多項(xiàng)式的定義是什么
多項(xiàng)式函數(shù)以其簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)在數(shù)值逼近中起到重要的作用,多項(xiàng)式的定義是什么?以下是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的關(guān)于多項(xiàng)式的定義，歡迎大家前來(lái)閱讀!
多項(xiàng)式的定義
多項(xiàng)式是代數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)概念，是由稱為不定元的變量和稱為系數(shù)的常數(shù)通過(guò)有限次加減法、乘法以及自然數(shù)冪次的乘方運(yùn)算得到的代數(shù)表達(dá)式。例如X2 - 3X + 4就是一個(gè)多項(xiàng)式。多項(xiàng)式是整式的一種。不定元只有一個(gè)的多項(xiàng)式稱為一元多項(xiàng)式;不定元不止一個(gè)的多項(xiàng)式稱為多元多項(xiàng)式。多項(xiàng)式在數(shù)學(xué)的很多分支中乃至許多自然科學(xué)以及工程學(xué)中都有重要作用。
多項(xiàng)式數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)
多項(xiàng)式 polynomial
不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。如：5X+6，6就是常數(shù)項(xiàng)。
比較廣義的定義，1個(gè)或0個(gè)單項(xiàng)式的和也算多項(xiàng)式。按這個(gè)定義，多項(xiàng)式就是整式。實(shí)際上，還沒(méi)有一個(gè)只對(duì)狹義多項(xiàng)式起作用，對(duì)單項(xiàng)式不起作用的定理。0作為多項(xiàng)式時(shí)，次數(shù)為正無(wú)窮大。單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。
多項(xiàng)式幾何特性
多項(xiàng)式是簡(jiǎn)單的連續(xù)函數(shù)，它是平滑的，它的微分也必定是多項(xiàng)式。
泰勒多項(xiàng)式的精神便在于以多項(xiàng)式逼近一個(gè)平滑函數(shù)，此外閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)都可以寫(xiě)成多項(xiàng)式的均勻極限。
多項(xiàng)式定理
基本定理
代數(shù)基本定理是指所有一元 n 次(復(fù)數(shù))多項(xiàng)式都有 n 個(gè)(復(fù)數(shù))根。
高斯引理
兩個(gè)本原多項(xiàng)式的乘積是本原多項(xiàng)式。
應(yīng)用高斯引理可證，如果一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式可以分解為兩個(gè)次數(shù)較低的有理系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，那么它一定可以分解為兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。這個(gè)結(jié)論可用來(lái)判斷有理系數(shù)多項(xiàng)式的不可約性。關(guān)于Q[x]中多項(xiàng)式的不可約性的判斷，還有艾森斯坦判別法：對(duì)于整系數(shù)多項(xiàng)式，如果有一個(gè)素?cái)?shù)p能整除αn-1，αn-2，…，α1，α0，但不能整除αn，且p2不能整除常數(shù)項(xiàng)α0，那么ƒ(x)在Q上是不可約的。由此可知，對(duì)于任一自然數(shù)n，在有理數(shù)域上x(chóng)n-2是不可約的。因而，對(duì)任一自然數(shù)n，都有n次不可約的有理系數(shù)多項(xiàng)式。
分解定理
F[x]中任一個(gè)次數(shù)不小于 1的多項(xiàng)式都可以分解為F上的不可約多項(xiàng)式的乘積，而且除去因式的次序以及常數(shù)因子外，分解的方法是惟一的。
當(dāng)F是復(fù)數(shù)域C時(shí)，根據(jù)代數(shù)基本定理，可證C[x]中不可約多項(xiàng)式都是一次的。因此，每個(gè)復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式都可分解成一次因式的連乘積。
