△ABC中，OB，OC分別是∠ABC，∠ACB的平分線，OM∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)M，N.若MB=8，NC=6，則MN的長(zhǎng)是( )
A.10 B.8 C.14 D.6
9.在如圖中，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于點(diǎn)D，則下列結(jié)論中不正確的是( )
A.△ABE≌△ACF B.點(diǎn)D在∠BAC的平分線上
C.△BDF≌△CDE D.點(diǎn)D是BE的中點(diǎn)
10.觀察下面分母有理化的過程： ，從計(jì)算過程中體會(huì)方法，并利用這一方法計(jì)算( +…+ )•( +1)的值是( )
A. B. C.2014 D.
二、填空題(共10小題，每小題3分，滿分30分)
11. = .
12.化簡(jiǎn) 的結(jié)果是 .
13.如圖，△ABC是等邊三角形，∠CBD=90°，BD=BC，則∠1的度數(shù)是 .
14.關(guān)于x的分式方程 如果有增根，則增根是 .
15.如圖，在△ABC和△DEF，若AB=DE，BE=CF，要使△ABC≌△DEF，還需添加一個(gè)條件(只要寫出一個(gè)就可以)是 .
16.小峰與小月進(jìn)行跳繩比賽，在相同的時(shí)間內(nèi)，小峰跳了100個(gè)，小月跳了110個(gè)，如果小月比小峰每分鐘多跳20個(gè)，若小峰每分鐘跳繩x個(gè)，則x滿足的方程為 .
17.已知：如圖，在△ABC中，BD，CE分別是邊AC，AB上的高，點(diǎn)F在BC上，BF=CF，則圖中與EF相等的線段是 .
18.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為 cm2.
19.將一副三角板按如圖所示疊放，若設(shè)AB=1，則四邊形ABCD的面積為 .
20.鐵路上A、B兩站(視為直線上兩點(diǎn))相距25km，C、D為兩村莊(視為兩個(gè)點(diǎn))，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B(如圖)，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建設(shè)一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在距A站 km處.
三、解答題(共6小題，滿分50分)
21.計(jì)算：( + ) .
22.解方程： .
23.已知線段AB和點(diǎn)O，畫出線段AB關(guān)于點(diǎn)O的中心對(duì)稱圖形，保留必要的作圖痕跡，并完成填空：
解：
(1)連結(jié)AO，BO，并延長(zhǎng)AO到點(diǎn)C，延長(zhǎng)BO到點(diǎn)D，使得OC= ，OD= .
(2)連結(jié) .
線段CD即為所求.
觀察作圖結(jié)果，你認(rèn)為線段AB與線段CD的位置關(guān)系是 .
理由如下：
依作圖過程可證△ABO≌ .
證明三角形全等所依據(jù)的判定定理簡(jiǎn)稱為 .
由三角形全等可得∠A= .
從而根據(jù) 判定出線段AB與CD的位置關(guān)系.
24.對(duì)于題目：“化簡(jiǎn)并求值： ，其中a= .”
甲、乙兩人的解答不同，甲的解答是：
= = ;
乙的答案是： = = = = .
誰的解答是錯(cuò)誤的?誰的解答是正確的?為什么?
25.如圖，P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA=6，PB=8，PC=10，若將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，得到△P′AB.
(1)△APP′的形狀是 ;
(2)求∠APB的度數(shù).
26.如圖，在△ABC中，AB=AC，DE是過點(diǎn)A的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于點(diǎn)E;
(1)若B、C在DE的同側(cè)(如圖所示)且AD=CE.求證：AB⊥AC;
(2)若B、C在DE的兩側(cè)(如圖所示)，其他條件不變，AB與AC仍垂直嗎?若是請(qǐng)給出證明;若不是，請(qǐng)說明理由.
人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試卷參考答案
一、選擇題(共10小題，每小題2分，滿分20分)
1.﹣8的立方根是( )
A.﹣2 B.±2 C.2 D.﹣2
【考點(diǎn)】立方根.
【分析】根據(jù)立方根的定義，即可解答.
【解答】解： =﹣2，故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題看錯(cuò)了立方根，解決本題的關(guān)鍵是熟記立方根的定義.
2.分式 有意義的條件是( )
A.x≥2 B.x≠2 C.x=2 D.x<2
【考點(diǎn)】分式有意義的條件.
【分析】分式有意義的條件是分母不等于零.
【解答】解：∵分式 有意義，
∴x﹣2≠0.
