八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)線段、角的軸對(duì)稱性試卷
八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)線段、角的軸對(duì)稱性試卷
只有腳踏實(shí)地做八年級(jí)數(shù)學(xué)測(cè)試題的人，才能夠說(shuō)：路，就在我的腳下。小編整理了關(guān)于八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)線段、角的軸對(duì)稱性試卷，希望對(duì)大家有幫助!
八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)線段、角的軸對(duì)稱性試試題
一、選擇題(共14小題)
1.如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，若點(diǎn)P使得S△PAB=S△PCD，則滿足此條件的點(diǎn)P( )
A.有且只有1個(gè)
B.有且只有2個(gè)
C.組成∠E的角平分線
D.組成∠E的角平分線所在的直線(E點(diǎn)除外)
2.如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC=5，DE=2，則△BCE的面積等于( )
A.10 B.7 C.5 D.4
3.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DE=1，則BC=( )
A. B.2 C.3 D. +2
4.如圖，在邊長(zhǎng)為 的等邊三角形ABC中，過(guò)點(diǎn)C垂直于BC的直線交∠ABC的平分線于點(diǎn)P，則點(diǎn)P到邊AB所在直線的距離為( )
A. B. C. D.1
5.如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)D，PD=6，則點(diǎn)P到邊OB的距離為( )
A.6 B.5 C.4 D.3
6.如圖，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E.如果點(diǎn)M是OP的中點(diǎn)，則DM的長(zhǎng)是( )
A.2 B. C. D.
7.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，AC=3，BC=4，則CD的長(zhǎng)是( )
A.1 B. C. D.2
8.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，得到下列四個(gè)結(jié)論：
?、貽A=OD;
?、贏D⊥EF;
③當(dāng)∠A=90°時(shí)，四邊形AEDF是正方形;
?、蹵E+DF=AF+DE.
其中正確的是( )
A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④
9.如圖，AD是△ABC的角平分線，則AB：AC等于( )
A.BD：CD B.AD：CD C.BC：AD D.BC：AC
10.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于 MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是( )
?、貯D是∠BAC的平分線;②∠ADC=60°;③點(diǎn)D在AB的中垂線上;④S△DAC：S△ABC=1：3.
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如圖，三角形ABC中，∠A的平分線交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，下面四個(gè)結(jié)論：
?、?ang;AFE=∠AEF;
②AD垂直平分EF;
?、?;
?、蹺F一定平行BC.
其中正確的是( )
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④
12.如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC長(zhǎng)是( )
A.3 B.4 C.6 D.5
13.如圖，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，∠ABC的平分線BD與∠ACE的平分線CD相交于點(diǎn)D，連接AD，下列結(jié)論中不正確的是( )
A.∠BAC=70° B.∠DOC=90° C.∠BDC=35° D.∠DAC=55°
14.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，則BD的長(zhǎng)為( )
A. B. C. D.
二、填空題(共13小題)
15.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分線.若AB=6，則點(diǎn)D到AB的距離是 .
16.在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分線，則△ABD與△ACD的面積之比是 .
17.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DC=3，則點(diǎn)D到AB的距離是 .
18.如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E.若PE=3，則點(diǎn)P到AD的距離為 .
19.如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，AD=3，BC=10，則△BDC的面積是 .
20.如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，且AB=4，BD=5，那么點(diǎn)D到BC的距離是 .
21.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一條角平分線.若CD=3，則△ABD的面積為 .
22.如圖，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，則∠AOQ= °.
23.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD= .
24.已知OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D、E，PD=10，則PE的長(zhǎng)度為 .
25.如圖，BD是∠ABC的平分線，P為BD上的一點(diǎn)，PE⊥BA于點(diǎn)E，PE=4cm，則點(diǎn)P到邊BC的距離為 cm.
26.如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，DE⊥AC交于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，且BC=4，DE=2，則△BCD的面積是 .
27.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC與BC相交于點(diǎn)D，若AD=4，CD=2，則AB的長(zhǎng)是 .
三、解答題(共3小題)
28.如圖，四邊形ABCD中，AC為∠BAD的角平分線，AB=AD，E、F兩點(diǎn)分別在AB、AD上，且AE=DF.請(qǐng)完整說(shuō)明為何四邊形AECF的面積為四邊形ABCD的一半.
29.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一條角平分線.點(diǎn)O、E、F分別在BD、BC、AC上，且四邊形OECF是正方形.
