初中八年級數學上冊第14章全等三角形單元試卷
仔細做八年級數學單元試卷題，學會灑脫;出錯要少，檢查要多;這是學習啦小編整理的初中八年級數學上冊第14章全等三角形單元試卷，希望你能從中得到感悟!
初中八年級數學上冊第14章全等三角形單元試題
一、選擇題(共9小題)
1.如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交點，則BF的長是( )
A.4cm B.6cm C.8cm D.9cm
2.如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標系中，O是原點，A的坐標為(1， )，則點C的坐標為( )
A.(﹣ ，1) B.(﹣1， ) C.( ，1) D.(﹣ ，﹣1)
3.在連接A地與B地的線段上有四個不同的點D、G、K、Q，下列四幅圖中的實線分別表示某人從A地到B地的不同行進路線(箭頭表示行進的方向)，則路程最長的行進路線圖是( )
A. B. C. D.
4.如圖，坐標平面上，△ABC與△DEF全等，其中A、B、C的對應頂點分別為D、E、F，且AB=BC=5.若A點的坐標為(﹣3，1)，B、C兩點在方程式y(tǒng)=﹣3的圖形上，D、E兩點在y軸上，則F點到y(tǒng)軸的距離為何?( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5.平面上有△ACD與△BCE，其中AD與BE相交于P點，如圖.若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，則∠BPD的度數為( )
A.110° B.125° C.130° D.155°
6.如圖，在△ABC和△BDE中，點C在邊BD上，邊AC交邊BE于點F.若AC=BD，AB=ED，BC=BE，則∠ACB等于( )
A.∠EDB B.∠BED C. ∠AFB D.2∠ABF
7.如圖，AB=4，射線BM和AB互相垂直，點D是AB上的一個動點，點E在射線BM上，BE= DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，連結AF并延長交射線BM于點C.設BE=x，BC=y，則y關于x的函數解析式是( )
A.y=﹣ B.y=﹣ C.y=﹣ D.y=﹣
8.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，點M、N分別在AB、AD邊上，若AM：MB=AN：ND=1：2，則tan∠MCN=( )
A. B. C. D. ﹣2
9.如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點M、N.若正方形ABCD的邊長為a，則重疊部分四邊形EMCN的面積為( )
A. a2 B. a2 C. a2 D. a2
二、解答題(共21小題)
10.已知△ABC為等邊三角形，D為AB邊所在的直線上的動點，連接DC，以DC為邊在DC兩側作等邊△DCE和等邊△DCF(點E在DC的右側或上側，點F在DC左側或下側)，連接AE、BF
(1)如圖1，若點D在AB邊上，請你通過觀察，測量，猜想線段AE、BF和AB有怎樣的數量關系?并證明你的結論;
(2)如圖2，若點D在AB的延長線上，其他條件不變，線段AE、BF和AB有怎樣的數量關系?請直接寫出結論(不需要證明);
(3)若點D在AB的反向延長線上，其他條件不變，請在圖3中畫出圖形，探究線段AE、BF和AB有怎樣的數量關系，并直接寫出結論(不需要證明)
11.如圖，已知AB∥DE，AB=DE，AF=CD，∠CEF=90°.
(1)若∠ECF=30°，CF=8，求CE的長;
(2)求證：△ABF≌△DEC;
(3)求證：四邊形BCEF是矩形.
12.如圖，△ABC與△DCB中，AC與BD交于點E，且∠A=∠D，AB=DC.
(1)求證：△ABE≌DCE;
(2)當∠AEB=50°，求∠EBC的度數?
13.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于點D，過點D作DE⊥AB于點E.
(1)求證：△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°，CD=1，求BD的長.
14.如圖，點D，E在△ABC的邊BC上，AB=AC，BD=CE.求證：AD=AE.
15.已知：如圖，AD，BC相交于點O，OA=OD，AB∥CD.
求證：AB=CD.
16.如圖，把一個直角三角形ACB(∠ACB=90°)繞著頂點B順時針旋轉60°，使得點C旋轉到AB邊上的一點D，點A旋轉到點E的位置.F，G分別是BD，BE上的點，BF=BG，延長CF與DG交于點H.
(1)求證：CF=DG;
(2)求出∠FHG的度數.
17.如圖，點B、F、C、E在一條直線上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求證：AC=DF.
18.如圖，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一條直線上.求證：BD=CE.
19.如圖，已知點B、E、C、F在同一條直線上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D.求證：AB=DE.
20.(1)如圖，AB平分∠CAD，AC=AD，求證：BC=BD;
(2)列方程解應用題
把一些圖書分給某班學生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本;如果每人分4本，則還缺25本，這個班有多少學生?
21.(1)如圖1，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且點B，C，E在一條直線上.求證：∠A=∠D.
(2)如圖2，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的長.
22.如圖，四邊形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF與BC交于點G.
(1)求證：AE=CF;
(2)若∠ABE=55°，求∠EGC的大小.
23.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E.在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，FC⊥BC.
(1)求證：BE=CF;
(2)在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME.
求證：①ME⊥BC;②DE=DN.
24.【問題提出】
學習了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究.
