初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第14章全等三角形單元試卷
仔細(xì)做八年級(jí)數(shù)學(xué)單元試卷題，學(xué)會(huì)灑脫;出錯(cuò)要少，檢查要多;這是學(xué)習(xí)啦小編整理的初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第14章全等三角形單元試卷，希望你能從中得到感悟!
初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第14章全等三角形單元試題
一、選擇題(共9小題)
1.如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F(xiàn)是高AD和BE的交點(diǎn)，則BF的長(zhǎng)是( )
A.4cm B.6cm C.8cm D.9cm
2.如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為(1， )，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為( )
A.(﹣ ，1) B.(﹣1， ) C.( ，1) D.(﹣ ，﹣1)
3.在連接A地與B地的線段上有四個(gè)不同的點(diǎn)D、G、K、Q，下列四幅圖中的實(shí)線分別表示某人從A地到B地的不同行進(jìn)路線(箭頭表示行進(jìn)的方向)，則路程最長(zhǎng)的行進(jìn)路線圖是( )
A. B. C. D.
4.如圖，坐標(biāo)平面上，△ABC與△DEF全等，其中A、B、C的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)分別為D、E、F，且AB=BC=5.若A點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣3，1)，B、C兩點(diǎn)在方程式y(tǒng)=﹣3的圖形上，D、E兩點(diǎn)在y軸上，則F點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為何?( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5.平面上有△ACD與△BCE，其中AD與BE相交于P點(diǎn)，如圖.若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，則∠BPD的度數(shù)為( )
A.110° B.125° C.130° D.155°
6.如圖，在△ABC和△BDE中，點(diǎn)C在邊BD上，邊AC交邊BE于點(diǎn)F.若AC=BD，AB=ED，BC=BE，則∠ACB等于( )
A.∠EDB B.∠BED C. ∠AFB D.2∠ABF
7.如圖，AB=4，射線BM和AB互相垂直，點(diǎn)D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線BM上，BE= DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，連結(jié)AF并延長(zhǎng)交射線BM于點(diǎn)C.設(shè)BE=x，BC=y，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是( )
A.y=﹣ B.y=﹣ C.y=﹣ D.y=﹣
8.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，點(diǎn)M、N分別在AB、AD邊上，若AM：MB=AN：ND=1：2，則tan∠MCN=( )
A. B. C. D. ﹣2
9.如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點(diǎn)M、N.若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則重疊部分四邊形EMCN的面積為( )
A. a2 B. a2 C. a2 D. a2
二、解答題(共21小題)
10.已知△ABC為等邊三角形，D為AB邊所在的直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接DC，以DC為邊在DC兩側(cè)作等邊△DCE和等邊△DCF(點(diǎn)E在DC的右側(cè)或上側(cè)，點(diǎn)F在DC左側(cè)或下側(cè))，連接AE、BF
(1)如圖1，若點(diǎn)D在AB邊上，請(qǐng)你通過(guò)觀察，測(cè)量，猜想線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論;
(2)如圖2，若點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論(不需要證明);
(3)若點(diǎn)D在AB的反向延長(zhǎng)線上，其他條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出圖形，探究線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并直接寫(xiě)出結(jié)論(不需要證明)
11.如圖，已知AB∥DE，AB=DE，AF=CD，∠CEF=90°.
(1)若∠ECF=30°，CF=8，求CE的長(zhǎng);
(2)求證：△ABF≌△DEC;
(3)求證：四邊形BCEF是矩形.
12.如圖，△ABC與△DCB中，AC與BD交于點(diǎn)E，且∠A=∠D，AB=DC.
(1)求證：△ABE≌DCE;
(2)當(dāng)∠AEB=50°，求∠EBC的度數(shù)?
13.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.
(1)求證：△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°，CD=1，求BD的長(zhǎng).
14.如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AB=AC，BD=CE.求證：AD=AE.
15.已知：如圖，AD，BC相交于點(diǎn)O，OA=OD，AB∥CD.
求證：AB=CD.
16.如圖，把一個(gè)直角三角形ACB(∠ACB=90°)繞著頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使得點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB邊上的一點(diǎn)D，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E的位置.F，G分別是BD，BE上的點(diǎn)，BF=BG，延長(zhǎng)CF與DG交于點(diǎn)H.
(1)求證：CF=DG;
(2)求出∠FHG的度數(shù).
17.如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE，AB∥ED，AC∥FD，求證：AC=DF.
18.如圖，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一條直線上.求證：BD=CE.
19.如圖，已知點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D.求證：AB=DE.
20.(1)如圖，AB平分∠CAD，AC=AD，求證：BC=BD;
(2)列方程解應(yīng)用題
把一些圖書(shū)分給某班學(xué)生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本;如果每人分4本，則還缺25本，這個(gè)班有多少學(xué)生?