解得：x≠2.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是分式有意義的條件，明確分式有意義時(shí)，分式的分母不等于零是解題的關(guān)鍵.
3.下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】中心對(duì)稱圖形;軸對(duì)稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解.
【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形.故正確;
B、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形.故錯(cuò)誤;
C、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形.故錯(cuò)誤;
D、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形.故錯(cuò)誤.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合;中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.
4.下面結(jié)論正確的是( )
A.無限小數(shù)是無理數(shù) B.無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)
C.帶根號(hào)的數(shù)是無理數(shù) D.無理數(shù)是開方開不盡的數(shù)
【考點(diǎn)】無理數(shù).
【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義判斷即可.
【解答】解：A、0.111…，(1循環(huán))是無限小數(shù)，但不是無理數(shù)，本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，正確;
C、 帶根號(hào)，但不是無理數(shù)，本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、開方開不盡的數(shù)是無理數(shù)，本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)的定義，特別是無理數(shù)的定義.無理數(shù)有三個(gè)來源：(1)開方開不盡的數(shù);(2)與π有關(guān)的一些運(yùn)算;(3)有規(guī)律的無限不循環(huán)小數(shù).
5.如圖，△ABC≌△ADE，若∠BAE=130°，∠BAD=50°，則∠BAC的度數(shù)為( )
A.130° B.50° C.30° D.80°
【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)題意求出∠DAE的度數(shù)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可.
【解答】解：∵∠BAE=130°，∠BAD=50°，
∴∠DAE=80°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE=80°，
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.
6.如圖，已知△ABC中AB=6，AC=4，AD為角平分線，DE⊥AB，DE=2，則△ABC的面積為( )
A.6 B.8 C.10 D.9
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).
【分析】過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=DF，然后根據(jù)三角形的S△ABC=S△ABD+S△ACD列式計(jì)算即可.
【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，
∵AD為角平分線，DE⊥AB，
∴DE=DF，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD
= ×6×2+ ×4×2
=6+4
=10.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形的面積，熟記性質(zhì)并作輔助線把△ABC分成兩部分是解題的關(guān)鍵.
7.已知直角三角形的兩條邊的長(zhǎng)為3和4，則第三條邊的長(zhǎng)為( )
A.5 B.4 C. D.5或
【考點(diǎn)】勾股定理.
【分析】本題已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，因此兩條邊中的較長(zhǎng)邊4既可以是直角邊，也可以是斜邊，所以求第三邊的長(zhǎng)必須分類討論，即4是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解.
【解答】解：設(shè)第三邊為x
(1)若4是直角邊，則第三邊x是斜邊，由勾股定理，得
32+42=x2，所以x=5.
(2)若4是斜邊，則第三邊x為直角邊，由勾股定理，得
32+x2=42，所以x=
所以第三邊的長(zhǎng)為5或 .故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，當(dāng)已知條件中沒有明確哪是斜邊時(shí)，要注意討論，一些學(xué)生往往忽略這一點(diǎn)，造成丟解.
8.如圖，在△ABC中，OB，OC分別是∠ABC，∠ACB的平分線，OM∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)M，N.若MB=8，NC=6，則MN的長(zhǎng)是( )
A.10 B.8 C.14 D.6
【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì);平行線的性質(zhì).
【分析】由∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∠MBO=∠OBC，∠OCN=∠OCB，利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，利用等量代換可∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠OCN，然后即可求得結(jié)論.
【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，
∴∠MBO=∠OBC，∠OCN=∠OCB，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠OBC=∠MOB，∠NOC=∠OCB，
∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠OCN，
∴BM=MO，ON=CN，
∴MN=MO+ON，
即MN=BM+CN.
∵M(jìn)B=8，NC=6，
∴MN=14，
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì)、平行線性質(zhì)、以及等角對(duì)等邊的性質(zhì)等.進(jìn)行線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵.
9.在如圖中，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于點(diǎn)D，則下列結(jié)論中不正確的是( )
A.△ABE≌△ACF B.點(diǎn)D在∠BAC的平分線上
C.△BDF≌△CDE D.點(diǎn)D是BE的中點(diǎn)
【考點(diǎn)】直角三角形全等的判定.
【分析】根據(jù)全等三角形的判定對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到答案.做題時(shí)，要結(jié)合已知條件與三角形全等的判定方法逐個(gè)驗(yàn)證.
