平行線的定義是什么
平行線的定義是什么
幾何中,在同一平面內,不相交(也不重合)的兩條直線叫做平行線(parallel lines)。平行線的定義是什么?以下是學習啦小編分享給大家的關于平行線的定義,一起來看看吧!
平行線的定義
在同一平面內,不相交的兩條直線叫做平行線。
平行線一定要在同一平面內定義,不適用于立體幾何,比如異面直線,不相交,也不平行。
歐氏幾何中平行線的性質和判定
平行線的性質1.經過直線外一點,能且只能畫一條直線與已知直線平行。
2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等,內錯角相等,同旁內角互補。
3.兩條直線平行于第三條直線時,兩條直線平行。
4.平行線分三角形對應邊成比例。
這幾條命題依賴于歐氏幾何的第五公設(平行公理),所以在非歐幾何中不成立。
平行線的判定1.在同一平面內,垂直于同一直線的兩條直線互相平行。
2.同位角相等,兩直線平行。
3.內錯角相等,兩直線平行。
4.同旁內角互補,兩直線平行。
在歐幾里得幾何原本的體系中,這幾條判定法則不依賴于第五公設(平行公理),所以在非歐幾何中也成立。
平行公理
在歐幾里得的幾何原本中,第五公設(又稱為平行公理)是關于平行線的性質。它的陳述是:
“如果兩條直線被第三條直線所截,一側的同旁內角之和大于兩個直角,那么最初的兩條直線相交于這對同旁內角的另一側。”
這條公理的陳述過于冗長。在1795年,蘇格蘭數學家Playfair提出了以下以下公理作為平行公理的代替,現在被人們廣泛的使用。
Playfair's Postulate:在同一平面內,過直線外一點,有且只有一條直線與這條直線互相平行。
平行公理的推論:(平行線的傳遞性) 如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行。可以簡稱為:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。
非歐幾何
參見:非歐幾何
由于平行公理陳述冗長,并且不像歐氏幾何中的其他公理那么顯而易見,人們覺得它更像一個定理,可以從其他公理出發(fā)來證明。經歷了許多錯誤的證明,數學家們意識到這確實應作為一條公理。
更重要的是,在19世紀,數學家高斯,波利亞,羅巴切夫斯基等發(fā)現,如果以平行公理的否定形式來代替平行公理,那么可以演繹出一套和歐氏幾何完全不同,卻沒有內在矛盾的公理體系。這個大膽的觀點最初很難被人接受,但在邏輯上卻沒有任何問題。這個觀點成為人們對空間和幾何的認識的重大轉折點,包括愛因斯坦的廣義相對論,本質上都受到了這種觀點的影響。
平行線定義的拓展
在高等數學中的平行線的定義是相交于無限遠的兩條直線為平行線,因為理論上是沒有絕對的平行的。
在歐氏幾何中,在兩條平行線中做一條直線AB,以直線AB為半徑以逆時針方向做圓,然后以直線AB為半徑以順時針方向再做一個圓,從兩個圓的交點做垂線CD垂直于直線AB,若CD與AB的角的角度是90度,則說明兩條平行線不會相交。
但歐幾里得不敢思考當兩條平行線無限長時的情況.....
于是包括羅素、黎曼在內的科學家假設當兩條平行線無限長時,他們會在無窮遠處相交。(例如:在地球的球面上,就會發(fā)現,相互垂直于赤道的經線會相交于北極點和南極點。)后來,非歐幾何和黎曼空間就誕生了,該成果給了愛因斯坦很大的啟發(fā).
平行線公理就是區(qū)分歐氏幾何與非歐幾何的一個重要區(qū)別。
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