21.(1)如圖1，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且點(diǎn)B，C，E在一條直線上.求證：∠A=∠D.
(2)如圖2，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的長(zhǎng).
22.如圖，四邊形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF與BC交于點(diǎn)G.
(1)求證：AE=CF;
(2)若∠ABE=55°，求∠EGC的大小.
23.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E.在△ABC外有一點(diǎn)F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC.
(1)求證：BE=CF;
(2)在AB上取一點(diǎn)M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點(diǎn)N，連接ME.
求證：①M(fèi)E⊥BC;②DE=DN.
24.【問(wèn)題提出】
學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究.
【初步思考】
我們不妨將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對(duì)∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究.
【深入探究】
第一種情況：當(dāng)∠B是直角時(shí)，△ABC≌△DEF.
(1)如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù) ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時(shí)，△ABC≌△DEF.
(2)如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF.
第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時(shí)，△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請(qǐng)你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等.(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)
(4)∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF?請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若 ，則△ABC≌△DEF.
25.問(wèn)題背景：
如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn).且∠EAF=60°.探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系.
小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是 ;
探索延伸：
如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°.E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF= ∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由;
實(shí)際應(yīng)用：
如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn).1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.
26.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC與BD相交于O點(diǎn)，OC=OA，若E是CD上任意一點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F，連接DF.
(1)證明：△CBF≌△CDF;
(2)若AC=2 ，BD=2，求四邊形ABCD的周長(zhǎng);
(3)請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得∠EFD=∠BAD，并予以證明.
27.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E、B、D、F在同一直線上，且BE=DF.求證：AE=CF.
28.(1)如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G，使DG=BE，連結(jié)EF，AG.求證：EF=FG.
(2)如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的長(zhǎng).
29.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接CF，且∠ACF=∠CBG.求證：
(1)AF=CG;
(2)CF=2DE.
30.如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不動(dòng)，△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BE、CD，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，連接AF.
(1)如圖①，當(dāng)∠BAE=90°時(shí)，求證：CD=2AF;
(2)當(dāng)∠BAE≠90°時(shí)，(1)的結(jié)論是否成立?請(qǐng)結(jié)合圖②說(shuō)明理由.
初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第14章全等三角形單元試卷參考答案
一、選擇題(共9小題)
1.如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F(xiàn)是高AD和BE的交點(diǎn)，則BF的長(zhǎng)是( )
A.4cm B.6cm C.8cm D.9cm
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】求出∠FBD=∠CAD，AD=BD，證△DBF≌△DAC，推出BF=AC，代入求出即可.
【解答】解：∵F是高AD和BE的交點(diǎn)，
∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°，
∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠CAD=∠FBD，
∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°=∠ABD，
∴AD=BD，
在△DBF和△DAC中
∴△DBF≌△DAC(ASA)，
∴BF=AC=8cm，
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△DBF≌△DAC.
2.如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為(1， )，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為( )
A.(﹣ ，1) B.(﹣1， ) C.( ，1) D.(﹣ ，﹣1)
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);坐標(biāo)與圖形性質(zhì);正方形的性質(zhì).
【專題】幾何圖形問(wèn)題.
【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，根據(jù)同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，再利用“角角邊”證明△AOD和△OCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OE=AD，CE=OD，然后根據(jù)點(diǎn)C在第二象限寫(xiě)出坐標(biāo)即可.
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，
∵四邊形OABC是正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠COE+∠AOD=90°，
又∵∠OAD+∠AOD=90°，
∴∠OAD=∠COE，
在△AOD和△OCE中，
，
∴△AOD≌△OCE(AAS)，
∴OE=AD= ，CE=OD=1，
∵點(diǎn)C在第二象限，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣ ，1).
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).
3.在連接A地與B地的線段上有四個(gè)不同的點(diǎn)D、G、K、Q，下列四幅圖中的實(shí)線分別表示某人從A地到B地的不同行進(jìn)路線(箭頭表示行進(jìn)的方向)，則路程最長(zhǎng)的行進(jìn)路線圖是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的判定與性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】分別構(gòu)造出平行四邊形和三角形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行比較，即可判斷.
【解答】
解：A、延長(zhǎng)AC、BE交于S，
∵∠CAB=∠EDB=45°，
∴AS∥ED，則SC∥DE.
