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數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)期末測(cè)試題

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  八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末考試將至,大家復(fù)習(xí)好了嗎?小編整理了關(guān)于八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)的期末測(cè)試題,希望對(duì)大家有幫助!

  數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)期末測(cè)試題目

  一、選擇題(本題共10小題,每小題3分,共30分)

  1.下列計(jì)算正確的是(  )

  A.(a4)3=a7 B.3﹣2=﹣32 C.(2ab)3=6a3b3 D.﹣a5•a5=﹣a10

  2.分式 的值為零,則x的值為(  )

  A.3 B.﹣3 C.±3 D.任意實(shí)數(shù)

  3.某種紅外線遙控器發(fā)出的紅外線波長(zhǎng)為0.000 000 094m,用科學(xué)記數(shù)法表示這個(gè)數(shù)據(jù)為(  )

  A.9.4×10﹣7m B.0.94×10﹣9m C.9.4×10﹣8m D.0.94×10﹣8m

  4.下列各式中,從左到右的變形是因式分解的是(  )

  A.3x+3y﹣5=3(x+y)﹣5 B.(x+1)(x﹣1)=x2﹣1

  C.4x2+4x=4x(x+1) D.6x7=3x2•2x5

  5.如果 有意義,則x的取值范圍是(  )

  A.x≤2 B.x≥2 C.x≤2且x≠﹣3 D.x≥2且x≠3

  6.如圖,在折紙活動(dòng)中,小明制作了一張△ABC紙片,點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC上,將△ABC沿著DE折疊壓平,A與A′重合,若∠A=75°,則∠1+∠2=(  )

  A.150° B.210° C.105° D.75°

  7.計(jì)算(x2﹣3x+n)(x2+mx+8)的結(jié)果中不含x2和x3的項(xiàng),則m,n的值為(  )

  A.m=3,n=1 B.m=0,n=0 C.m=﹣3,n=﹣9 D.m=﹣3,n=8

  8.用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的示意圖如下,則說明∠A′O′B′=∠AOB的依據(jù)是(  )

  A.(S.S.S.) B.(S.A.S.) C.(A.S.A.) D.(A.A.S.)

  9.如圖,將完全相同的四個(gè)矩形紙片拼成一個(gè)正方形,則可得出一個(gè)等式為(  )

  A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2

  C.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b) D.(a+b)2=(a﹣b)2+4ab

  10.古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”,而把1,4,9,16…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”.從圖中可以發(fā)現(xiàn),任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和.下列等式中,符合這一規(guī)律的是(  )

  A.13=3+10 B.25=9+16 C.36=15+21 D.49=18+31

  二、填空題(本題共5小題,每小題3分,共15分)

  11.已知x2+16x+k是完全平方式,則常數(shù)k等于      .

  12.分解因式:x3﹣4x2y+4xy2=      .

  13.若分式方程:2+ = 無解,則k=      .

  14.已知x=2﹣ , ,則x2﹣y2=      .

  15.己知正多邊形的每個(gè)外角都是45°,則從這個(gè)正多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),共可以作      條對(duì)角線.

  三、解答題(解答應(yīng)寫出必要的計(jì)算過程、推演步驟或文字說明)

  16.計(jì)算:

  (1)( )﹣2﹣( )2015×( )2015+20160

  (2)( + )﹣( ﹣ )

  17.(1)解方程: ﹣ =﹣1

  (2)先化簡(jiǎn),再求值:( + )÷ ,其中m=9.

  18.已知a,b,c是△ABC的三邊,且滿足關(guān)系式a2+c2=2ab+2bc﹣2b2,試判斷△ABC的形狀.

  19.已知:如圖,線段AB和射線BM交于點(diǎn)B.

  (1)利用尺規(guī)完成以下作圖,并保留作圖痕跡.(不要求寫作法)

  ①在射線BM上求作一點(diǎn)C,使AC=AB;

  ②在線段AB上求作一點(diǎn)D,使點(diǎn)D到BC,AC的距離相等;

  (2)在(1)所作的圖形中,若∠ABM=72°,則圖中與BC相等的線段是      .

  20.仔細(xì)閱讀下面例題,解答問題.

  例題:已知二次三項(xiàng)式x2﹣4x+m有一個(gè)因式是(x+3),求另一個(gè)因式以及m的值.