【初步思考】
我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對∠B進行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究.
【深入探究】
第一種情況：當∠B是直角時，△ABC≌△DEF.
(1)如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二種情況：當∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF.
(2)如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF.
第三種情況：當∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等.(不寫作法，保留作圖痕跡)
(4)∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF?請直接寫出結論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若 ，則△ABC≌△DEF.
25.問題背景：
如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F分別是BC，CD上的點.且∠EAF=60°.探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系.
小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G.使DG=BE.連結AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是 ;
探索延伸：
如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°.E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF= ∠BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由;
實際應用：
如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進.1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離.
26.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC與BD相交于O點，OC=OA，若E是CD上任意一點，連接BE交AC于點F，連接DF.
(1)證明：△CBF≌△CDF;
(2)若AC=2 ，BD=2，求四邊形ABCD的周長;
(3)請你添加一個條件，使得∠EFD=∠BAD，并予以證明.
27.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點E、B、D、F在同一直線上，且BE=DF.求證：AE=CF.
28.(1)如圖1，正方形ABCD中，點E，F分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°，延長CD到點G，使DG=BE，連結EF，AG.求證：EF=FG.
(2)如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點M，N在邊BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的長.
29.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的中點，過點A作AD⊥AB交BE的延長線于點D，CG平分∠ACB交BD于點G，F為AB邊上一點，連接CF，且∠ACF=∠CBG.求證：
(1)AF=CG;
(2)CF=2DE.
30.如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不動，△ADE繞點A旋轉，連接BE、CD，F為BE的中點，連接AF.
(1)如圖①，當∠BAE=90°時，求證：CD=2AF;
(2)當∠BAE≠90°時，(1)的結論是否成立?請結合圖②說明理由.
初中八年級數學上冊第14章全等三角形單元試卷參考答案
一、選擇題(共9小題)
1.如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交點，則BF的長是( )
A.4cm B.6cm C.8cm D.9cm
【考點】全等三角形的判定與性質.
【分析】求出∠FBD=∠CAD，AD=BD，證△DBF≌△DAC，推出BF=AC，代入求出即可.
【解答】解：∵F是高AD和BE的交點，
∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°，
∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠CAD=∠FBD，
∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°=∠ABD，
∴AD=BD，
在△DBF和△DAC中
∴△DBF≌△DAC(ASA)，
∴BF=AC=8cm，
故選C.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理的應用，關鍵是推出△DBF≌△DAC.
2.如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標系中，O是原點，A的坐標為(1， )，則點C的坐標為( )
A.(﹣ ，1) B.(﹣1， ) C.( ，1) D.(﹣ ，﹣1)
【考點】全等三角形的判定與性質;坐標與圖形性質;正方形的性質.
【專題】幾何圖形問題.
【分析】過點A作AD⊥x軸于D，過點C作CE⊥x軸于E，根據同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，再利用“角角邊”證明△AOD和△OCE全等，根據全等三角形對應邊相等可得OE=AD，CE=OD，然后根據點C在第二象限寫出坐標即可.
【解答】解：如圖，過點A作AD⊥x軸于D，過點C作CE⊥x軸于E，
∵四邊形OABC是正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠COE+∠AOD=90°，
又∵∠OAD+∠AOD=90°，
∴∠OAD=∠COE，
在△AOD和△OCE中，
，
∴△AOD≌△OCE(AAS)，
∴OE=AD= ，CE=OD=1，
∵點C在第二象限，
∴點C的坐標為(﹣ ，1).
故選：A.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，坐標與圖形性質，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點.
3.在連接A地與B地的線段上有四個不同的點D、G、K、Q，下列四幅圖中的實線分別表示某人從A地到B地的不同行進路線(箭頭表示行進的方向)，則路程最長的行進路線圖是( )
A. B. C. D.
【考點】全等三角形的判定與性質;平行四邊形的判定與性質.
【專題】壓軸題.
【分析】分別構造出平行四邊形和三角形，根據平行四邊形的性質和全等三角形的性質進行比較，即可判斷.
【解答】
解：A、延長AC、BE交于S，
∵∠CAB=∠EDB=45°，
∴AS∥ED，則SC∥DE.
同理SE∥CD，
∴四邊形SCDE是平行四邊形，
∴SE=CD，DE=CS，
即走的路線長是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS;
B、延長AF、BH交于S1，作FK∥GH與BH的延長線交于點K，
∵∠SAB=∠S1AB=45°，∠SBA=∠S1BA=70°，AB=AB，
∴△SAB≌△S1AB，
∴AS=AS1，BS=BS1，
∵∠FGH=180°﹣70°﹣43°=67°=∠GHB，
∴FG∥KH，
∵FK∥GH，
∴四邊形FGHK是平行四邊形，
∴FK=GH，FG=KH，
∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，
∵FS1+S1K>FK，
∴AS+BS>AF+FK+KH+HB，
即AC+CD+DE+EB>AF+FG+GH+HB，
C、D、同理可證得AI+IK+KM+MB
綜上所述，D選項的所走的線路最長.
故選：D.
【點評】本題考查了平行線的判定，平行四邊形的性質和判定的應用，注意：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，平行四邊形的對邊相等.