(1)求證：點(diǎn)O在∠BAC的平分線上;
(2)若AC=5，BC=12，求OE的長(zhǎng).
30.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3.
(1)求DE的長(zhǎng);
(2)求△ADB的面積.
八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)線段、角的軸對(duì)稱性試卷參考答案
一、選擇題(共14小題)
1.如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，若點(diǎn)P使得S△PAB=S△PCD，則滿足此條件的點(diǎn)P( )
A.有且只有1個(gè)
B.有且只有2個(gè)
C.組成∠E的角平分線
D.組成∠E的角平分線所在的直線(E點(diǎn)除外)
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)分析，作∠E的平分線，點(diǎn)P到AB和CD的距離相等，即可得到S△PAB=S△PCD.
【解答】解：作∠E的平分線，
可得點(diǎn)P到AB和CD的距離相等，
因?yàn)锳B=CD，
所以此時(shí)點(diǎn)P滿足S△PAB=S△PCD.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)AB=CD和三角形等底作出等高即可.
2.如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC=5，DE=2，則△BCE的面積等于( )
A.10 B.7 C.5 D.4
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).
【分析】作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得EF=DE=2，然后根據(jù)三角形面積公式求得即可.
【解答】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
∴S△BCE= BC•EF= ×5×2=5，
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的平分線的性質(zhì)以及三角形的面積，作出輔助線求得三角形的高是解題的關(guān)鍵.
3.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DE=1，則BC=( )
A. B.2 C.3 D. +2
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);含30度角的直角三角形.
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得CD的長(zhǎng)，然后在直角△BDE中，根據(jù)30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即可求得BD長(zhǎng)，則BC即可求得.
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE=1，
又∵直角△BDE中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2，
∴BC=CD+BD=1+2=3.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的平分線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，理解性質(zhì)定理是關(guān)鍵.
4.如圖，在邊長(zhǎng)為 的等邊三角形ABC中，過(guò)點(diǎn)C垂直于BC的直線交∠ABC的平分線于點(diǎn)P，則點(diǎn)P到邊AB所在直線的距離為( )
A. B. C. D.1
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì);含30度角的直角三角形;勾股定理.
【分析】根據(jù)△ABC為等邊三角形，BP平分∠ABC，得到∠PBC=30°，利用PC⊥BC，所以∠PCB=90°，在Rt△PCB中， =1，即可解答.
【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，BP平分∠ABC，
∴∠PBC= =30°，
∵PC⊥BC，
∴∠PCB=90°，
在Rt△PCB中， =1，
∴點(diǎn)P到邊AB所在直線的距離為1，
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、利用三角函數(shù)求值，解決本題的關(guān)鍵是等邊三角形的性質(zhì).
5.如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)D，PD=6，則點(diǎn)P到邊OB的距離為( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).
【分析】過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得PE=PD，從而得解.
【解答】解：如圖，
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，
∵OC是∠AOB的平分線，PD⊥OA于D，
∴PE=PD，
∵PD=6，
∴PE=6，
即點(diǎn)P到OB的距離是6.
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，比較簡(jiǎn)單，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
6.如圖，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E.如果點(diǎn)M是OP的中點(diǎn)，則DM的長(zhǎng)是( )
A.2 B. C. D.
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);含30度角的直角三角形;直角三角形斜邊上的中線;勾股定理.
【分析】由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性質(zhì)，即可求得PE的值，繼而求得OP的長(zhǎng)，然后由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可求得DM的長(zhǎng).
【解答】解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，
∴∠AOP=∠COP=30°，
∵CP∥OA，
∴∠AOP=∠CPO，
∴∠COP=∠CPO，
∴OC=CP=2，
∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，
∴∠CPE=30°，
∴CE= CP=1，
∴PE= = ，
∴OP=2PE=2 ，
∵PD⊥OA，點(diǎn)M是OP的中點(diǎn)，
∴DM= OP= .
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定、含30°直角三角形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊的中線的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
7.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，AC=3，BC=4，則CD的長(zhǎng)是( )
A.1 B. C. D.2
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);三角形的面積;勾股定理.
【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=CD，利用勾股定理列式求出AB，再根據(jù)△ABC的面積公式列出方程求解即可.
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，
∴DE=CD，
由勾股定理得，AB= = =5，
S△ABC= AB•DE+ AC•CD= AC•BC，
即 ×5•CD+ ×3•CD= ×3×4，
解得CD= .
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理，熟記性質(zhì)并根據(jù)三角形的面積列出方程是解題的關(guān)鍵.