  解:設(shè)另一個(gè)因式為(x+n),得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)

  則x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n

  ∴n+3=﹣4,3n=m

  解得:n=﹣7,m=﹣21

  ∴另一個(gè)因式為(x﹣7),m的值為﹣21

  問題:仿照以上方法解答下面問題:

  已知二次三項(xiàng)式2x2﹣5x+k有一個(gè)因式是(2x﹣3),求另一個(gè)因式以及k的值.

  21.“母親節(jié)”前夕,某商店根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,用3000元購進(jìn)第一批盒裝花,上市后很快售完,接著又用5000元購進(jìn)第二批這種盒裝花.已知第二批所購花的盒數(shù)是第一批所購花盒數(shù)的2倍,且每盒花的進(jìn)價(jià)比第一批的進(jìn)價(jià)少5元.求第一批盒裝花每盒的進(jìn)價(jià)是多少元?

  22.如圖1,點(diǎn)P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)(端點(diǎn)除外),點(diǎn)P從頂點(diǎn)A、點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),且它們的運(yùn)動(dòng)速度相同,連接AQ、CP交于點(diǎn)M.

  (1)求證:△ABQ≌△CAP;

  (2)當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),∠QMC變化嗎?若變化,請(qǐng)說明理由;若不變,求出它的度數(shù).

  (3)如圖2,若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng),直線AQ、CP交點(diǎn)為M,則∠QMC變化嗎?若變化,請(qǐng)說明理由;若不變,則求出它的度數(shù).

  數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)期末測(cè)試題參考答案

  一、選擇題(本題共10小題,每小題3分,共30分)

  1.下列計(jì)算正確的是(  )

  A.(a4)3=a7 B.3﹣2=﹣32 C.(2ab)3=6a3b3 D.﹣a5•a5=﹣a10

  【考點(diǎn)】?jī)绲某朔脚c積的乘方;同底數(shù)冪的乘法;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪.

  【分析】根據(jù)冪的乘方法則:底數(shù)不變,指數(shù)相乘可得(a4)3=a12;根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪:a﹣p= (a≠0,p為正整數(shù))可得3﹣2= ;根據(jù)積的乘方法則:把每一個(gè)因式分別乘方,再把所得的冪相乘可得(2ab)3=8a3b3,根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則:同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加可得﹣a5•a5=﹣a10.

  【解答】解:A、(a4)3=a12,故原題計(jì)算錯(cuò)誤;

  B、3﹣2= ,故原題計(jì)算錯(cuò)誤;

  C、(2ab)3=8a3b3,故原題計(jì)算錯(cuò)誤;

  D、﹣a5•a5=﹣a10,故原題計(jì)算正確;

  故選:D.

  【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了冪的乘方、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、積的乘方、同底數(shù)冪的乘法,關(guān)鍵是掌握計(jì)算法則.

  2.分式 的值為零,則x的值為(  )

  A.3 B.﹣3 C.±3 D.任意實(shí)數(shù)

  【考點(diǎn)】分式的值為零的條件.

  【分析】分式的值為零:分子等于零,且分母不等于零.

  【解答】解:依題意,得

  |x|﹣3=0且x+3≠0,

  解得,x=3.

  故選:A.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的值為零的條件.若分式的值為零,需同時(shí)具備兩個(gè)條件:(1)分子為0;(2)分母不為0.這兩個(gè)條件缺一不可.

  3.某種紅外線遙控器發(fā)出的紅外線波長(zhǎng)為0.000 000 094m,用科學(xué)記數(shù)法表示這個(gè)數(shù)據(jù)為(  )

  A.9.4×10﹣7m B.0.94×10﹣9m C.9.4×10﹣8m D.0.94×10﹣8m

  【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù).

  【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示,一般形式為a×10﹣n,與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪,指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.

  【解答】解:0.000 000 094=9.4×10﹣8.

  故選:C.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù),一般形式為a×10﹣n,其中1≤|a|<10,n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.

  4.下列各式中,從左到右的變形是因式分解的是(  )

  A.3x+3y﹣5=3(x+y)﹣5 B.(x+1)(x﹣1)=x2﹣1

  C.4x2+4x=4x(x+1) D.6x7=3x2•2x5

  【考點(diǎn)】因式分解的意義.