4.如圖，坐標平面上，△ABC與△DEF全等，其中A、B、C的對應頂點分別為D、E、F，且AB=BC=5.若A點的坐標為(﹣3，1)，B、C兩點在方程式y(tǒng)=﹣3的圖形上，D、E兩點在y軸上，則F點到y(tǒng)軸的距離為何?( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考點】全等三角形的判定與性質;坐標與圖形性質.
【分析】如圖，作AH、CK、FP分別垂直BC、AB、DE于H、K、P.由AB=BC，△ABC≌△DEF，就可以得出△AKC≌△CHA≌△DPF，就可以得出結論.
【解答】解：如圖，作AH、CK、FP分別垂直BC、AB、DE于H、K、P.
∴∠DPF=∠AKC=∠CHA=90°.
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA.
在△AKC和△CHA中
，
∴△AKC≌△CHA(ASA)，
∴KC=HA.
∵B、C兩點在方程式y(tǒng)=﹣3的圖形上，且A點的坐標為(﹣3，1)，
∴AH=4.
∴KC=4.
∵△ABC≌△DEF，
∴∠BAC=∠EDF，AC=DF.
在△AKC和△DPF中，
，
∴△AKC≌△DPF(AAS)，
∴KC=PF=4.
故選：C.
【點評】本題考查了坐標與圖象的性質的運用，垂直的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，等腰三角形的性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵.
5.平面上有△ACD與△BCE，其中AD與BE相交于P點，如圖.若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，則∠BPD的度數為( )
A.110° B.125° C.130° D.155°
【考點】全等三角形的判定與性質.
【分析】易證△ACD≌△BCE，由全等三角形的性質可知：∠A=∠B，再根據已知條件和四邊形的內角和為360°，即可求出∠BPD的度數.
【解答】解：在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE(SSS)，
∴∠A=∠B，∠BCE=∠ACD，
∴∠BCA=∠ECD，
∵∠ACE=55°，∠BCD=155°，
∴∠BCA+∠ECD=100°，
∴∠BCA=∠ECD=50°，
∵∠ACE=55°，
∴∠ACD=105°
∴∠A+∠D=75°，
∴∠B+∠D=75°，
∵∠BCD=155°，
∴∠BPD=360°﹣75°﹣155°=130°，
故選：C.
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質、三角形的內角和定理以及四邊形的內角和定理，解題的關鍵是利用整體的數學思想求出∠B+∠D=75°.
6.如圖，在△ABC和△BDE中，點C在邊BD上，邊AC交邊BE于點F.若AC=BD，AB=ED，BC=BE，則∠ACB等于( )
A.∠EDB B.∠BED C. ∠AFB D.2∠ABF
【考點】全等三角形的判定與性質.
【分析】根據全等三角形的判定與性質，可得∠ACB與∠DBE的關系，根據三角形外角的性質，可得答案.
【解答】解：在△ABC和△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB (SSS)，
∴∠ACB=∠DBE.
∵∠AFB是△BFC的外角，
∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，
∠ACB= ∠AFB，
故選：C.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，利用了全等三角形的判定與性質，三角形外角的性質.
7.如圖，AB=4，射線BM和AB互相垂直，點D是AB上的一個動點，點E在射線BM上，BE= DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，連結AF并延長交射線BM于點C.設BE=x，BC=y，則y關于x的函數解析式是( )
A.y=﹣ B.y=﹣ C.y=﹣ D.y=﹣
【考點】全等三角形的判定與性質;函數關系式;相似三角形的判定與性質.
【專題】數形結合.
【分析】作FG⊥BC于G，依據已知條件求得△DBE≌△EGF，得出FG=BE=x，EG=DB=2x，然后根據平行線的性質即可求得.
【解答】解：作FG⊥BC于G，
∵∠DEB+∠FEC=90°，∠DEB+∠BDE=90°;
∴∠BDE=∠FEG，
在△DBE與△EGF中
∴△DBE≌△EGF，
∴EG=DB，FG=BE=x，
∴EG=DB=2BE=2x，
∴GC=y﹣3x，
∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG∥AB，
CG：BC=FG：AB，
即 = ，
∴y=﹣ .
故選：A.
【點評】本題考查了三角形全等的判定和性質，以及平行線的性質，輔助線的做法是解題的關鍵.
8.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，點M、N分別在AB、AD邊上，若AM：MB=AN：ND=1：2，則tan∠MCN=( )
A. B. C. D. ﹣2
【考點】全等三角形的判定與性質;三角形的面積;角平分線的性質;含30度角的直角三角形;勾股定理.
【專題】計算題;壓軸題.
【分析】連接AC，通過三角形全等，求得∠BAC=30°，從而求得BC的長，然后根據勾股定理求得CM的長，
連接MN，過M點作ME⊥CN于E，則△MNA是等邊三角形求得MN=2，設NE=x，表示出CE，根據勾股定理即可求得ME，然后求得tan∠MCN.