8.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，得到下列四個(gè)結(jié)論：
①OA=OD;
?、贏D⊥EF;
?、郛?dāng)∠A=90°時(shí)，四邊形AEDF是正方形;
?、蹵E+DF=AF+DE.
其中正確的是( )
A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);正方形的判定.
【專題】壓軸題.
【分析】①如果OA=OD，則四邊形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合題意，所以①不正確.
?、谑紫雀鶕?jù)全等三角形的判定方法，判斷出△AED≌△AFD，AE=AF，DE=DF;然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△AE0≌△AFO，即可判斷出AD⊥EF.
?、凼紫扰袛喑霎?dāng)∠A=90°時(shí)，四邊形AEDF的四個(gè)角都是直角，四邊形AEDF是矩形，然后根據(jù)DE=DF，判斷出四邊形AEDF是正方形即可.
?、芨鶕?jù)△AED≌△AFD，判斷出AE=AF，DE=DF，即可判斷出AE+DF=AF+DE成立，據(jù)此解答即可.
【解答】解：如果OA=OD，則四邊形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合題意，
∴①不正確;
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠EAD∠FAD，
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD(AAS)，
∴AE=AF，DE=DF，
∴AE+DF=AF+DE，
∴④正確;
在△AEO和△AFO中，
，
∴△AE0≌△AF0(SAS)，
∴EO=FO，
又∵AE=AF，
∴AO是EF的中垂線，
∴AD⊥EF，
∴②正確;
∵當(dāng)∠A=90°時(shí)，四邊形AEDF的四個(gè)角都是直角，
∴四邊形AEDF是矩形，
又∵DE=DF，
∴四邊形AEDF是正方形，
∴③正確.
綜上，可得
正確的是：②③④.
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】(1)此題主要考查了三角形的角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，以及直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握.
(2)此題還考查了全等三角形的判定和應(yīng)用，要熟練掌握.
(3)此題還考查了矩形、正方形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握.
9.如圖，AD是△ABC的角平分線，則AB：AC等于( )
A.BD：CD B.AD：CD C.BC：AD D.BC：AC
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】先過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由于BE∥AC，利用平行線分線段成比例定理的推論、平行線的性質(zhì)，可得∴△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性質(zhì)可有 = ，而利用AD時(shí)角平分線又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，等量代換即可證.
【解答】解：如圖
過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
∵BE∥AC，
∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，
∴△BDE∽△CDA，
∴ = ，
又∵AD是角平分線，
∴∠E=∠DAC=∠BAD，
∴BE=AB，
∴ = ，
∴AB：AC=BD：CD.
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角平分線的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理的推論.關(guān)鍵是作平行線.
10.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于 MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是( )
?、貯D是∠BAC的平分線;②∠ADC=60°;③點(diǎn)D在AB的中垂線上;④S△DAC：S△ABC=1：3.
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì);作圖—基本作圖.
【分析】①根據(jù)作圖的過(guò)程可以判定AD是∠BAC的角平分線;
?、诶媒瞧椒志€的定義可以推知∠CAD=30°，則由直角三角形的性質(zhì)來(lái)求∠ADC的度數(shù);
③利用等角對(duì)等邊可以證得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可以證明點(diǎn)D在AB的中垂線上;
?、芾?0度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積計(jì)算公式來(lái)求兩個(gè)三角形的面積之比.
【解答】解：①根據(jù)作圖的過(guò)程可知，AD是∠BAC的平分線.
故①正確;
?、谌鐖D，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2= ∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°.
故②正確;
?、邸?ang;1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴點(diǎn)D在AB的中垂線上.
故③正確;
?、堋呷鐖D，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD= AD，
∴BC=CD+BD= AD+AD= AD，S△DAC= AC•CD= AC•AD.
∴S△ABC= AC•BC= AC• AD= AC•AD，
∴S△DAC：S△ABC= AC•AD： AC•AD=1：3.
故④正確.
綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③④，共有4個(gè).
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及作圖﹣基本作圖.解題時(shí)，需要熟悉等腰三角形的判定與性質(zhì).
11.如圖，三角形ABC中，∠A的平分線交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，下面四個(gè)結(jié)論：
①∠AFE=∠AEF;
?、贏D垂直平分EF;
?、?;
④EF一定平行BC.
其中正確的是( )
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】由三角形ABC中，∠A的平分線交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，DF⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得DE=DF，∠ADE=∠ADF，又由角平分線的性質(zhì)，可得AF=AE，繼而證得①∠AFE=∠AEF;又由線段垂直平分線的判定，可得②AD垂直平分EF;然后利用三角形的面積公式求解即可得③ .