  【分析】根據(jù)把多項(xiàng)式寫出幾個(gè)整式積的形式叫做因式分解對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.

  【解答】解:A、右邊不是整式積的形式,不是因式分解,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

  B、是整式的乘法,不是因式分解,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

  C、4x2+4x=4x(x+1),是因式分解,故本選項(xiàng)正確;

  D、6x7=3x2•2x5,不是因式分解,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

  故選C.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的意義,熟記因式分解的定義是解題的關(guān)鍵.

  5.如果 有意義,則x的取值范圍是(  )

  A.x≤2 B.x≥2 C.x≤2且x≠﹣3 D.x≥2且x≠3

  【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件;分式有意義的條件.

  【分析】先根據(jù)分式及二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式組,求出x的取值范圍即可.

  【解答】解:∵ 有意義,

  ∴ ,

  解得x≤﹣2且x≠﹣3.

  故選C.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式有意義的條件,熟知二次根式具有非負(fù)性是解答此題的關(guān)鍵.

  6.如圖,在折紙活動(dòng)中,小明制作了一張△ABC紙片,點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC上,將△ABC沿著DE折疊壓平,A與A′重合,若∠A=75°,則∠1+∠2=(  )

  A.150° B.210° C.105° D.75°

  【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理;翻折變換(折疊問題).

  【分析】先根據(jù)圖形翻折變化的性質(zhì)得出△ADE≌△A′DE,∠AED=∠A′ED,∠ADE=∠A′DE,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度數(shù),然后根據(jù)平角的性質(zhì)即可求出答案.

  【解答】解:∵△A′DE是△ABC翻折變換而成,

  ∴∠AED=∠A′ED,∠ADE=∠A′DE,∠A=∠A′=75°,

  ∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°,

  ∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°.

  故選A.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì),即折疊是一種對(duì)稱變換,它屬于軸對(duì)稱,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.

  7.計(jì)算(x2﹣3x+n)(x2+mx+8)的結(jié)果中不含x2和x3的項(xiàng),則m,n的值為(  )

  A.m=3,n=1 B.m=0,n=0 C.m=﹣3,n=﹣9 D.m=﹣3,n=8

  【考點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式.

  【分析】本題需先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算,再根據(jù)不含x2和x3的項(xiàng),即可求出答案.

  【解答】解:(x2﹣3x+n)(x2+mx+8)

  =x4+mx3+8x2﹣3x3﹣3mx2﹣24x+nx2+nmx+8n

  =x4+(m﹣3)x3+(8﹣3m+n)x2﹣24x+8n,

  ∵不含x2和x3的項(xiàng),

  ∴m﹣3=0,

  ∴m=3.

  ∴8﹣3m+n=0,

  ∴n=1.

  故選A.

  【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式,在解題時(shí)要根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是本題的關(guān)鍵.

  8.用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的示意圖如下,則說明∠A′O′B′=∠AOB的依據(jù)是(  )

  A.(S.S.S.) B.(S.A.S.) C.(A.S.A.) D.(A.A.S.)

  【考點(diǎn)】全等三角形的判定.

  【專題】作圖題.

  【分析】我們可以通過其作圖的步驟來進(jìn)行分析,作圖時(shí)滿足了三條邊對(duì)應(yīng)相等,于是我們可以判定是運(yùn)用SSS,答案可得.

  【解答】解:作圖的步驟:

  ①以O(shè)為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫弧,分別交OA、OB于點(diǎn)C、D;

 ?、谌我庾饕稽c(diǎn)O′,作射線O′A′,以O(shè)′為圓心,OC長(zhǎng)為半徑畫弧,交O′A′于點(diǎn)C′;

 ?、垡訡′為圓心,CD長(zhǎng)為半徑畫弧,交前弧于點(diǎn)D′;

 ?、苓^點(diǎn)D′作射線O′B′.

  所以∠A′O′B′就是與∠AOB相等的角;

  作圖完畢.

  在△OCD與△O′C′D′,

  ,

  ∴△OCD≌△O′C′D′(SSS),

  ∴∠A′O′B′=∠AOB,

  顯然運(yùn)用的判定方法是SSS.

  故選:A.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì);由全等得到角相等是用的全等三角形的性質(zhì),熟練掌握三角形全等的性質(zhì)是正確解答本題的關(guān)鍵.