【解答】解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，
∴AM=AN=2，BM=DN=4，
連接MN，連接AC，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°
在Rt△ABC與Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)
∴∠BAC=∠DAC= ∠BAD=30°，MC=NC，
∴BC= AC，
∴AC2=BC2+AB2，即(2BC)2=BC2+AB2，
3BC2=AB2，
∴BC=2 ，
在Rt△BMC中，CM= = =2 .
∵AN=AM，∠MAN=60°，
∴△MAN是等邊三角形，
∴MN=AM=AN=2，
過M點作ME⊥CN于E，設NE=x，則CE=2 ﹣x，
∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=(2 )2﹣(2 ﹣x)2，
解得：x= ，
∴EC=2 ﹣ = ，
∴ME= = ，
∴tan∠MCN= =
故選：A.
【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理以及解直角三角函數，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵.
9.如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點M、N.若正方形ABCD的邊長為a，則重疊部分四邊形EMCN的面積為( )
A. a2 B. a2 C. a2 D. a2
【考點】全等三角形的判定與性質;正方形的性質.
【專題】幾何圖形問題;壓軸題.
【分析】過E作EP⊥BC于點P，EQ⊥CD于點Q，△EPM≌△EQN，利用四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積求解.
【解答】解：過E作EP⊥BC于點P，EQ⊥CD于點Q，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
又∵∠EPM=∠EQN=90°，
∴∠PEQ=90°，
∴∠PEM+∠MEQ=90°，
∵三角形FEG是直角三角形，
∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，
∴∠PEM=∠NEQ，
∵AC是∠BCD的角平分線，∠EPC=∠EQC=90°，
∴EP=EQ，四邊形PCQE是正方形，
在△EPM和△EQN中，
，
∴△EPM≌△EQN(ASA)
∴S△EQN=S△EPM，
∴四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積，
∵正方形ABCD的邊長為a，
∴AC= a，
∵EC=2AE，
∴EC= a，
∴EP=PC= a，
∴正方形PCQE的面積= a× a= a2，
∴四邊形EMCN的面積= a2，
故選：D.
【點評】本題主要考查了正方形的性質及全等三角形的判定及性質，解題的關鍵是作出輔助線，證出△EPM≌△EQN.
二、解答題(共21小題)
10.(2013•阜新)已知△ABC為等邊三角形，D為AB邊所在的直線上的動點，連接DC，以DC為邊在DC兩側作等邊△DCE和等邊△DCF(點E在DC的右側或上側，點F在DC左側或下側)，連接AE、BF
(1)如圖1，若點D在AB邊上，請你通過觀察，測量，猜想線段AE、BF和AB有怎樣的數量關系?并證明你的結論;
(2)如圖2，若點D在AB的延長線上，其他條件不變，線段AE、BF和AB有怎樣的數量關系?請直接寫出結論(不需要證明);
(3)若點D在AB的反向延長線上，其他條件不變，請在圖3中畫出圖形，探究線段AE、BF和AB有怎樣的數量關系，并直接寫出結論(不需要證明)
【考點】全等三角形的判定與性質;等邊三角形的性質.
【分析】(1)AE+BF=AB，可證明△CBF≌△CAD和△CDB≌△CAE分別得到AD=BF，BD=AE，易得結論;
(2)BF﹣AE=AB，由△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE分別得到AD=BF，BD=AE，易得結論;
(3)AE﹣BF=AB，由△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE分別得到AD=BF，BD=AE，易得結論.
【解答】解：(1)AE+BF=AB，如圖1，
∵△ABC和△DCF是等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CF，∠ACB=∠DCF=60°.
∴∠ACD=∠BCF，
在△ACD和△BCF中
∴△ACD≌△BCF(SAS)
∴AD=BF
同理：△CBD≌△CAE(SAS)
∴BD=AE
∴AE+BF=BD+AD=AB;
(2)BF﹣AE=AB，
如圖2，易證△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，
∴AD=BF，BD=AE，
∴BF﹣AE=AD﹣BD=AB;
(3)AE﹣BF=AB，
如圖3，易證△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，
∴AD=BF，BD=AE，
∴BF﹣AE=AD﹣BD=AB.
【點評】本題主要考查了三角形全等的判定與性質，靈活運用類比思想，在變化中發(fā)現不變是解決問題的關鍵.
11.如圖，已知AB∥DE，AB=DE，AF=CD，∠CEF=90°.
(1)若∠ECF=30°，CF=8，求CE的長;
(2)求證：△ABF≌△DEC;
(3)求證：四邊形BCEF是矩形.
【考點】全等三角形的判定與性質;矩形的判定.
【分析】(1)解直角三角形即可求出答案;
(2)根據平行線性質求出∠A=∠D，根據SAS推出兩三角形全等即可;
(3)根據全等三角形的性質得出BF=CE，∠AFB=∠DCE，求出∠BFC=∠ECF，推出BF∥EC，根據平行四邊形的判定推出四邊形BCEF是平行四邊形，根據矩形的判定推出即可.
【解答】(1)解：∵∠CEF=90°.
∴cos∠ECF= .
∵∠ECF=30°，CF=8.
