導(dǎo)數(shù)的定義_導(dǎo)數(shù)的定義式
導(dǎo)數(shù)的定義_導(dǎo)數(shù)的定義式
導(dǎo)數(shù)是微積分的初步知識(shí),是研究函數(shù),解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具。以下是學(xué)習(xí)啦小編分享給大家的關(guān)于導(dǎo)數(shù)的定義以及導(dǎo)數(shù)的定義式，希望能給大家?guī)?lái)幫助!
導(dǎo)數(shù)的定義：
如果函數(shù)f(x)在(a,b)中每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，則稱(chēng)f(x)在(a,b)上可導(dǎo)，則可建立f(x)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)，記為f'(x)
如果f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)a處的右導(dǎo)數(shù)和端點(diǎn)b處的左導(dǎo)數(shù)都存在，則稱(chēng)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，f'(x)為區(qū)間[a,b]上的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)。
導(dǎo)數(shù)的定義式：
1、應(yīng)用
如果一個(gè)函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間I上有f''(x)(即二階導(dǎo)數(shù))>0恒成立，那么對(duì)于區(qū)間I上的任意x,y，總有：
f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果總有f''(x)<0成立，那么上式的不等號(hào)反向。
2、意義
(1)斜線(xiàn)斜率變化的速度
(2)函數(shù)的凹凸性。
二階導(dǎo)數(shù)是比較理論的、比較抽象的一個(gè)量，它不像一階導(dǎo)數(shù)那樣有明顯的幾何意義，因?yàn)樗硎镜氖且浑A導(dǎo)數(shù)的變化率。在圖形上，它主要表現(xiàn)函數(shù)的凹凸性，直觀的說(shuō)，函數(shù)是向上突起的，還是向下突起的。
幾何的直觀解釋?zhuān)喝绻绻粋€(gè)函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間I上有f''(x)(即二階導(dǎo)數(shù))>0恒成立，那么在區(qū)間I上f(x)的圖象上的任意兩點(diǎn)連出的一條線(xiàn)段，這兩點(diǎn)之間的函數(shù)圖象都在該線(xiàn)段的下方，反之在該線(xiàn)段的上方。
導(dǎo)數(shù)的分類(lèi)：
一、基本函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)
C'=0(C為常數(shù))
(x^n)'=nx^(n-1) (n∈R)
(sinx)'=cosx
(cosx)'=-sinx
(e^x)'=e^x
(a^x)'=(a^x)*lna(a>0且a≠1)
[logax)]' = 1/x*(logae)(a>0且a≠1)
[lnx]'= 1/x
二、和差積商函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)
[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)
[f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)
[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)^2]
三、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)
設(shè) y=u(t) ，t=v(x)，則 y'(x) = u'(t)v'(x) = u'[v(x)] v'(x)
例 ：y = t^2 ，t = sinx ，則y'(x) = 2t * cosx = 2sinx*cosx = sin2x一般定義
設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x。的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處取得增量Δx(點(diǎn)仍在該鄰域內(nèi))時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取得增量Δy;如果Δy與Δx之比當(dāng)Δx→0時(shí)的極限存在，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱(chēng)這個(gè)極限為函數(shù)在點(diǎn)x。處的導(dǎo)數(shù)，記為，即，也可記作f′(x)〡x=x.，或f′(x.)。
若將一點(diǎn)擴(kuò)展成函數(shù)()在其定義域包含的某開(kāi)區(qū)間內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)，那么函數(shù)()在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，這時(shí)對(duì)于內(nèi)每一個(gè)確定的值，都對(duì)應(yīng)著()的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，如此一來(lái)每一個(gè)導(dǎo)數(shù)就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱(chēng)作原函數(shù)()的導(dǎo)函數(shù)，記作：'或者f′(x)。
導(dǎo)函數(shù)的定義表達(dá)式為：
值得注意的是，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)數(shù)，是指函數(shù)()在點(diǎn)0處導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值。但通常也可以說(shuō)導(dǎo)函數(shù)為導(dǎo)數(shù)，其區(qū)別僅在于一個(gè)點(diǎn)還是連續(xù)的點(diǎn)。
幾何意義
1.代表函數(shù)上某一點(diǎn)在該點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率。
如右圖所示，設(shè)0為曲線(xiàn)上的一個(gè)定點(diǎn)，為曲線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。當(dāng)沿曲線(xiàn)逐漸趨向于點(diǎn)0時(shí)，并且割線(xiàn)0的極限位置0存在，則稱(chēng)0為曲線(xiàn)在0處的切線(xiàn)。
若曲線(xiàn)為一函數(shù) = ()的圖像，那么割線(xiàn)0的斜率為：
當(dāng)0處的切線(xiàn)0，即0的極限位置存在時(shí)，此時(shí)，，則0的斜率tanα為：
上式與一般定義中的導(dǎo)數(shù)定義是完全相同，則'(0) = tanα，故導(dǎo)數(shù)的幾何意義即曲線(xiàn) = ()在點(diǎn)0(0,(0))處切線(xiàn)的斜率。
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