  9.如圖,將完全相同的四個(gè)矩形紙片拼成一個(gè)正方形,則可得出一個(gè)等式為(  )

  A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2

  C.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b) D.(a+b)2=(a﹣b)2+4ab

  【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景.

  【分析】我們通過觀察可看出大正方形的面積等于小正方形的面積加上4個(gè)長(zhǎng)方形的面積,從而得出結(jié)論.

  【解答】解:(a+b)2=(a﹣b)2+4ab.

  故選D.

  【點(diǎn)評(píng)】認(rèn)真觀察,熟練掌握長(zhǎng)方形、正方形、組合圖形的面積計(jì)算方法是正確解題的關(guān)鍵.

  10.古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”,而把1,4,9,16…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”.從圖中可以發(fā)現(xiàn),任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和.下列等式中,符合這一規(guī)律的是(  )

  A.13=3+10 B.25=9+16 C.36=15+21 D.49=18+31

  【考點(diǎn)】規(guī)律型:圖形的變化類.

  【專題】壓軸題.

  【分析】本題考查探究、歸納的數(shù)學(xué)思想方法.題中明確指出:任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和.由于“正方形數(shù)”為兩個(gè)“三角形數(shù)”之和,正方形數(shù)可以用代數(shù)式表示為:(n+1)2,兩個(gè)三角形數(shù)分別表示為 n(n+1)和 (n+1)(n+2),所以由正方形數(shù)可以推得n的值,然后求得三角形數(shù)的值.

  【解答】解:顯然選項(xiàng)A中13不是“正方形數(shù)”;選項(xiàng)B、D中等式右側(cè)并不是兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和.

  故選:C.

  【點(diǎn)評(píng)】本題是一道找規(guī)律的題目,這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn).對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化,是按照什么規(guī)律變化的.

  二、填空題(本題共5小題,每小題3分,共15分)

  11.已知x2+16x+k是完全平方式,則常數(shù)k等于 64 .

  【考點(diǎn)】完全平方式.

  【專題】計(jì)算題.

  【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可得到k的值.

  【解答】解:∵x2+16x+k是完全平方式,

  ∴k=64.

  故答案為:64

  【點(diǎn)評(píng)】此題考查了完全平方式,熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

  12.分解因式:x3﹣4x2y+4xy2= x(x﹣2y)2 .

  【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.

  【專題】因式分解.

  【分析】先提取公因式x,然后利用完全平方差公式進(jìn)行二次分解即可.

  【解答】解:x3﹣4x2y+4xy2=x(x2﹣2xy+4y2)=x(x﹣2y)2.

  故答案是:x(x﹣2y)2.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用完全平方公式進(jìn)行二次分解,注意分解要徹底.

  13.若分式方程:2+ = 無解,則k= 0 .

  【考點(diǎn)】分式方程的解.

  【分析】分式方程無解,即化成整式方程時(shí)無解,或者求得的x能令最簡(jiǎn)公分母為0,據(jù)此進(jìn)行解答.

  【解答】解:方程兩邊都乘x﹣1得,2(x﹣1)+1+k=1,

  ∵分式方程無解,

  ∴x=1,

  當(dāng)x=1時(shí),k=0,

  故答案為k=0.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的解,分式方程無解分兩種情況:整式方程本身無解;分式方程產(chǎn)生增根.

  14.已知x=2﹣ , ,則x2﹣y2= ﹣8  .

  【考點(diǎn)】二次根式的化簡(jiǎn)求值;平方差公式.

  【分析】求出x+y,x﹣y的值,分解因式后代入求出即可.

  【解答】解:∵x=2﹣ , ,

  ∴x+y=4,x﹣y=﹣2 ,

  ∴x2﹣y2=(x+y)(x﹣y)=4×(﹣2 )=﹣8 ,

  故答案為:﹣8 .

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算和平方差公式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的計(jì)算能力.

  15.己知正多邊形的每個(gè)外角都是45°,則從這個(gè)正多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),共可以作 5 條對(duì)角線.

  【考點(diǎn)】多邊形的對(duì)角線;多邊形內(nèi)角與外角.

  【分析】利用多邊形外角和除以外角的度數(shù)可得正多邊形的邊數(shù),再利用邊數(shù)減3可得答案.