∴CF=CF•cos30°=8× =4 ;
(2)證明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
∵在△ABF和△DEC中
∴△ABF≌△DEC (SAS);
(3)證明：由(2)可知：△ABF≌△DEC，
∴BF=CE，∠AFB=∠DCE，
∵∠AFB+∠BFC=180°，∠DCE+∠ECF=180°，
∴∠BFC=∠ECF，
∴BF∥EC，
∴四邊形BCEF是平行四邊形，
∵∠CEF=90°，
∴四邊形BCEF是矩形.
【點評】本題考查了解直角三角形，平行四邊形的判定，矩形的判定，全等三角形的性質和判定的應用，綜合運用性質定理進行推理是解此題的關鍵，難度適中.
12.如圖，△ABC與△DCB中，AC與BD交于點E，且∠A=∠D，AB=DC.
(1)求證：△ABE≌DCE;
(2)當∠AEB=50°，求∠EBC的度數?
【考點】全等三角形的判定與性質.
【分析】(1)根據AAS即可推出△ABE和△DCE全等;
(2)根據三角形全等得出EB=EC，推出∠EBC=∠ECB，根據三角形的外角性質得出∠AEB=2∠EBC，代入求出即可.
【解答】(1)證明：∵在△ABE和△DCE中
∴△ABE≌△DCE(AAS);
(2)解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，
∴∠EBC=25°.
【點評】本題考查了三角形外角性質和全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力.
13.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于點D，過點D作DE⊥AB于點E.
(1)求證：△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°，CD=1，求BD的長.
【考點】全等三角形的判定與性質;角平分線的性質;含30度角的直角三角形.
【分析】(1)根據角平分線性質求出CD=DE，根據HL定理求出另三角形全等即可;
(2)求出∠DEB=90°，DE=1，根據含30度角的直角三角形性質求出即可.
【解答】(1)證明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL);
(2)解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2.
【點評】本題考查了全等三角形的判定，角平分線性質，含30度角的直角三角形性質的應用，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.
14.如圖，點D，E在△ABC的邊BC上，AB=AC，BD=CE.求證：AD=AE.
【考點】全等三角形的判定與性質;等腰三角形的性質.
【專題】證明題.
【分析】利用等腰三角形的性質得到∠B=∠C，然后證明△ABD≌△ACE即可證得結論.
【解答】證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABD與△ACE中，
∵ ，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD=AE.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質及等腰三角形的性質，解題的關鍵是利用等邊對等角得到∠B=∠C.
15.已知：如圖，AD，BC相交于點O，OA=OD，AB∥CD.
求證：AB=CD.
【考點】全等三角形的判定與性質.
【專題】證明題.
【分析】首先根據AB∥CD，可得∠B=∠C，∠A=∠D，結合OA=OD，可知證明出△AOB≌△DOC，即可得到AB=CD.
【解答】證明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，∠A=∠D，
∵在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC(AAS)，
∴AB=CD.
【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質的知識，解答本題的關鍵是熟練掌握判定定理以及平行線的性質，此題基礎題，比較簡單.
16.(2013•大慶)如圖，把一個直角三角形ACB(∠ACB=90°)繞著頂點B順時針旋轉60°，使得點C旋轉到AB邊上的一點D，點A旋轉到點E的位置.F，G分別是BD，BE上的點，BF=BG，延長CF與DG交于點H.
(1)求證：CF=DG;
(2)求出∠FHG的度數.
【考點】全等三角形的判定與性質.
【分析】(1)在△CBF和△DBG中，利用SAS即可證得兩個三角形全等，利用全等三角形的對應邊相等即可證得;
(2)根據全等三角形的對應角相等，以及三角形的內角和定理，即可證得∠DHF=∠CBF=60°，從而求解.
【解答】(1)證明：∵在△CBF和△DBG中，
，
∴△CBF≌△DBG(SAS)，
∴CF=DG;
(2)解：∵△CBF≌△DBG，
∴∠BCF=∠BDG，
又∵∠CFB=∠DFH，
又∵△BCF中，∠CBF=180°﹣∠BCF﹣∠CFB，
△DHF中，∠DHF=180°﹣∠BDG﹣∠DFH，
∴∠DHF=∠CBF=60°，
∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，正確證明三角形全等是關鍵.
17.如圖，點B、F、C、E在一條直線上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求證：AC=DF.
【考點】全等三角形的判定與性質.
【專題】證明題.
【分析】求出BC=EF，根據平行線性質求出∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，根據ASA推出△ABC≌△DEF即可.
【解答】證明：∵FB=CE，
∴FB+FC=CE+FC，
∴BC=EF，
∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，
∵在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(ASA)，
∴AC=DF.
【點評】本題考查了平行線的性質和全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力.
18.如圖，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一條直線上.求證：BD=CE.
【考點】全等三角形的判定與性質;等腰直角三角形.
【專題】證明題.
【分析】求出AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠EAC，根據SAS證出△ADB≌△AEC即可.
【解答】證明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AD=AE，AB=AC，
又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，
∴∠DAB=∠EAC，
∵在△ADB和△AEC中
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE.
【點評】本題考查了等腰直角三角形性質，全等三角形的性質和判定的應用，關鍵是推出△ADB≌△AEC.