同理SE∥CD，
∴四邊形SCDE是平行四邊形，
∴SE=CD，DE=CS，
即走的路線長(zhǎng)是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS;
B、延長(zhǎng)AF、BH交于S1，作FK∥GH與BH的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K，
∵∠SAB=∠S1AB=45°，∠SBA=∠S1BA=70°，AB=AB，
∴△SAB≌△S1AB，
∴AS=AS1，BS=BS1，
∵∠FGH=180°﹣70°﹣43°=67°=∠GHB，
∴FG∥KH，
∵FK∥GH，
∴四邊形FGHK是平行四邊形，
∴FK=GH，F(xiàn)G=KH，
∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，
∵FS1+S1K>FK，
∴AS+BS>AF+FK+KH+HB，
即AC+CD+DE+EB>AF+FG+GH+HB，
C、D、同理可證得AI+IK+KM+MB
綜上所述，D選項(xiàng)的所走的線路最長(zhǎng).
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，平行四邊形的對(duì)邊相等.
4.如圖，坐標(biāo)平面上，△ABC與△DEF全等，其中A、B、C的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)分別為D、E、F，且AB=BC=5.若A點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣3，1)，B、C兩點(diǎn)在方程式y(tǒng)=﹣3的圖形上，D、E兩點(diǎn)在y軸上，則F點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為何?( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);坐標(biāo)與圖形性質(zhì).
【分析】如圖，作AH、CK、FP分別垂直BC、AB、DE于H、K、P.由AB=BC，△ABC≌△DEF，就可以得出△AKC≌△CHA≌△DPF，就可以得出結(jié)論.
【解答】解：如圖，作AH、CK、FP分別垂直BC、AB、DE于H、K、P.
∴∠DPF=∠AKC=∠CHA=90°.
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA.
在△AKC和△CHA中
，
∴△AKC≌△CHA(ASA)，
∴KC=HA.
∵B、C兩點(diǎn)在方程式y(tǒng)=﹣3的圖形上，且A點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣3，1)，
∴AH=4.
∴KC=4.
∵△ABC≌△DEF，
∴∠BAC=∠EDF，AC=DF.
在△AKC和△DPF中，
，
∴△AKC≌△DPF(AAS)，
∴KC=PF=4.
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖象的性質(zhì)的運(yùn)用，垂直的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵.
5.平面上有△ACD與△BCE，其中AD與BE相交于P點(diǎn)，如圖.若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，則∠BPD的度數(shù)為( )
A.110° B.125° C.130° D.155°
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】易證△ACD≌△BCE，由全等三角形的性質(zhì)可知：∠A=∠B，再根據(jù)已知條件和四邊形的內(nèi)角和為360°，即可求出∠BPD的度數(shù).
【解答】解：在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE(SSS)，
∴∠A=∠B，∠BCE=∠ACD，
∴∠BCA=∠ECD，
∵∠ACE=55°，∠BCD=155°，
∴∠BCA+∠ECD=100°，
∴∠BCA=∠ECD=50°，
∵∠ACE=55°，
∴∠ACD=105°
∴∠A+∠D=75°，
∴∠B+∠D=75°，
∵∠BCD=155°，
∴∠BPD=360°﹣75°﹣155°=130°，
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及四邊形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是利用整體的數(shù)學(xué)思想求出∠B+∠D=75°.
6.如圖，在△ABC和△BDE中，點(diǎn)C在邊BD上，邊AC交邊BE于點(diǎn)F.若AC=BD，AB=ED，BC=BE，則∠ACB等于( )
A.∠EDB B.∠BED C. ∠AFB D.2∠ABF
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得∠ACB與∠DBE的關(guān)系，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得答案.
【解答】解：在△ABC和△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB (SSS)，
∴∠ACB=∠DBE.
∵∠AFB是△BFC的外角，
∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，
∠ACB= ∠AFB，
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì).
7.如圖，AB=4，射線BM和AB互相垂直，點(diǎn)D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線BM上，BE= DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，連結(jié)AF并延長(zhǎng)交射線BM于點(diǎn)C.設(shè)BE=x，BC=y，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是( )
A.y=﹣ B.y=﹣ C.y=﹣ D.y=﹣
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);函數(shù)關(guān)系式;相似三角形的判定與性質(zhì).
【專題】數(shù)形結(jié)合.
【分析】作FG⊥BC于G，依據(jù)已知條件求得△DBE≌△EGF，得出FG=BE=x，EG=DB=2x，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得.
【解答】解：作FG⊥BC于G，
∵∠DEB+∠FEC=90°，∠DEB+∠BDE=90°;
∴∠BDE=∠FEG，
在△DBE與△EGF中
∴△DBE≌△EGF，
∴EG=DB，F(xiàn)G=BE=x，
∴EG=DB=2BE=2x，
∴GC=y﹣3x，
∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG∥AB，
CG：BC=FG：AB，
即 = ，
∴y=﹣ .
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，輔助線的做法是解題的關(guān)鍵.