  【解答】解:正多邊形的邊數(shù):360÷45=8,

  從這個(gè)正多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),共可以作對(duì)角線的條數(shù)為:8﹣3=5,

  故答案為:5.

  【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了多邊形的對(duì)角線和外角,關(guān)鍵是掌握n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出(n﹣3)條對(duì)角線.

  三、解答題(解答應(yīng)寫出必要的計(jì)算過程、推演步驟或文字說明)

  16.計(jì)算:

  (1)( )﹣2﹣( )2015×( )2015+20160

  (2)( + )﹣( ﹣ )

  【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算;零指數(shù)冪;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪.

  【專題】計(jì)算題.

  【分析】(1)根據(jù)零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義和積的乘方得到原式=4﹣( × )2015+1,然后進(jìn)行乘法運(yùn)算后合并即可;

  (2)先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式,然后合并即可.

  【解答】解:(1)原式=4﹣( × )2015+1

  =4﹣1+1

  =4;

  (2)原式=3 +3 ﹣2 +5

  =8 + .

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的計(jì)算:先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式,再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算,然后合并同類二次根式.也考查了零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪.在二次根式的混合運(yùn)算中,如能結(jié)合題目特點(diǎn),靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì),選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑,往往能事半功倍.

  17.(1)解方程: ﹣ =﹣1

  (2)先化簡(jiǎn),再求值:( + )÷ ,其中m=9.

  【考點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值;解分式方程.

  【分析】(1)先把分式方程化為整式方程求出x的值,再代入最減公分母進(jìn)行檢驗(yàn)即可;

  (2)先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn),再把m的值代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可.

  【解答】解:(1)去分母得,4﹣(x+1)2=﹣(x2﹣1)

  去括號(hào)得,4﹣x2﹣1﹣2x=﹣x2+2x﹣1,

  移項(xiàng),合并同類項(xiàng)得,﹣4x=﹣4,

  系數(shù)化為1得,x=1.

  經(jīng)檢驗(yàn),x=1是原分式方程的增根.

  (2)原式= •

  = •

  = ,

  當(dāng)m=9時(shí),原式= = = .

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值,熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵.

  18.已知a,b,c是△ABC的三邊,且滿足關(guān)系式a2+c2=2ab+2bc﹣2b2,試判斷△ABC的形狀.

  【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用.

  【分析】先把原式化為完全平方的形式,再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解.

  【解答】解:∵a2+c2=2ab+2bc﹣2b2,

  ∴a2+c2﹣2ab﹣2bc+2b2=0,

  a2+b2﹣2ab+c2﹣2bc+b2=0,

  即(a﹣b)2+(b﹣c)2=0,

  ∴a﹣b=0且b﹣c=0,即a=b且b=c,

  ∴a=b=c.

  故△ABC是等邊三角形.

  【點(diǎn)評(píng)】此題考查因式分解的實(shí)際運(yùn)用以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì),利用完全平方公式因式分解是解決問題的關(guān)鍵.

  19.已知:如圖,線段AB和射線BM交于點(diǎn)B.

  (1)利用尺規(guī)完成以下作圖,并保留作圖痕跡.(不要求寫作法)

 ?、僭谏渚€BM上求作一點(diǎn)C,使AC=AB;

  ②在線段AB上求作一點(diǎn)D,使點(diǎn)D到BC,AC的距離相等;

  (2)在(1)所作的圖形中,若∠ABM=72°,則圖中與BC相等的線段是 DC,AD .

  【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖.

  【分析】(1)①以A為圓心AB長(zhǎng)為半徑畫弧,進(jìn)而得出C點(diǎn)位置;

  ②利用角平分線的作法得出即可;

  (2)利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出即可.

  【解答】解:(1)①如圖所示:AC=AB;

 ?、贒點(diǎn)即為所求;

  (2)∵∠ABM=72°,AB=AC,

  ∴∠ACB=72°,

  ∵∠ACD=∠DCB,

  ∴∠A=∠ACD=∠BCD=36°,

  ∴圖中與BC相等的線段是:DC,AD.

  故答案為:DC,AD.

  【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了復(fù)雜作圖,正確利用角平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

  20.仔細(xì)閱讀下面例題,解答問題.

  例題:已知二次三項(xiàng)式x2﹣4x+m有一個(gè)因式是(x+3),求另一個(gè)因式以及m的值.