【解答】解：①∵三角形ABC中，∠A的平分線交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠ADE=∠ADF，DF=DE，
∴AF=AE，
∴∠AFE=∠AEF，故正確;
?、凇逥F=DE，AF=AE，
∴點(diǎn)D在EF的垂直平分線上，點(diǎn)A在EF的垂直平分線上，
∴AD垂直平分EF，故正確;
?、邸逽△BFD= BF•DF，S△CDE= CE•DE，DF=DE，
∴ ;故正確;
④∵∠EFD不一定等于∠BDF，
∴EF不一定平行BC.故錯(cuò)誤.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
12.如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC長(zhǎng)是( )
A.3 B.4 C.6 D.5
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).
【專題】幾何圖形問(wèn)題.
【分析】過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=DF，再根據(jù)S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可.
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB，
∴DE=DF，
由圖可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴ ×4×2+ ×AC×2=7，
解得AC=3.
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
13.如圖，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，∠ABC的平分線BD與∠ACE的平分線CD相交于點(diǎn)D，連接AD，下列結(jié)論中不正確的是( )
A.∠BAC=70° B.∠DOC=90° C.∠BDC=35° D.∠DAC=55°
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理.
【專題】計(jì)算題.
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可求出∠BAC=70°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠ABO，然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠AOB再根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠DOC=∠AOB，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和角平分線的定義求出∠DCO，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可∠BDC，判斷出AD為三角形的外角平分線，然后列式計(jì)算即可求出∠DAC.
【解答】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°，
故A選項(xiàng)正確，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABO= ∠ABC= ×50°=25°，
在△ABO中，
∠AOB=180°﹣∠BAC﹣∠ABO=180°﹣70°﹣25°=85°，
∴∠DOC=∠AOB=85°，
故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD= (180°﹣60°)=60°，
∴∠BDC=180°﹣85°﹣60°=35°，
故C選項(xiàng)正確;
∵BD、CD分別是∠ABC和∠ACE的平分線，
∴AD是△ABC的外角平分線，
∴∠DAC= (180°﹣70°)=55°，
故D選項(xiàng)正確.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟記定理和概念是解題的關(guān)鍵.
14.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，則BD的長(zhǎng)為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);三角形的面積;勾股定理.
【專題】壓軸題.
【分析】根據(jù)勾股定理列式求出BC，再利用三角形的面積求出點(diǎn)A到BC上的高，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得點(diǎn)D到AB、AC上的距離相等，然后利用三角形的面積求出點(diǎn)D到AB的長(zhǎng)，再利用△ABD的面積列式計(jì)算即可得解.
【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC= = =5，
∴BC邊上的高=3×4÷5= ，
∵AD平分∠BAC，
∴點(diǎn)D到AB、AC上的距離相等，設(shè)為h，
則S△ABC= ×3h+ ×4h= ×5× ，
解得h= ，
S△ABD= ×3× = BD• ，
解得BD= .
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理，利用三角形的面積分別求出相應(yīng)的高是解題的關(guān)鍵.
二、填空題(共13小題)
15.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分線.若AB=6，則點(diǎn)D到AB的距離是 .
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).
【分析】求出∠ABC，求出∠DBC，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出BC，CD，問(wèn)題即可求出.
【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=180°﹣30°﹣90°=60°，
∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠DBC= ∠ABC=30°，
∴BC= AB=3，
∴CD=BC•tan30°=3× = ，
∵BD是∠ABC的平分線，
又∵角平線上點(diǎn)到角兩邊距離相等，
∴點(diǎn)D到AB的距離=CD= ，
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
16.在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分線，則△ABD與△ACD的面積之比是 4：3 .
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).
【分析】估計(jì)角平分線的性質(zhì)，可得出△ABD的邊AB上的高與△ACD的AC上的高相等，估計(jì)三角形的面積公式，即可得出△ABD與△ACD的面積之比等于對(duì)應(yīng)邊之比.
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分線，
∴設(shè)△ABD的邊AB上的高與△ACD的AC上的高分別為h1，h2，
∴h1=h2，
∴△ABD與△ACD的面積之比=AB：AC=4：3，
故答案為4：3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，以及三角形的面積公式，熟練掌握三角形角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
17.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DC=3，則點(diǎn)D到AB的距離是 3 .
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE=DC即可得解.