8.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，點(diǎn)M、N分別在AB、AD邊上，若AM：MB=AN：ND=1：2，則tan∠MCN=( )
A. B. C. D. ﹣2
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);三角形的面積;角平分線的性質(zhì);含30度角的直角三角形;勾股定理.
【專題】計(jì)算題;壓軸題.
【分析】連接AC，通過(guò)三角形全等，求得∠BAC=30°，從而求得BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理求得CM的長(zhǎng)，
連接MN，過(guò)M點(diǎn)作ME⊥CN于E，則△MNA是等邊三角形求得MN=2，設(shè)NE=x，表示出CE，根據(jù)勾股定理即可求得ME，然后求得tan∠MCN.
【解答】解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，
∴AM=AN=2，BM=DN=4，
連接MN，連接AC，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°
在Rt△ABC與Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)
∴∠BAC=∠DAC= ∠BAD=30°，MC=NC，
∴BC= AC，
∴AC2=BC2+AB2，即(2BC)2=BC2+AB2，
3BC2=AB2，
∴BC=2 ，
在Rt△BMC中，CM= = =2 .
∵AN=AM，∠MAN=60°，
∴△MAN是等邊三角形，
∴MN=AM=AN=2，
過(guò)M點(diǎn)作ME⊥CN于E，設(shè)NE=x，則CE=2 ﹣x，
∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=(2 )2﹣(2 ﹣x)2，
解得：x= ，
∴EC=2 ﹣ = ，
∴ME= = ，
∴tan∠MCN= =
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及解直角三角函數(shù)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
9.如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點(diǎn)M、N.若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則重疊部分四邊形EMCN的面積為( )
A. a2 B. a2 C. a2 D. a2
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì).
【專題】幾何圖形問(wèn)題;壓軸題.
【分析】過(guò)E作EP⊥BC于點(diǎn)P，EQ⊥CD于點(diǎn)Q，△EPM≌△EQN，利用四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積求解.
【解答】解：過(guò)E作EP⊥BC于點(diǎn)P，EQ⊥CD于點(diǎn)Q，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
又∵∠EPM=∠EQN=90°，
∴∠PEQ=90°，
∴∠PEM+∠MEQ=90°，
∵三角形FEG是直角三角形，
∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，
∴∠PEM=∠NEQ，
∵AC是∠BCD的角平分線，∠EPC=∠EQC=90°，
∴EP=EQ，四邊形PCQE是正方形，
在△EPM和△EQN中，
，
∴△EPM≌△EQN(ASA)
∴S△EQN=S△EPM，
∴四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積，
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，
∴AC= a，
∵EC=2AE，
∴EC= a，
∴EP=PC= a，
∴正方形PCQE的面積= a× a= a2，
∴四邊形EMCN的面積= a2，
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證出△EPM≌△EQN.
二、解答題(共21小題)
10.(2013•阜新)已知△ABC為等邊三角形，D為AB邊所在的直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接DC，以DC為邊在DC兩側(cè)作等邊△DCE和等邊△DCF(點(diǎn)E在DC的右側(cè)或上側(cè)，點(diǎn)F在DC左側(cè)或下側(cè))，連接AE、BF
(1)如圖1，若點(diǎn)D在AB邊上，請(qǐng)你通過(guò)觀察，測(cè)量，猜想線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論;
(2)如圖2，若點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論(不需要證明);
(3)若點(diǎn)D在AB的反向延長(zhǎng)線上，其他條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出圖形，探究線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并直接寫(xiě)出結(jié)論(不需要證明)
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).
【分析】(1)AE+BF=AB，可證明△CBF≌△CAD和△CDB≌△CAE分別得到AD=BF，BD=AE，易得結(jié)論;
(2)BF﹣AE=AB，由△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE分別得到AD=BF，BD=AE，易得結(jié)論;
(3)AE﹣BF=AB，由△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE分別得到AD=BF，BD=AE，易得結(jié)論.
【解答】解：(1)AE+BF=AB，如圖1，
∵△ABC和△DCF是等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CF，∠ACB=∠DCF=60°.
∴∠ACD=∠BCF，
在△ACD和△BCF中
∴△ACD≌△BCF(SAS)
∴AD=BF
同理：△CBD≌△CAE(SAS)
∴BD=AE
∴AE+BF=BD+AD=AB;
(2)BF﹣AE=AB，
如圖2，易證△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，
∴AD=BF，BD=AE，
∴BF﹣AE=AD﹣BD=AB;
(3)AE﹣BF=AB，
如圖3，易證△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，
∴AD=BF，BD=AE，
∴BF﹣AE=AD﹣BD=AB.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用類比思想，在變化中發(fā)現(xiàn)不變是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
11.如圖，已知AB∥DE，AB=DE，AF=CD，∠CEF=90°.