【解答】解：A、∵AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠A=∠A∴△ABE≌△ACF(AAS)，正確;
B、∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴DF=DE故點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，正確;
C、∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴△BDF≌△CDE(AAS)，正確;
D、無法判定，錯(cuò)誤;
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL.
注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角.
10.觀察下面分母有理化的過程： ，從計(jì)算過程中體會(huì)方法，并利用這一方法計(jì)算( +…+ )•( +1)的值是( )
A. B. C.2014 D.
【考點(diǎn)】分母有理化.
【分析】首先利用已知化簡(jiǎn)二次根式，進(jìn)而結(jié)合平方差公式計(jì)算得出答案.
【解答】解：( +…+ )•( +1)
=( ﹣1+ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )( +1)
=( +1)( ﹣1)
=2015﹣1
=2014.
故選;C.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分母有理化，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵.
二、填空題(共10小題，每小題3分，滿分30分)
11. = 5 .
【考點(diǎn)】算術(shù)平方根.
【分析】根據(jù)開方運(yùn)算，可得一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根.
【解答】解： =5，
故答案為：5.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了算術(shù)平方根，注意一個(gè)正數(shù)只有一個(gè)算術(shù)平方根.
12.化簡(jiǎn) 的結(jié)果是 a+b .
【考點(diǎn)】分式的加減法.
【分析】本題屬于同分母通分，再將分子因式分解，約分.
【解答】解：原式=
=
=a+b.
故答案為：a+b.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的加減運(yùn)算.關(guān)鍵是直接通分，將分子因式分解，約分.
13.如圖，△ABC是等邊三角形，∠CBD=90°，BD=BC，則∠1的度數(shù)是 75° .
【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì);等腰直角三角形.
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC，∠ABC=60°，然后證得△ABD是等腰三角形，求得∠BDA=15°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠BCD=∠BDC=45°，即可得出∠ADC=45°﹣15°=30°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求得即可.
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵BD=BC，
∴AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵∠CBD=90°，
∴∠ABD=90°+60°=150°，
∴∠BDA=15°，
∵∠CBD=90°，BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=45°，
∴∠ADC=45°﹣15°=30°，
∴∠1=∠ADC+∠BCD=30°+45°=75°.
故答案為75°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
14.關(guān)于x的分式方程 如果有增根，則增根是 x=5 .
【考點(diǎn)】分式方程的增根.
【分析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根，確定增根的值.
【解答】解：方程兩邊都乘x﹣5，
x﹣5=0，
解得x=5.
故答案為x=5.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的增根，增根問題可按如下步驟進(jìn)行：
?、僮屪詈?jiǎn)公分母為0確定增根;
?、诨质椒匠虨檎椒匠?
③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.
15.如圖，在△ABC和△DEF，若AB=DE，BE=CF，要使△ABC≌△DEF，還需添加一個(gè)條件(只要寫出一個(gè)就可以)是 ∠B=∠DEF .
【考點(diǎn)】全等三角形的判定.
【分析】求出BC=EF，根據(jù)SAS推出全等即可，此題是一道開放型的題目，答案不唯一.
【解答】解：∠B=∠DEF，
理由是：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
故答案為：∠B=∠DEF.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS.
16.小峰與小月進(jìn)行跳繩比賽，在相同的時(shí)間內(nèi)，小峰跳了100個(gè)，小月跳了110個(gè)，如果小月比小峰每分鐘多跳20個(gè)，若小峰每分鐘跳繩x個(gè)，則x滿足的方程為 .
【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出分式方程.
【分析】首先設(shè)小峰每分鐘跳繩x個(gè)，則小月每分鐘跳繩(x+20)個(gè)，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：小峰跳了100個(gè)的時(shí)間=小月跳了110個(gè)的時(shí)間，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可.
【解答】解：設(shè)小峰每分鐘跳繩x個(gè)，由題意得：
，
故答案為：
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程.
17.已知：如圖，在△ABC中，BD，CE分別是邊AC，AB上的高，點(diǎn)F在BC上，BF=CF，則圖中與EF相等的線段是 BF、CF、DF .
【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線.
【分析】根據(jù)BD，CE分別是邊AC，AB上的高，可得∠BEC=∠CDB=90°，再根據(jù)BF=CF可得F為BC中點(diǎn)，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF= BC，DF= BC，進(jìn)而可得答案.
【解答】解：∵BD，CE分別是邊AC，AB上的高，
∴∠BEC=∠CDB=90°，
∵BF=CF，
∴F為中點(diǎn)，
∴EF= BC，DF= BC，
∴EF=DF，
∴EF=DF=BF=FC，
故答案為：BF、CF、DF.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
18.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為 49 cm2.