【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵AD是∠CAB的角平分線，∠C=90°，
∴DE=DC，
∵DC=3，
∴DE=3，
即點(diǎn)D到AB的距離DE=3.
故答案為：3.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
18.如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E.若PE=3，則點(diǎn)P到AD的距離為 3 .
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);菱形的性質(zhì).
【專題】計(jì)算題.
【分析】作PF⊥AD于D，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得AC平分∠BAD，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得PF=PE=3.
【解答】解：作PF⊥AD于D，如圖，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC平分∠BAD，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴PF=PE=3，
即點(diǎn)P到AD的距離為3.
故答案為：3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.也考查了菱形的性質(zhì).
19.如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，AD=3，BC=10，則△BDC的面積是 15 .
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).
【分析】過(guò)D作DE⊥BC于E，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DE=3，根據(jù)三角形的面積求出即可.
【解答】解：過(guò)D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=DE=3，
∴△BDC的面積是 ×DE×BC= ×10×3=15，
故答案為：15.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì)和三角形的面積的應(yīng)用，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.
20.如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，且AB=4，BD=5，那么點(diǎn)D到BC的距離是 3 .
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);勾股定理.
【分析】首先過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，由在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得DE=AD，又由勾股定理求得AD的長(zhǎng)，繼而求得答案.
【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，
即AD⊥BA，
∴DE=AD，
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，BD=5，
∴AD= =3，
∴DE=AD=3，
∴點(diǎn)D到BC的距離是3.
故答案為：3.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角平分線的性質(zhì)與勾股定理的應(yīng)用.此題難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法.
21.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一條角平分線.若CD=3，則△ABD的面積為 15 .
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).
【專題】幾何圖形問(wèn)題.
【分析】要求△ABD的面積，現(xiàn)有AB=10可作為三角形的底，只需求出該底上的高即可，需作DE⊥AB于E.根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得DE的長(zhǎng)，即可求解.
【解答】解：作DE⊥AB于E.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=CD=3.
∴△ABD的面積為 ×3×10=15.
故答案是：15.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查角平分線的性質(zhì);熟練運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理，是很重要的，作出并求出三角形AB邊上的高時(shí)解答本題的關(guān)鍵.
22.如圖，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，則∠AOQ= 35 °.
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上判斷OQ是∠AOB的平分線，然后根據(jù)角平分線的定義解答即可.
【解答】解：∵QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，QC=QD，
∴OQ是∠AOB的平分線，
∵∠AOB=70°，
∴∠AOQ= ∠A0B= ×70°=35°.
故答案為：35.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的判定以及角平分線的定義，根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上判斷OQ是∠AOB的平分線是解題的關(guān)鍵.
23.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD= 3 .
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);勾股定理.
【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得CD=DE，然后根據(jù)△ABC的面積列式計(jì)算即可得解.
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= = =10，
∵AD平分∠CAB，
∴CD=DE，
∴S△ABC= AC•CD+ AB•DE= AC•BC，
即 ×6•CD+ ×10•CD= ×6×8，
解得CD=3.
故答案為：3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并利用三角形的面積列出方程是解題的關(guān)鍵.
24.已知OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D、E，PD=10，則PE的長(zhǎng)度為 10 .
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得PE=PD.
【解答】解：∵OC是∠AOB的平分線，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD=10.
故答案為：10.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀.
25.如圖，BD是∠ABC的平分線，P為BD上的一點(diǎn)，PE⊥BA于點(diǎn)E，PE=4cm，則點(diǎn)P到邊BC的距離為 4 cm.
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).
【分析】BD是∠ABC的平分線，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到點(diǎn)P到BC的距離.
【解答】解：∵BD是∠ABC的平分線，PE⊥AB于點(diǎn)E，PE=4cm，
∴點(diǎn)P到BC的距離=PE=4cm.
故答案為4.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì).由已知能夠注意到P到BC的距離即為PE長(zhǎng)是解決的關(guān)鍵.
26.如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，DE⊥AC交于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，且BC=4，DE=2，則△BCD的面積是 4 .
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】首先根據(jù)CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，可得∠DCE=∠DCF;再根據(jù)DE⊥AC，DF⊥BC，可得∠DEC=∠DFC=90°，然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△CED≌△CFD，即可判斷出DF=DE;最后根據(jù)三角形的面積=底×高÷2，求出△BCD的面積是多少即可.