  解:設(shè)另一個(gè)因式為(x+n),得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)

  則x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n

  ∴n+3=﹣4,3n=m

  解得:n=﹣7,m=﹣21

  ∴另一個(gè)因式為(x﹣7),m的值為﹣21

  問題:仿照以上方法解答下面問題:

  已知二次三項(xiàng)式2x2﹣5x+k有一個(gè)因式是(2x﹣3),求另一個(gè)因式以及k的值.

  【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用.

  【專題】閱讀型.

  【分析】所求的式子2x2﹣5x+k的二次項(xiàng)系數(shù)是2,因式是(2x﹣3)的一次項(xiàng)系數(shù)是2,則另一個(gè)因式的一次項(xiàng)系數(shù)一定是1,利用待定系數(shù)法,就可以求出另一個(gè)因式.

  【解答】解:設(shè)另一個(gè)因式為(x+a),得

  2x2﹣5x+k=(2x﹣3)(x+a)

  則2x2﹣5x+k=2x2+(2a﹣3)x﹣3a,

  ,

  解得:a=﹣1,k=3.

  故另一個(gè)因式為(x﹣1),k的值為3.

  【點(diǎn)評(píng)】此題考查因式分解的實(shí)際運(yùn)用,正確讀懂例題,理解如何利用待定系數(shù)法求解是解本題的關(guān)鍵.

  21.“母親節(jié)”前夕,某商店根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,用3000元購進(jìn)第一批盒裝花,上市后很快售完,接著又用5000元購進(jìn)第二批這種盒裝花.已知第二批所購花的盒數(shù)是第一批所購花盒數(shù)的2倍,且每盒花的進(jìn)價(jià)比第一批的進(jìn)價(jià)少5元.求第一批盒裝花每盒的進(jìn)價(jià)是多少元?

  【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用.

  【專題】應(yīng)用題.

  【分析】設(shè)第一批盒裝花的進(jìn)價(jià)是x元/盒,則第一批進(jìn)的數(shù)量是: ,第二批進(jìn)的數(shù)量是: ,再根據(jù)等量關(guān)系:第二批進(jìn)的數(shù)量=第一批進(jìn)的數(shù)量×2可得方程.

  【解答】解:設(shè)第一批盒裝花的進(jìn)價(jià)是x元/盒,則

  2× = ,

  解得 x=30

  經(jīng)檢驗(yàn),x=30是原方程的根.

  答:第一批盒裝花每盒的進(jìn)價(jià)是30元.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用.注意,分式方程需要驗(yàn)根,這是易錯(cuò)的地方.

  22.如圖1,點(diǎn)P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)(端點(diǎn)除外),點(diǎn)P從頂點(diǎn)A、點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),且它們的運(yùn)動(dòng)速度相同,連接AQ、CP交于點(diǎn)M.

  (1)求證:△ABQ≌△CAP;

  (2)當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),∠QMC變化嗎?若變化,請(qǐng)說明理由;若不變,求出它的度數(shù).

  (3)如圖2,若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng),直線AQ、CP交點(diǎn)為M,則∠QMC變化嗎?若變化,請(qǐng)說明理由;若不變,則求出它的度數(shù).

  【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).

  【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),利用SAS證明△ABQ≌△CAP;

  (2)由△ABQ≌△CAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=∠ACP,從而得到∠QMC=60°;

  (3)由△ABQ≌△CAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=∠ACP,從而得到∠QMC=120°.

  【解答】(1)證明:∵△ABC是等邊三角形

  ∴∠ABQ=∠CAP,AB=CA,

  又∵點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)速度相同,

  ∴AP=BQ,

  在△ABQ與△CAP中,

  ∵ ,

  ∴△ABQ≌△CAP(SAS);

  (2)解:點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)的過程中,∠QMC不變.

  理由:∵△ABQ≌△CAP,

  ∴∠BAQ=∠ACP,

  ∵∠QMC=∠ACP+∠MAC,

  ∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°…

  (3)解:點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),∠QMC不變.

  理由:∵△ABQ≌△CAP,

  ∴∠BAQ=∠ACP,

  ∵∠QMC=∠BAQ+∠APM,

  ∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°.

  【點(diǎn)評(píng)】此題是一個(gè)綜合性題目,主要考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí).


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