【考點(diǎn)】勾股定理.
【分析】根據(jù)正方形的面積公式，連續(xù)運(yùn)用勾股定理，發(fā)現(xiàn)：四個(gè)小正方形的面積和等于最大正方形的面積.
【解答】解：由圖形可知四個(gè)小正方形的面積和等于最大正方形的面積，
故正方形A，B，C，D的面積之和=49cm2.
故答案為：49cm2.
【點(diǎn)評(píng)】熟練運(yùn)用勾股定理進(jìn)行面積的轉(zhuǎn)換.
19.將一副三角板按如圖所示疊放，若設(shè)AB=1，則四邊形ABCD的面積為 .
【考點(diǎn)】勾股定理.
【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AD=AB=1，解直角三角形得到BC= AB= ，根據(jù)梯形的面積公式即可的結(jié)論.
【解答】解：∵△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=AB=1，
∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴BC= AB= ，
∴四邊形ABCD的面積= (AD+BC)•AB= (1+ )×1= ，
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵.
20.鐵路上A、B兩站(視為直線上兩點(diǎn))相距25km，C、D為兩村莊(視為兩個(gè)點(diǎn))，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B(如圖)，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建設(shè)一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在距A站 10 km處.
【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用;線段垂直平分線的性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】由勾股定理兩直角邊的平方和等于斜邊的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中，DE2=AD2+AE2，CE2=BE2+BC2，∴AD2+AE2=BE2+BC2，設(shè)AE為x，則BE=25﹣x，將BC=10代入關(guān)系式即可求得.
【解答】解：∵C、D兩村到E站距離相等，∴CE=DE，
在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2=AD2+AE2，CE2=BE2+BC2，
∴AD2+AE2=BE2+BC2.
設(shè)AE為x，則BE=25﹣x，
將BC=10，DA=15代入關(guān)系式為x2+152=(25﹣x)2+102，
整理得，50x=500，
解得x=10，
∴E站應(yīng)建在距A站10km處.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查勾股定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握.
三、解答題(共6小題，滿分50分)
21.計(jì)算：( + ) .
【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算.
【分析】先化簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行二次根式的除法即可.
【解答】解：原式=(3 +2 )÷
=5 ÷
=5.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，在進(jìn)行此類運(yùn)算時(shí)，一般先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式的形式后再運(yùn)算.
22.解方程： .
【考點(diǎn)】解分式方程.
【專題】計(jì)算題.
【分析】本題的最簡(jiǎn)公分母是(x+1)(x﹣1)，方程兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母，可把分式方程轉(zhuǎn)換為整式方程求解.
【解答】解：方程兩邊都乘(x+1)(x﹣1)，
得：(x﹣1)+2(x+1)=4.
解得：x=1.
經(jīng)檢驗(yàn)：x=1是增根.
∴原方程無解.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解分式方程，
(1)解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，方程兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要代入最簡(jiǎn)公分母驗(yàn)根.
23.已知線段AB和點(diǎn)O，畫出線段AB關(guān)于點(diǎn)O的中心對(duì)稱圖形，保留必要的作圖痕跡，并完成填空：
解：
(1)連結(jié)AO，BO，并延長(zhǎng)AO到點(diǎn)C，延長(zhǎng)BO到點(diǎn)D，使得OC= OA ，OD= OB .
(2)連結(jié) CD .
線段CD即為所求.
觀察作圖結(jié)果，你認(rèn)為線段AB與線段CD的位置關(guān)系是 AB∥CD .
理由如下：
依作圖過程可證△ABO≌ △CDO .
證明三角形全等所依據(jù)的判定定理簡(jiǎn)稱為 SAS .
由三角形全等可得∠A= ∠C .
從而根據(jù) 內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行 判定出線段AB與CD的位置關(guān)系.
【考點(diǎn)】作圖-旋轉(zhuǎn)變換.
【專題】推理填空題.
【分析】按照作圖的步驟可以得出(1)(2)結(jié)論，找兩線段關(guān)系時(shí)，明顯用到了三角形的全等，從而得出兩線段平行.
【解答】解：作圖步驟如下：
(1)連結(jié)AO，BO，并延長(zhǎng)AO到點(diǎn)C，延長(zhǎng)BO到點(diǎn)D，使得OC=OA，OD=OB.
(2)連結(jié)CD.
線段CD即為所求.