19.如圖，已知點B、E、C、F在同一條直線上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D.求證：AB=DE.
【考點】全等三角形的判定與性質.
【專題】證明題.
【分析】首先得出BC=EF，利用平行線的性質∠B=∠DEF，再利用AAS得出△ABC≌△DEF，即可得出答案.
【解答】證明：∵BE=CF，∴BC=EF.
∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF.
在△ABC與△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(AAS)，
∴AB=DE.
【點評】此題主要考查了平行線的性質以及全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關鍵.
20.(1)如圖，AB平分∠CAD，AC=AD，求證：BC=BD;
(2)列方程解應用題
把一些圖書分給某班學生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本;如果每人分4本，則還缺25本，這個班有多少學生?
【考點】全等三角形的判定與性質;一元一次方程的應用.
【分析】(1)求出∠CAB=∠DAB，根據SAS推出△ABC≌△ABD即可;
(2)設這個班有x名學生，根據題意得出方程3x+20=4x﹣25，求出即可.
【解答】(1)證明：∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB=∠DAB，
在△ABC和△ABD中
∴△ABC≌△ABD(SAS)，
∴BC=BD.
(2)解：設這個班有x名學生，根據題意得：3x+20=4x﹣25，
解得：x=45，
答：這個班有45名學生.
【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，一元一次方程的應用，主要考查學生的推理能力和列方程的能力.
21.(1)如圖1，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且點B，C，E在一條直線上.求證：∠A=∠D.
(2)如圖2，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的長.
【考點】全等三角形的判定與性質;矩形的性質.
【分析】(1)首先根據平行線的性質可得∠B=∠DCE，再利用SAS定理證明△ABC≌△DCE可得∠A=∠D;
(2)根據矩形的性質可得AO=BO=CO=DO，再證明△AOB是等邊三角形，可得AO=AB=4，進而得到AC=2AO=8.
【解答】(1)證明：∵AB∥DC，
∴∠B=∠DCE，
在△ABC和△DCE中 ，
∴△ABC≌△DCE(SAS)，
∴∠A=∠D;
(2)解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AO=AB=4，
∴AC=2AO=8.
【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，以及矩形的性質和等邊三角形的判定，關鍵是掌握全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具.
22.如圖，四邊形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF與BC交于點G.
(1)求證：AE=CF;
(2)若∠ABE=55°，求∠EGC的大小.
【考點】全等三角形的判定與性質;等腰直角三角形;正方形的性質.
【專題】幾何綜合題.
【分析】(1)利用△AEB≌△CFB來求證AE=CF.
(2)利用角的關系求出∠BEF和∠EBG，∠EGC=∠EBG+∠BEF求得結果.
【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵BE⊥BF，
∴∠FBE=90°，
∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△AEB和△CFB中，
∴△AEB≌△CFB(SAS)，
∴AE=CF.
(2)解：∵BE⊥BF，
∴∠FBE=90°，
又∵BE=BF，
∴∠BEF=∠EFB=45°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
又∵∠ABE=55°，
∴∠EBG=90°﹣55°=35°，
∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°.
【點評】本題主要考查了正方形，三角形全等判定和性質及等腰三角形，解題的關鍵是求得△AEB≌△CFB，找出相等的線段.
23.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E.在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，FC⊥BC.
(1)求證：BE=CF;
(2)在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME.
求證：①ME⊥BC;②DE=DN.
【考點】全等三角形的判定與性質;角平分線的性質;等腰直角三角形.
【專題】證明題;幾何綜合題.
【分析】(1)根據等腰直角三角形的性質求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，從而得到∠B=∠ACF，根據同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△ACF全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可;
(2)①過點E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，從而得到△HEM是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質求解即可;
?、谇蟪?ang;CAE=∠CEA=67.5°，根據等角對等邊可得AC=CE，再利用“HL”證明Rt△ACM和Rt△ECM全等，根據全等三角形對應角相等可得∠ACM=∠ECM=22.5°，從而求出∠DAE=∠ECM，根據等腰直角三角形的性質可得AD=CD，再利用“角邊角”證明△ADE和△CDN全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可.
【解答】證明：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵FC⊥BC，
∴∠BCF=90°，
∴∠ACF=90°﹣45°=45°，
∴∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，FA⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE=90°，
∠CAF+∠CAE=90°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF(ASA)，
∴BE=CF;
(2)①如圖，過點E作EH⊥AB于H，則△BEH是等腰直角三角形，
∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
∴DE=HE，
∴DE=BH=HE，
∵BM=2DE，
∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°，
∴ME⊥BC;
?、谟深}意得，∠CAE=45°+ ×45°=67.5°，
∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠CAE=∠CEA=67.5°，
∴AC=CE，
在Rt△ACM和Rt△ECM中
， ，
∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL)，
∴∠ACM=∠ECM= ×45°=22.5°，
又∵∠DAE= ×45°=22.5°，
∴∠DAE=∠ECM，
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD=CD= BC，
在△ADE和△CDN中，
，
∴△ADE≌△CDN(ASA)，
∴DE=DN.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，熟記性質并作輔助線構造出等腰直角三角形和全等三角形是解題的關鍵，難點在于最后一問根據角的度數得到相等的角.