(1)若∠ECF=30°，CF=8，求CE的長(zhǎng);
(2)求證：△ABF≌△DEC;
(3)求證：四邊形BCEF是矩形.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);矩形的判定.
【分析】(1)解直角三角形即可求出答案;
(2)根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠A=∠D，根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可;
(3)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BF=CE，∠AFB=∠DCE，求出∠BFC=∠ECF，推出BF∥EC，根據(jù)平行四邊形的判定推出四邊形BCEF是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定推出即可.
【解答】(1)解：∵∠CEF=90°.
∴cos∠ECF= .
∵∠ECF=30°，CF=8.
∴CF=CF•cos30°=8× =4 ;
(2)證明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
∵在△ABF和△DEC中
∴△ABF≌△DEC (SAS);
(3)證明：由(2)可知：△ABF≌△DEC，
∴BF=CE，∠AFB=∠DCE，
∵∠AFB+∠BFC=180°，∠DCE+∠ECF=180°，
∴∠BFC=∠ECF，
∴BF∥EC，
∴四邊形BCEF是平行四邊形，
∵∠CEF=90°，
∴四邊形BCEF是矩形.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，平行四邊形的判定，矩形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，綜合運(yùn)用性質(zhì)定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，難度適中.
12.如圖，△ABC與△DCB中，AC與BD交于點(diǎn)E，且∠A=∠D，AB=DC.
(1)求證：△ABE≌DCE;
(2)當(dāng)∠AEB=50°，求∠EBC的度數(shù)?
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)AAS即可推出△ABE和△DCE全等;
(2)根據(jù)三角形全等得出EB=EC，推出∠EBC=∠ECB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠AEB=2∠EBC，代入求出即可.
【解答】(1)證明：∵在△ABE和△DCE中
∴△ABE≌△DCE(AAS);
(2)解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，
∴∠EBC=25°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外角性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力.
13.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.
(1)求證：△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°，CD=1，求BD的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);角平分線的性質(zhì);含30度角的直角三角形.
【分析】(1)根據(jù)角平分線性質(zhì)求出CD=DE，根據(jù)HL定理求出另三角形全等即可;
(2)求出∠DEB=90°，DE=1，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可.
【解答】(1)證明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL);
(2)解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，角平分線性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.
14.如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AB=AC，BD=CE.求證：AD=AE.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，然后證明△ABD≌△ACE即可證得結(jié)論.
【解答】證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABD與△ACE中，
∵ ，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD=AE.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用等邊對(duì)等角得到∠B=∠C.
15.已知：如圖，AD，BC相交于點(diǎn)O，OA=OD，AB∥CD.
求證：AB=CD.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】首先根據(jù)AB∥CD，可得∠B=∠C，∠A=∠D，結(jié)合OA=OD，可知證明出△AOB≌△DOC，即可得到AB=CD.
【解答】證明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，∠A=∠D，
∵在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC(AAS)，
∴AB=CD.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握判定定理以及平行線的性質(zhì)，此題基礎(chǔ)題，比較簡(jiǎn)單.
16.(2013•大慶)如圖，把一個(gè)直角三角形ACB(∠ACB=90°)繞著頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使得點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB邊上的一點(diǎn)D，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E的位置.F，G分別是BD，BE上的點(diǎn)，BF=BG，延長(zhǎng)CF與DG交于點(diǎn)H.
(1)求證：CF=DG;
(2)求出∠FHG的度數(shù).
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)在△CBF和△DBG中，利用SAS即可證得兩個(gè)三角形全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得;
(2)根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，以及三角形的內(nèi)角和定理，即可證得∠DHF=∠CBF=60°，從而求解.
【解答】(1)證明：∵在△CBF和△DBG中，
，
∴△CBF≌△DBG(SAS)，
∴CF=DG;
(2)解：∵△CBF≌△DBG，
∴∠BCF=∠BDG，
又∵∠CFB=∠DFH，
又∵△BCF中，∠CBF=180°﹣∠BCF﹣∠CFB，
△DHF中，∠DHF=180°﹣∠BDG﹣∠DFH，
∴∠DHF=∠CBF=60°，
∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確證明三角形全等是關(guān)鍵.
17.如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE，AB∥ED，AC∥FD，求證：AC=DF.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】求出BC=EF，根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，根據(jù)ASA推出△ABC≌△DEF即可.
【解答】證明：∵FB=CE，
∴FB+FC=CE+FC，
∴BC=EF，
∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，
∵在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(ASA)，
∴AC=DF.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力.
18.如圖，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一條直線上.求證：BD=CE.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形.
【專題】證明題.
【分析】求出AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠EAC，根據(jù)SAS證出△ADB≌△AEC即可.