當(dāng)F是實(shí)數(shù)域R時(shí)，由于實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的虛根是成對(duì)出現(xiàn)的，即虛根的共軛數(shù)仍是根，因此R[x]中不可約多項(xiàng)式是一次的或二次的。所以每個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式都可以分解成一些一次和二次的不可約多項(xiàng)式的乘積。實(shí)系數(shù)二次多項(xiàng)式αx2+bx+с不可約的充分必要條件是其判別式b2-4αс<0。
當(dāng)F是有理數(shù)域Q時(shí)，情況復(fù)雜得多。要判斷一個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式是否不可約，就較困難。應(yīng)用本原多項(xiàng)式理論，可把有理系數(shù)多項(xiàng)式的分解問(wèn)題化為整系數(shù)多項(xiàng)式的分解問(wèn)題。一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式如其系數(shù)是互素的，則稱之為本原多項(xiàng)式。每個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式都可表成一個(gè)有理數(shù)及一個(gè)本原多項(xiàng)式的乘積。關(guān)于本原多項(xiàng)式有下述重要性質(zhì)。
多項(xiàng)式運(yùn)算法則
加法與乘法
有限個(gè)單項(xiàng)式之和稱為多元多項(xiàng)式，簡(jiǎn)稱多項(xiàng)式。不同類的單項(xiàng)式之和表示的多項(xiàng)式，其中系數(shù)不為零的單項(xiàng)式的最高次數(shù)，稱為此多項(xiàng)式的次數(shù)。
多項(xiàng)式的加法，是指多項(xiàng)式中同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母保持不變(即合并同類項(xiàng))。多項(xiàng)式的乘法，是指把一個(gè)多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式與另一個(gè)多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式相乘之后合并同類項(xiàng)。
F上x(chóng)1，x2，…，xn的多項(xiàng)式全體所成的集合F[x1，x2，…，xn]，對(duì)于多項(xiàng)式的加法和乘法成為一個(gè)環(huán)，是具有單位元素的整環(huán)。
域上的多元多項(xiàng)式也有因式分解惟一性定理。
帶余除法
若 ƒ(x)和g(x)是F[x]中的兩個(gè)多項(xiàng)式，且 g(x)≠0，則在F[x]中有唯一的多項(xiàng)式 q(x)和r(x)，滿足ƒ(x)=q(x)g(x)+r(x)，其中r(x)的次數(shù)小于g(x)的次數(shù)。此時(shí)q(x) 稱為g(x)除ƒ(x)的商式，r(x)稱為余式。當(dāng)g(x)=x-α時(shí)，則r(x)=ƒ(α)稱為余元，式中的α是F的元素。此時(shí)帶余除法具有形式ƒ(x)=q(x)(x-α)+ƒ(α)，稱為余元定理。g(x)是ƒ(x)的因式的充分必要條件是g(x)除ƒ(x)所得余式等于零。如果g(x)是ƒ(x)的因式，那么也稱g(x) 能整除ƒ(x)，或ƒ(x)能被g(x)整除。特別地，x-α是ƒ(x)的因式的充分必要條件是ƒ(α)=0，這時(shí)稱α是ƒ(x)的一個(gè)根。
如果d(x)既是ƒ(x)的因式，又是g(x)的因式，那么稱d(x)是ƒ(x)與g(x)的一個(gè)公因式。如果d(x)是ƒ(x)與g(x)的一個(gè)公因式，并且ƒ(x)與g(x)的任一個(gè)因式都是d(x)的因式，那么稱d(x)是ƒ(x)與g(x)的一個(gè)最大公因式。如果ƒ(x)=0，那么g(x)就是ƒ(x)與g(x)的一個(gè)最大公因式。當(dāng)ƒ(x)與g(x)全不為零時(shí)，可以應(yīng)用輾轉(zhuǎn)相除法來(lái)求它們的最大公因式。
輾轉(zhuǎn)相除法