24.【問題提出】
學習了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究.
【初步思考】
我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對∠B進行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究.
【深入探究】
第一種情況：當∠B是直角時，△ABC≌△DEF.
(1)如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據 HL ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二種情況：當∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF.
(2)如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF.
第三種情況：當∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等.(不寫作法，保留作圖痕跡)
(4)∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF?請直接寫出結論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若 ∠B≥∠A ，則△ABC≌△DEF.
【考點】全等三角形的判定與性質;作圖—應用與設計作圖.
【專題】壓軸題;探究型.
【分析】(1)根據直角三角形全等的方法“HL”證明;
(2)過點C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延長線于H，根據等角的補角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角邊”證明△CBG和△FEH全等，根據全等三角形對應邊相等可得CG=FH，再利用“HL”證明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根據全等三角形對應角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角邊”證明△ABC和△DEF全等;
(3)以點C為圓心，以AC長為半徑畫弧，與AB相交于點D，E與B重合，F與C重合，得到△DEF與△ABC不全等;
(4)根據三種情況結論，∠B不小于∠A即可.
【解答】(1)解：HL;
(2)證明：如圖，過點C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延長線于H，
∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是鈍角，
∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
，
∴△CBG≌△FEH(AAS)，
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(AAS);
(3)解：如圖，△DEF和△ABC不全等;
(4)解：若∠B≥∠A，則△ABC≌△DEF.
故答案為：(1)HL;(4)∠B≥∠A.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，應用與設計作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵，閱讀量較大，審題要認真仔細.
25.問題背景：
如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F分別是BC，CD上的點.且∠EAF=60°.探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系.
小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G.使DG=BE.連結AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是 EF=BE+DF ;
探索延伸：
如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°.E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF= ∠BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由;
實際應用：
如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進.1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離.
【考點】全等三角形的判定與性質.
【專題】壓軸題;探究型.
【分析】問題背景：根據全等三角形對應邊相等解答;
探索延伸：延長FD到G，使DG=BE，連接AG，根據同角的補角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADG全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“邊角邊”證明△AEF和△GAF全等，根據全等三角形對應邊相等可得EF=GF，然后求解即可;
實際應用：連接EF，延長AE、BF相交于點C，然后求出∠EOF= ∠AOB，判斷出符合探索延伸的條件，再根據探索延伸的結論解答即可.
【解答】解：問題背景：EF=BE+DF;
探索延伸：EF=BE+DF仍然成立.
證明如下：如圖，延長FD到G，使DG=BE，連接AG，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF= ∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△GAF(SAS)，
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF;
實際應用：如圖，連接EF，延長AE、BF相交于點C，
∵∠AOB=30°+90°+(90°﹣70°)=140°，
∠EOF=70°，
∴∠EOF= ∠AOB，
又∵OA=OB，
∠OAC+∠OBC=(90°﹣30°)+(70°+50°)=180°，
∴符合探索延伸中的條件，
∴結論EF=AE+BF成立，
即EF=1.5×(60+80)=210海里.
答：此時兩艦艇之間的距離是210海里.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，讀懂問題背景的求解思路，作輔助線構造出全等三角形并兩次證明三角形全等是解題的關鍵，也是本題的難點.
26.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC與BD相交于O點，OC=OA，若E是CD上任意一點，連接BE交AC于點F，連接DF.
(1)證明：△CBF≌△CDF;
(2)若AC=2 ，BD=2，求四邊形ABCD的周長;
(3)請你添加一個條件，使得∠EFD=∠BAD，并予以證明.
【考點】全等三角形的判定與性質;勾股定理;菱形的判定與性質.
【專題】幾何綜合題;開放型.
【分析】(1)首先利用SSS定理證明△ABC≌△ADC可得∠BCA=∠DCA即可證明△CBF≌△CDF.
(2)由△ABC≌△ADC可知，△ABC與△ADC是軸對稱圖形，得出OB=OD，∠COB=∠COD=90°，因為OC=OA，所以AC與BD互相垂直平分，即可證得四邊形ABCD是菱形，然后根據勾股定理全等AB長，進而求得四邊形的面積.
(3)首先證明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根據BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，進而得到∠EFD=∠BCD=∠BAD.
【解答】(1)證明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BCA=∠DCA，
在△CBF和△CDF中，
，
∴△CBF≌△CDF(SAS)，
(2)解：∵△ABC≌△ADC，
∴△ABC和△ADC是軸對稱圖形，
∴OB=OD，BD⊥AC，
∵OA=OC，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，
∵AC=2 ，BD=2，
∴OA= ，OB=1，
∴AB= = =2，
∴四邊形ABCD的周長=4AB=4×2=8.
(3)當EB⊥CD時，即E為過B且和CD垂直時垂線的垂足，∠EFD=∠BCD，
理由：∵四邊形ABCD為菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，
∵△BCF≌△DCF，
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，
∴∠EFD=∠BAD.
【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，以及菱形的判定與性質，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具.
27.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點E、B、D、F在同一直線上，且BE=DF.求證：AE=CF.