故得出結(jié)論：(1)OC=OA，OD=DB.(2)CD.
推斷線段AB與線段CD是平行的.
在△AOB和△COD中，OA=OC，OB=OD，且∠AOB=∠COD(對(duì)頂角相等)，
∴△ABO≌△CDO(SAS)，∠A=∠C，
∴AB∥CD.
故得出結(jié)論：
觀察作圖結(jié)果，你認(rèn)為線段AB與線段CD的位置關(guān)系是AB∥CD.
理由如下：
依作圖過程可證△ABO≌△CDO.
證明三角形全等所依據(jù)的判定定理簡(jiǎn)稱為SAS.
由三角形全等可得∠A=∠C.
從而根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行判定出線段AB與CD的位置關(guān)系.
【點(diǎn)評(píng)】本題在考查學(xué)生對(duì)全等三角形的理解與應(yīng)用的同時(shí)還考查了兩直線平行的判定定理，讓學(xué)生們意識(shí)到不同知識(shí)點(diǎn)的穿插運(yùn)用，為以后的綜合運(yùn)用題打好基礎(chǔ).
24.對(duì)于題目：“化簡(jiǎn)并求值： ，其中a= .”
甲、乙兩人的解答不同，甲的解答是：
= = ;
乙的答案是： = = = = .
誰的解答是錯(cuò)誤的?誰的解答是正確的?為什么?
【考點(diǎn)】二次根式的化簡(jiǎn)求值.
【分析】首先得出當(dāng)a= 時(shí)， =5，即可得出a﹣ <0，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)求出答案.
【解答】解：甲的解答錯(cuò)誤，
當(dāng)a= 時(shí)， =5，a﹣ <0，
∴ =|a﹣ |= ﹣a，
故乙的解答正確.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)與求值，正確利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)是解題關(guān)鍵.
25.如圖，P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA=6，PB=8，PC=10，若將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，得到△P′AB.
(1)△APP′的形狀是 等邊三角形 ;
(2)求∠APB的度數(shù).
【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);等邊三角形的判定與性質(zhì).
【專題】計(jì)算題.
【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠PAP′=∠BAC=60°，AP=AP′，則可判斷△APP′為等邊三角形;
(2)由△APP′為等邊三角形得到PP′=AP=6，∠APP′=60°，再由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得P′B=PC=10，則可根據(jù)勾股定理的逆定理證明△BPP′為直角三角形，∠BPP′=90°，所以∠APB=∠APP′+∠BPP′=150°.
【解答】解：(1)∵將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，得到△P′AB，
∴∠PAP′=∠BAC=60°，AP=AP′，
∴△APP′為等邊三角形;
故答案為等邊三角形;
(2)∵△APP′為等邊三角形，
∴PP′=AP=6，∠APP′=60°，
∵將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，得到△P′AB，
∴P′B=PC=10，
在△PBP′中，BP′=10，BP=8，PP′=6，
∵62+82=102，
∴PP′2+BP2=BP′2，
∴△BPP′為直角三角形，∠BPP′=90°，
∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=60°+90°=150°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等邊三角形的判斷與性質(zhì)和勾股定理的逆定理.
26.如圖，在△ABC中，AB=AC，DE是過點(diǎn)A的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于點(diǎn)E;
(1)若B、C在DE的同側(cè)(如圖所示)且AD=CE.求證：AB⊥AC;
(2)若B、C在DE的兩側(cè)(如圖所示)，其他條件不變，AB與AC仍垂直嗎?若是請(qǐng)給出證明;若不是，請(qǐng)說明理由.
【考點(diǎn)】直角三角形全等的判定;全等三角形的性質(zhì).
【專題】證明題;探究型.
【分析】(1)由已知條件，證明ABD≌△ACE，再利用角與角之間的關(guān)系求證∠BAD+∠CAE=90°，即可證明AB⊥AC;
(2)同(1)，先證ABD≌△ACE，再利用角與角之間的關(guān)系求證∠BAD+∠CAE=90°，即可證明AB⊥AC.
【解答】(1)證明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∵ ，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE.
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE.
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°.
∠BAC=180°﹣(∠BAD+∠CAE)=90°.
∴AB⊥AC.
(2)AB⊥AC.理由如下：
同(1)一樣可證得Rt△ABD≌Rt△ACE.
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC.
【點(diǎn)評(píng)】三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，借助全等三角形的性質(zhì)得到相等的角，然后證明垂直是經(jīng)常使用的方法，注意掌握、應(yīng)用
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