【解答】證明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AD=AE，AB=AC，
又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，
∴∠DAB=∠EAC，
∵在△ADB和△AEC中
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△ADB≌△AEC.
19.如圖，已知點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D.求證：AB=DE.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】首先得出BC=EF，利用平行線的性質(zhì)∠B=∠DEF，再利用AAS得出△ABC≌△DEF，即可得出答案.
【解答】證明：∵BE=CF，∴BC=EF.
∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF.
在△ABC與△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(AAS)，
∴AB=DE.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵.
20.(1)如圖，AB平分∠CAD，AC=AD，求證：BC=BD;
(2)列方程解應(yīng)用題
把一些圖書(shū)分給某班學(xué)生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本;如果每人分4本，則還缺25本，這個(gè)班有多少學(xué)生?
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);一元一次方程的應(yīng)用.
【分析】(1)求出∠CAB=∠DAB，根據(jù)SAS推出△ABC≌△ABD即可;
(2)設(shè)這個(gè)班有x名學(xué)生，根據(jù)題意得出方程3x+20=4x﹣25，求出即可.
【解答】(1)證明：∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB=∠DAB，
在△ABC和△ABD中
∴△ABC≌△ABD(SAS)，
∴BC=BD.
(2)解：設(shè)這個(gè)班有x名學(xué)生，根據(jù)題意得：3x+20=4x﹣25，
解得：x=45，
答：這個(gè)班有45名學(xué)生.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，一元一次方程的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力和列方程的能力.
21.(1)如圖1，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且點(diǎn)B，C，E在一條直線上.求證：∠A=∠D.
(2)如圖2，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);矩形的性質(zhì).
【分析】(1)首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B=∠DCE，再利用SAS定理證明△ABC≌△DCE可得∠A=∠D;
(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AO=BO=CO=DO，再證明△AOB是等邊三角形，可得AO=AB=4，進(jìn)而得到AC=2AO=8.
【解答】(1)證明：∵AB∥DC，
∴∠B=∠DCE，
在△ABC和△DCE中 ，
∴△ABC≌△DCE(SAS)，
∴∠A=∠D;
(2)解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AO=AB=4，
∴AC=2AO=8.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及矩形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.
22.如圖，四邊形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF與BC交于點(diǎn)G.
(1)求證：AE=CF;
(2)若∠ABE=55°，求∠EGC的大小.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形;正方形的性質(zhì).
【專題】幾何綜合題.
【分析】(1)利用△AEB≌△CFB來(lái)求證AE=CF.
(2)利用角的關(guān)系求出∠BEF和∠EBG，∠EGC=∠EBG+∠BEF求得結(jié)果.
【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵BE⊥BF，
∴∠FBE=90°，
∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△AEB和△CFB中，
∴△AEB≌△CFB(SAS)，
∴AE=CF.
(2)解：∵BE⊥BF，
∴∠FBE=90°，
又∵BE=BF，
∴∠BEF=∠EFB=45°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
又∵∠ABE=55°，
∴∠EBG=90°﹣55°=35°，
∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形，三角形全等判定和性質(zhì)及等腰三角形，解題的關(guān)鍵是求得△AEB≌△CFB，找出相等的線段.
23.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E.在△ABC外有一點(diǎn)F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC.
(1)求證：BE=CF;
(2)在AB上取一點(diǎn)M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點(diǎn)N，連接ME.
求證：①M(fèi)E⊥BC;②DE=DN.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);角平分線的性質(zhì);等腰直角三角形.
【專題】證明題;幾何綜合題.
【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，從而得到∠B=∠ACF，根據(jù)同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可;
(2)①過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，從而得到△HEM是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可;
?、谇蟪?ang;CAE=∠CEA=67.5°，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AC=CE，再利用“HL”證明Rt△ACM和Rt△ECM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACM=∠ECM=22.5°，從而求出∠DAE=∠ECM，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=CD，再利用“角邊角”證明△ADE和△CDN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可.
【解答】證明：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵FC⊥BC，
∴∠BCF=90°，
∴∠ACF=90°﹣45°=45°，
∴∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，F(xiàn)A⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE=90°，
∠CAF+∠CAE=90°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF(ASA)，
∴BE=CF;
(2)①如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于H，則△BEH是等腰直角三角形，
∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
∴DE=HE，
∴DE=BH=HE，
∵BM=2DE，
∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°，
∴ME⊥BC;
?、谟深}意得，∠CAE=45°+ ×45°=67.5°，
∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠CAE=∠CEA=67.5°，
∴AC=CE，
在Rt△ACM和Rt△ECM中
， ，
∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL)，
∴∠ACM=∠ECM= ×45°=22.5°，
又∵∠DAE= ×45°=22.5°，
∴∠DAE=∠ECM，
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD=CD= BC，
在△ADE和△CDN中，
，
∴△ADE≌△CDN(ASA)，
∴DE=DN.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于最后一問(wèn)根據(jù)角的度數(shù)得到相等的角.