【考點】全等三角形的判定與性質;平行四邊形的性質.
【專題】證明題.
【分析】根據平行四邊形的對邊相等可得AB=CD，AB∥CD，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ABD=∠CDB，然后求出∠ABE=∠CDF，再利用“邊角邊”證明△ABE和△CDF全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可.
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴180°﹣∠ABD=180°﹣∠CDB，
即∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，熟記性質與三角形全等的判定方法求出全等的條件是解題的關鍵.
28.(1)如圖1，正方形ABCD中，點E，F分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°，延長CD到點G，使DG=BE，連結EF，AG.求證：EF=FG.
(2)如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點M，N在邊BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的長.
【考點】全等三角形的判定與性質;正方形的性質.
【專題】證明題;壓軸題.
【分析】(1)證△ADG≌△ABE，△FAE≌△FAG，根據全等三角形的性質求出即可;
(2)過點C作CE⊥BC，垂足為點C，截取CE，使CE=BM.連接AE、EN.通過證明△ABM≌△ACE(SAS)推知全等三角形的對應邊AM=AE、對應角∠BAM=∠CAE;然后由等腰直角三角形的性質和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN(SAS)，故全等三角形的對應邊MN=EN;最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2.
【解答】(1)證明：在正方形ABCD中，
∠ABE=∠ADG，AD=AB，
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∴∠EAG=90°，
在△FAE和△GAF中，
，
∴△FAE≌△GAF(SAS)，
∴EF=FG;
(2)解：如圖，過點C作CE⊥BC，垂足為點C，截取CE，使CE=BM.連接AE、EN.
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°.
∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°.
在△ABM和△ACE中，
∴△ABM≌△ACE(SAS).
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE.
∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°.
于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°.
在△MAN和△EAN中，
∴△MAN≌△EAN(SAS).
∴MN=EN.
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2.
∴MN2=BM2+NC2.
∵BM=1，CN=3，
∴MN2=12+32，
∴MN=
【點評】本題主要考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質以及勾股定理的綜合應用.
29.(2014•重慶)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的中點，過點A作AD⊥AB交BE的延長線于點D，CG平分∠ACB交BD于點G，F為AB邊上一點，連接CF，且∠ACF=∠CBG.求證：
(1)AF=CG;
(2)CF=2DE.
【考點】全等三角形的判定與性質;等腰直角三角形.
【專題】證明題.
【分析】(1)要證AF=CG，只需證明△AFC≌△CBG即可.
(2)延長CG交AB于H，則CH⊥AB，H平分AB，繼而證得CH∥AD，得出DG=BG和△ADE與△CGE全等，從而證得CF=2DE.
【解答】證明：(1)∵∠ACB=90°，CG平分∠ACB，
∴∠ACG=∠BCG=45°，
又∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAF=∠CBF=45°，
∴∠CAF=∠BCG，
在△AFC與△CGB中，
，
∴△AFC≌△CBG(ASA)，
∴AF=CG;
(2)延長CG交AB于H，
∵CG平分∠ACB，AC=BC，
∴CH⊥AB，CH平分AB，
∵AD⊥AB，
∴AD∥CG，
∴∠D=∠EGC，
在△ADE與△CGE中，
，
∴△ADE≌△CGE(AAS)，
∴DE=GE，
即DG=2DE，
∵AD∥CG，CH平分AB，
∴DG=BG，
∵△AFC≌△CBG，
∴CF=BG，
∴CF=2DE.
【點評】本題考查了三角形全等的判定和性質、等腰三角形的性質、平行線的判定及性質，三角形全等是解本題的關鍵.
30.如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不動，△ADE繞點A旋轉，連接BE、CD，F為BE的中點，連接AF.
(1)如圖①，當∠BAE=90°時，求證：CD=2AF;
(2)當∠BAE≠90°時，(1)的結論是否成立?請結合圖②說明理由.
【考點】全等三角形的判定與性質;等腰三角形的性質;三角形中位線定理;旋轉的性質.
【專題】幾何綜合題.
【分析】(1)因為AF是直角三角形ABE的中線，所以BE=2AF，然后通過△ABE≌△ACD即可求得.
(2)延長EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，證出△ABH≌△ACD從而證得BH=CD，然后根據三角形的中位線等于底邊的一半，求得BH=2AF，即可求得.
【解答】(1)證明：如圖①，
∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，
∴∠DAC=90°，
在△ABE與△ACD中
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴CD=BE，
∵在Rt△ABE中，F為BE的中點，
∴BE=2AF，
∴CD=2AF.
(2)成立，
證明：如圖②，延長EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
∴∠EAB+∠DAC=180°，
∵∠EAB+∠BAH=180°，
∴∠DAC=∠BAH，
在△ABH與△ACD中，
∴△ABH≌△ACD(SAS)
∴BH=DC，
∵AD=AE，AH=AD，
∴AE=AH，
∵EF=FB，
∴BH=2AF，
∴CD=2AF.
【點評】本題考查了三角形全等的判定和性質，等腰三角形的性質，三角形中位線的性質等.作出正確的輔助線是解題關鍵
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