冪函數(shù)的定義是什么
綜合高中函數(shù)模塊中,冪函數(shù)課題既是學(xué)生學(xué)得難點(diǎn),也是教師教的難點(diǎn)。你知道冪函數(shù)的定義是什么嗎?以下是學(xué)習(xí)啦小編分享給大家的關(guān)于冪函數(shù)定義,一起來看看吧!
冪函數(shù)定義
形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù),即以底數(shù)為自變量冪為因變量,指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。
當(dāng)a取非零的有理數(shù)時是比較容易理解的,而對于a取無理數(shù)時,初學(xué)者則不大容易理解了。因此,在初等函數(shù)里,我們不要求掌握指數(shù)為無理數(shù)的問題,只需接受它作為一個已知事實(shí)即可,因?yàn)檫@涉及到實(shí)數(shù)連續(xù)性的極為深刻的知識。
冪函數(shù)特性介紹
對于a的取值為非零有理數(shù),有必要分成幾種情況來討論各自的特性:
首先我們知道如果a=p/q,且p/q為既約分?jǐn)?shù)(即p、q互質(zhì)),q和p都是整數(shù),則x^(p/q)=q次根號下(x的p次方),如果q是奇數(shù),函數(shù)的定義域是R,如果q是偶數(shù),函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當(dāng)指數(shù)a是負(fù)整數(shù)時,設(shè)a=-k,則y=1/(x^k),顯然x≠0,函數(shù)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制來源于兩點(diǎn),一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負(fù)數(shù),那么我們就可以知道:
a小于0時,x不等于0;
a的分母為偶數(shù)時,x不小于0;
a的分母為奇數(shù)時,x取R。
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值域介紹
當(dāng)x為不同的數(shù)值時,冪函數(shù)的值域的不同情況如下:
1.在x大于0時,函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。
2.在x小于0時,則只有同時q為奇數(shù),函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。
而只有a為正數(shù),0才進(jìn)入函數(shù)的值域。
定義域
當(dāng)a為不同的數(shù)值時,冪函數(shù)的定義域的不同情況如下:
1.如果a為負(fù)數(shù),則x肯定不能為0,不過這時函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數(shù),則x不能小于0,這時函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);2.如果同時q為奇數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔? 的所有實(shí)數(shù)。
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