24.【問(wèn)題提出】
學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究.
【初步思考】
我們不妨將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對(duì)∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究.
【深入探究】
第一種情況：當(dāng)∠B是直角時(shí)，△ABC≌△DEF.
(1)如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù) HL ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時(shí)，△ABC≌△DEF.
(2)如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF.
第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時(shí)，△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請(qǐng)你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等.(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)
(4)∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF?請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若 ∠B≥∠A ，則△ABC≌△DEF.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖.
【專題】壓軸題;探究型.
【分析】(1)根據(jù)直角三角形全等的方法“HL”證明;
(2)過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角邊”證明△CBG和△FEH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CG=FH，再利用“HL”證明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角邊”證明△ABC和△DEF全等;
(3)以點(diǎn)C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與AB相交于點(diǎn)D，E與B重合，F(xiàn)與C重合，得到△DEF與△ABC不全等;
(4)根據(jù)三種情況結(jié)論，∠B不小于∠A即可.
【解答】(1)解：HL;
(2)證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于H，
∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是鈍角，
∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
，
∴△CBG≌△FEH(AAS)，
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(AAS);
(3)解：如圖，△DEF和△ABC不全等;
(4)解：若∠B≥∠A，則△ABC≌△DEF.
故答案為：(1)HL;(4)∠B≥∠A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，閱讀量較大，審題要認(rèn)真仔細(xì).
25.問(wèn)題背景：
如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn).且∠EAF=60°.探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系.
小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是 EF=BE+DF ;
探索延伸：
如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°.E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF= ∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由;
實(shí)際應(yīng)用：
如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn).1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】壓軸題;探究型.
【分析】問(wèn)題背景：根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等解答;
探索延伸：延長(zhǎng)FD到G，使DG=BE，連接AG，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“邊角邊”證明△AEF和△GAF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=GF，然后求解即可;
實(shí)際應(yīng)用：連接EF，延長(zhǎng)AE、BF相交于點(diǎn)C，然后求出∠EOF= ∠AOB，判斷出符合探索延伸的條件，再根據(jù)探索延伸的結(jié)論解答即可.
【解答】解：?jiǎn)栴}背景：EF=BE+DF;
探索延伸：EF=BE+DF仍然成立.
證明如下：如圖，延長(zhǎng)FD到G，使DG=BE，連接AG，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF= ∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△GAF(SAS)，
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF;
實(shí)際應(yīng)用：如圖，連接EF，延長(zhǎng)AE、BF相交于點(diǎn)C，
∵∠AOB=30°+90°+(90°﹣70°)=140°，
∠EOF=70°，
∴∠EOF= ∠AOB，
又∵OA=OB，
∠OAC+∠OBC=(90°﹣30°)+(70°+50°)=180°，
∴符合探索延伸中的條件，
∴結(jié)論EF=AE+BF成立，
即EF=1.5×(60+80)=210海里.
答：此時(shí)兩艦艇之間的距離是210海里.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，讀懂問(wèn)題背景的求解思路，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并兩次證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).
26.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC與BD相交于O點(diǎn)，OC=OA，若E是CD上任意一點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F，連接DF.
(1)證明：△CBF≌△CDF;
(2)若AC=2 ，BD=2，求四邊形ABCD的周長(zhǎng);
(3)請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得∠EFD=∠BAD，并予以證明.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);勾股定理;菱形的判定與性質(zhì).
【專題】幾何綜合題;開(kāi)放型.
【分析】(1)首先利用SSS定理證明△ABC≌△ADC可得∠BCA=∠DCA即可證明△CBF≌△CDF.
(2)由△ABC≌△ADC可知，△ABC與△ADC是軸對(duì)稱圖形，得出OB=OD，∠COB=∠COD=90°，因?yàn)镺C=OA，所以AC與BD互相垂直平分，即可證得四邊形ABCD是菱形，然后根據(jù)勾股定理全等AB長(zhǎng)，進(jìn)而求得四邊形的面積.
(3)首先證明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根據(jù)BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，進(jìn)而得到∠EFD=∠BCD=∠BAD.
【解答】(1)證明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BCA=∠DCA，
在△CBF和△CDF中，
，
∴△CBF≌△CDF(SAS)，
(2)解：∵△ABC≌△ADC，
∴△ABC和△ADC是軸對(duì)稱圖形，
∴OB=OD，BD⊥AC，
∵OA=OC，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，
∵AC=2 ，BD=2，
∴OA= ，OB=1，
∴AB= = =2，
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)=4AB=4×2=8.