【解答】解：∵CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，
∴∠DCE=∠DCF，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
在△DEC和△DFC中，
(AAS)
∴△DEC≌△DFC，
∴DF=DE=2，
∴S△BCD=BC×DF÷2
=4×2÷2
=4
答：△BCD的面積是4.
故答案為：4.
【點(diǎn)評(píng)】(1)此題主要考查了角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.
(2)此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及三角形的面積的求法，要熟練掌握.
27.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC與BC相交于點(diǎn)D，若AD=4，CD=2，則AB的長(zhǎng)是 4 .
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);含30度角的直角三角形;勾股定理.
【專題】計(jì)算題.
【分析】先求出∠CAD=30°，求出∠BAC=60°，∠B=30°，根據(jù)勾股定理求出AC，再求出AB=2AC，代入求出即可.
【解答】解：∵在Rt△ACD中，∠C=90°，CD=2，AD=4，
∴∠CAD=30°，
∴由勾股定理得：AC= =2 ，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=60°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=4 ，
故答案為：4 .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出AC長(zhǎng)和求出∠B=30°，注意：在直角三角形中，如果有一個(gè)角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.
三、解答題(共3小題)
28.如圖，四邊形ABCD中，AC為∠BAD的角平分線，AB=AD，E、F兩點(diǎn)分別在AB、AD上，且AE=DF.請(qǐng)完整說(shuō)明為何四邊形AECF的面積為四邊形ABCD的一半.
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);三角形的面積.
【分析】分別作CG⊥AB與G，CH⊥AD與H，由AC為∠BAD的角平分線，得到CG=CH，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等得到△ABC面積=△ACD面積，又由于AE=DF，得到△AEC面積=△CDF面積，于是△BCE面積=△ABC面積﹣△AEC面積，△BCE面積=△ACD面積﹣△CDF面積，求出△BCE面積=△ACF面積，由四邊形AECF面積=△AEC面積+△ACF面積，四邊形AECF面積=△AEC面積+△BCE面積，得到四邊形AECF面積=△ABC面積，又由于四邊形ABCD面積=△ABC面積+△ACD面積，四邊形ABCD面積=2△ABC面積，即可得到結(jié)果.
【解答】解：分別作CG⊥AB與G，CH⊥AD與H，
∵AC為∠BAD的角平分線，
∴CG=CH，
∵AB=AD，
∴△ABC面積=△ACD面積，
又∵AE=DF，
∴△AEC面積=△CDF面積，
∴△BCE面積=△ABC面積﹣△AEC面積，
△BCE面積=△ACD面積﹣△CDF面積，
∴△BCE面積=△ACF面積，
∵四邊形AECF面積=△AEC面積+△ACF面積，
四邊形AECF面積=△AEC面積+△BCE面積，
∴四邊形AECF面積=△ABC面積，
又∵四邊形ABCD面積=△ABC面積+△ACD面積，
又∵四邊形ABCD面積=2△ABC面積，
∴四邊形AECF面積為四邊形ABCD面積的一半.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
29.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一條角平分線.點(diǎn)O、E、F分別在BD、BC、AC上，且四邊形OECF是正方形.
(1)求證：點(diǎn)O在∠BAC的平分線上;
(2)若AC=5，BC=12，求OE的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì).
【分析】(1)過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB，由角平分線的性質(zhì)得OE=OM，由正方形的性質(zhì)得OE=OF，易得OM=OF，由角平分線的判定定理得點(diǎn)O在∠BAC的平分線上;
(2)由勾股定理得AB的長(zhǎng)，利用方程思想解得結(jié)果.
【解答】(1)證明：過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB，
∵BD是∠ABC的一條角平分線，
∴OE=OM，
∵四邊形OECF是正方形，
∴OE=OF，
∴OF=OM，
∴AO是∠BAC的角平分線，即點(diǎn)O在∠BAC的平分線上;
(2)解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，
∴AB= = =13，
設(shè)CE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，
∴ ，
解得： ，
∴CE=2，
∴OE=2.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，以及角平分線定理及性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，運(yùn)用方程思想是解本題的關(guān)鍵.
30.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3.
(1)求DE的長(zhǎng);
(2)求△ADB的面積.
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);勾股定理.
【分析】(1)根據(jù)角平分線性質(zhì)得出CD=DE，代入求出即可;
(2)利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，然后計(jì)算△ADB的面積.
【解答】解：(1)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
∵CD=3，
∴DE=3;
(2)在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB= = =10，
∴△ADB的面積為S△ADB= AB•DE= ×10×3=15.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.
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