已知一元多項(xiàng)式環(huán)F[x] [1]中兩個(gè)不等于零的多項(xiàng)式ƒ(x)與g(x)，用g(x)除ƒ(x)得商式q1(x)、余式r1(x)。若r1(x)=0，則g(x)就是ƒ(x)與g(x)的一個(gè)最大公因式。若 r1(x)≠0，則用 r1(x)除 g(x)得商式q2(x)、余式r2(x)。若r2(x)=0，則r1就是ƒ(x)與g(x)的一個(gè)最大公因式。否則，如此輾轉(zhuǎn)相除下去，余式的次數(shù)不斷降低，經(jīng)有限s次之后，必有余式為零次(即零次多項(xiàng)式)或余式為零(即零多項(xiàng)式)。若最終余式結(jié)果為零次多項(xiàng)式，則原來(lái)f(x)與g(x)互素;若最終余式結(jié)果為零多項(xiàng)式，則原來(lái)f(x)與g(x)的最大公因式是最后一次帶余除法的是除式。
利用輾轉(zhuǎn)相除法的算法，可將ƒ(x)與g(x)的最大公因式rs(x)表成ƒ(x)和g(x)的組合，而組合的系數(shù)是F上的多項(xiàng)式。
如果ƒ(x)與g(x)的最大公因式是零次多項(xiàng)式，那么稱ƒ(x)與g(x)是互素的。最大公因式和互素概念都可以推廣到幾個(gè)多項(xiàng)式的情形。
如果F[x]中的一個(gè)次數(shù)不小于1的多項(xiàng)式ƒ(x)，不能表成 F[x] 中的兩個(gè)次數(shù)較低的多項(xiàng)式的乘積，那么稱ƒ(x)是F上的一個(gè)不可約多項(xiàng)式。
任一多項(xiàng)式都可分解為不可約多項(xiàng)式的乘積。
多項(xiàng)式應(yīng)用
函數(shù)及根
給出多項(xiàng)式 f∈R[x1，...，xn] 以及一個(gè) R-代數(shù) A。對(duì) (a1...an)∈An，我們把 f 中的 xj 都換成 aj，得出一個(gè) A 中的元素，記作 f(a1...an)。如此， f 可看作一個(gè)由 An 到 A 的函數(shù)。
若然 f(a1...an)=0，則 (a1...an) 稱作 f 的根或零點(diǎn)。
例如 f=x^2+1。若然考慮 x 是實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、或矩陣，則 f 會(huì)無(wú)根、有兩個(gè)根、及有無(wú)限個(gè)根!
例如 f=x-y。若然考慮 x 是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)，則 f 的零點(diǎn)集是所有 (x，x) 的集合，是一個(gè)代數(shù)曲線。事實(shí)上所有代數(shù)曲線由此而來(lái)。
另外，若所有系數(shù)為實(shí)數(shù)多項(xiàng)式 P(x)有復(fù)數(shù)根Z，則Z的共軌復(fù)數(shù)也是根。
若P(x)有n個(gè)重疊的根，則 P‘(x) 有n-1個(gè)重疊根。即若 P(x)=(x-a)^nQ(x)，則有 a 是 P’(x)的重疊根且有n-1個(gè)。
插值多項(xiàng)式
在實(shí)際問(wèn)題中，往往通過(guò)實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)得出表示某種規(guī)律的數(shù)量關(guān)系y=F(x)，通常只給出了F(x)在某些點(diǎn)xi上的函數(shù)值yi=F(xi)，j=1，2，…，n+1。即使有時(shí)給出了函數(shù)F(x)的解析表達(dá)式，倘若較為復(fù)雜，也不便于計(jì)算。因此，需要根據(jù)給定點(diǎn) xi 上的函數(shù)值F(xi)，求出一個(gè)既能反映F(x)的特性，又便于計(jì)算的簡(jiǎn)單函數(shù)ƒ(x)來(lái)近似地代替F(x)，此時(shí)ƒ(x)稱為F(x)的插值函數(shù);x1，x2，…，xn+1，稱為插值節(jié)點(diǎn)。求插值函數(shù)的方法，稱為插值法。
多項(xiàng)式是一類簡(jiǎn)單的初等函數(shù)，而且任給兩組數(shù)：b1，b2，…，bn+1和各不相同的 с1，с2，…，сn+1，總有唯一的次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式ƒ(x)滿足ƒ(сi)=bi，i=1，2，…，n+1。因此在實(shí)際應(yīng)用中常常取多項(xiàng)式作為插值函數(shù)。作為插值函數(shù)的多項(xiàng)式，稱為插值多項(xiàng)式。插值多項(xiàng)式在計(jì)算數(shù)學(xué)插值中最常用。
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