(3)當(dāng)EB⊥CD時(shí)，即E為過(guò)B且和CD垂直時(shí)垂線的垂足，∠EFD=∠BCD，
理由：∵四邊形ABCD為菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，
∵△BCF≌△DCF，
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，
∴∠EFD=∠BAD.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.
27.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E、B、D、F在同一直線上，且BE=DF.求證：AE=CF.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得AB=CD，AB∥CD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ABD=∠CDB，然后求出∠ABE=∠CDF，再利用“邊角邊”證明△ABE和△CDF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可.
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴180°﹣∠ABD=180°﹣∠CDB，
即∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)與三角形全等的判定方法求出全等的條件是解題的關(guān)鍵.
28.(1)如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G，使DG=BE，連結(jié)EF，AG.求證：EF=FG.
(2)如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì).
【專題】證明題;壓軸題.
【分析】(1)證△ADG≌△ABE，△FAE≌△FAG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出即可;
(2)過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE=BM.連接AE、EN.通過(guò)證明△ABM≌△ACE(SAS)推知全等三角形的對(duì)應(yīng)邊AM=AE、對(duì)應(yīng)角∠BAM=∠CAE;然后由等腰直角三角形的性質(zhì)和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN(SAS)，故全等三角形的對(duì)應(yīng)邊MN=EN;最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2.
【解答】(1)證明：在正方形ABCD中，
∠ABE=∠ADG，AD=AB，
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∴∠EAG=90°，
在△FAE和△GAF中，
，
∴△FAE≌△GAF(SAS)，
∴EF=FG;
(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE=BM.連接AE、EN.
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°.
∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°.
在△ABM和△ACE中，
∴△ABM≌△ACE(SAS).
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE.
∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°.
于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°.
在△MAN和△EAN中，
∴△MAN≌△EAN(SAS).
∴MN=EN.
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2.
∴MN2=BM2+NC2.
∵BM=1，CN=3，
∴MN2=12+32，
∴MN=
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用.
29.(2014•重慶)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接CF，且∠ACF=∠CBG.求證：
(1)AF=CG;
(2)CF=2DE.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形.
【專題】證明題.
【分析】(1)要證AF=CG，只需證明△AFC≌△CBG即可.
(2)延長(zhǎng)CG交AB于H，則CH⊥AB，H平分AB，繼而證得CH∥AD，得出DG=BG和△ADE與△CGE全等，從而證得CF=2DE.
【解答】證明：(1)∵∠ACB=90°，CG平分∠ACB，
∴∠ACG=∠BCG=45°，
又∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAF=∠CBF=45°，
∴∠CAF=∠BCG，
在△AFC與△CGB中，
，
∴△AFC≌△CBG(ASA)，
∴AF=CG;
(2)延長(zhǎng)CG交AB于H，
∵CG平分∠ACB，AC=BC，
∴CH⊥AB，CH平分AB，
∵AD⊥AB，
∴AD∥CG，
∴∠D=∠EGC，
在△ADE與△CGE中，
，
∴△ADE≌△CGE(AAS)，
∴DE=GE，
即DG=2DE，
∵AD∥CG，CH平分AB，
∴DG=BG，
∵△AFC≌△CBG，
∴CF=BG，
∴CF=2DE.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)，三角形全等是解本題的關(guān)鍵.
30.如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不動(dòng)，△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BE、CD，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，連接AF.
(1)如圖①，當(dāng)∠BAE=90°時(shí)，求證：CD=2AF;
(2)當(dāng)∠BAE≠90°時(shí)，(1)的結(jié)論是否成立?請(qǐng)結(jié)合圖②說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì);三角形中位線定理;旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
【專題】幾何綜合題.
【分析】(1)因?yàn)锳F是直角三角形ABE的中線，所以BE=2AF，然后通過(guò)△ABE≌△ACD即可求得.
(2)延長(zhǎng)EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，證出△ABH≌△ACD從而證得BH=CD，然后根據(jù)三角形的中位線等于底邊的一半，求得BH=2AF，即可求得.
【解答】(1)證明：如圖①，
∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，
∴∠DAC=90°，
在△ABE與△ACD中
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴CD=BE，
∵在Rt△ABE中，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，
∴BE=2AF，
∴CD=2AF.
(2)成立，
證明：如圖②，延長(zhǎng)EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
∴∠EAB+∠DAC=180°，
∵∠EAB+∠BAH=180°，
∴∠DAC=∠BAH，
在△ABH與△ACD中，
∴△ABH≌△ACD(SAS)
∴BH=DC，
∵AD=AE，AH=AD，
∴AE=AH，
∵EF=FB，
∴BH=2AF，
∴CD=2AF.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)等.作出正確的輔助線是解題關(guān)鍵
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