高一上冊(cè)數(shù)學(xué)單調(diào)性與最大小值教案
數(shù)學(xué)教師要上好課并取得良好的效果,最關(guān)鍵的步驟就是備好課,其中備好課就是做好教案!為此,下面學(xué)習(xí)啦小編整理了人教版高一上冊(cè)數(shù)學(xué)單調(diào)性與最大小值教案案以供大家閱讀。
人教版高一上冊(cè)數(shù)學(xué)單調(diào)性與最大小值教案
教學(xué)目標(biāo)
1.使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念,初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法.
2.通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的探究,滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法,培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語(yǔ)言表達(dá)能力;通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的證明,提高學(xué)生的推理論證能力.
3.通過(guò)知識(shí)的探究過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣,讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象,從特殊到一般,從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程.
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明.
教學(xué)難點(diǎn):歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性.
教學(xué)方法
教師啟發(fā)講授,學(xué)生 探究學(xué)習(xí).
教學(xué)手段
計(jì)算機(jī)、投影儀.
教學(xué)過(guò)程
創(chuàng)設(shè)情境,引入課題
課前布置任務(wù):
(1)由于某種原因,2008年北京奧運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式時(shí)間由原定的7月25日推遲到8月8日,請(qǐng)查閱資料說(shuō)明做出這個(gè)決定的主要原因.
(2)通過(guò)查閱歷史資料研究北京奧運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式當(dāng)天氣溫變化情況.
課上通過(guò)交流,可以了解到開(kāi)幕式推遲主要是天氣的原因,北京的天氣到8月中旬,平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開(kāi)始下降,比較適宜舉辦大型國(guó)際體育賽事.
下圖是北京市某年8月8日一天24小時(shí)內(nèi)氣溫隨時(shí)間變化的曲線圖.
圖1
引導(dǎo)學(xué)生識(shí)圖,捕捉信息,啟發(fā)學(xué)生思考.
問(wèn)題:觀察圖形,能得到什么信息?
預(yù)案:(1)當(dāng)天的最高溫度、最低溫度以及何時(shí)達(dá)到;
(2)在某時(shí)刻的溫度;
(3)某些時(shí)段溫度升高,某些時(shí)段溫度降低.
在生活中,我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律,了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律,對(duì)我們的生活是很有幫助的.
問(wèn)題:還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎?
預(yù)案:水位高低、燃油價(jià)格、股票價(jià)格等.
歸納:用函數(shù)觀點(diǎn)看,其實(shí)就是隨著自變量的變化,函數(shù)值是變大還是變小.
【設(shè)計(jì)意圖】由生活情境引入新課,激發(fā)興趣.
歸納探索,形成概念
對(duì)于自變量變化時(shí),函數(shù)值是變大還是變小,初中時(shí)同學(xué)們就有了一定的認(rèn)識(shí),但是沒(méi)有嚴(yán)格的定義,今天我們的任務(wù)首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義.
1.借助圖象,直觀感知
問(wèn)題1:分別作出函數(shù)y=x+2,y=-x+2,y=x2,y=1x的圖象,并且觀察自變量變化時(shí),函數(shù)值有什么變化規(guī)律?
圖2
預(yù)案 :(1)函數(shù)y=x+2在整個(gè)定義域內(nèi)y隨x的增大而增大;函數(shù)y=-x+2在整個(gè)定義域內(nèi)y隨x的增大而減小.
(2 )函數(shù)y=x2在[0,+∞)上y隨x的增大而增大,在(-∞,0)上y隨x的增大而減小.
(3)函數(shù)y=1x在(0,+∞)上y隨x的增大而減小,在(-∞,0)上y隨x的增大而減小.
引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類描述(增函數(shù)、減函數(shù)),同時(shí)明確函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的,是函數(shù)的局部性質(zhì).
問(wèn)題2:能不能根據(jù)自己的理解說(shuō)說(shuō)什么是增函數(shù)、減函數(shù)?
預(yù)案:如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大,y也越來(lái)越大,我們說(shuō)函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增函數(shù);如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大,y越來(lái)越小,我們說(shuō)函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為減函數(shù).
教師指出:這種認(rèn)識(shí)是從圖象的角度得到的,是對(duì)函數(shù)單調(diào)性的直觀認(rèn)識(shí).
【設(shè)計(jì)意圖】從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性,完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識(shí).
2.探究規(guī)律,理性認(rèn)識(shí)
問(wèn)題1:下圖是函數(shù)y=x+2x(x>0)的圖象,能說(shuō)出這個(gè)函數(shù)分別在哪個(gè)區(qū)間為增函數(shù)和減函數(shù)嗎?
圖3
學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置.
通過(guò)討論,使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀,但有時(shí)不夠精確,需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究.
【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生體會(huì)到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性.
問(wèn)題2:如何從解析式的角度說(shuō)明f(x)=x2在[0,+∞)為增函數(shù)?
預(yù)案:(1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個(gè)數(shù),例如1和2,因?yàn)?2<22,所以f(x)=x2在[0,+∞)為增函數(shù).
(2)仿(1),取很多組驗(yàn)證均滿足,所以f(x)=x2在[0,+∞)為增函數(shù).
(3)任取x1,x2∈[0,+∞),且x1
所以f(x)=x2在[0,+∞)為增函數(shù).
對(duì)于學(xué)生錯(cuò)誤的回答,引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語(yǔ)言和文字語(yǔ)言進(jìn)行辨析,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的根源在于自變量不可能被窮舉,從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個(gè)自變量x1,x2.
【設(shè)計(jì)意圖】把對(duì)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)由感性上升到理性的高度,完成對(duì)概念的第二次認(rèn)識(shí).事實(shí)上也給出了證明單調(diào)性的方法,為證明單調(diào)性做好了鋪墊.
3.抽象思維,形成概念
問(wèn)題:你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述出增函數(shù)的定義嗎?
師生共同探究,得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義,然后學(xué)生類比得出減函數(shù)的定義.
(1)板書(shū)定義
(2)鞏固概念
判斷題:
?、僖阎猣(x)=1x,因?yàn)閒(-1)
?、谌艉瘮?shù)f(x)滿足f(2)
?、廴艉瘮?shù)f(x)在區(qū)間(1,2]和(2,3)上均為增函數(shù),則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù).
?、芤?yàn)楹瘮?shù)f(x)=1x在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上都是減函數(shù),所以f(x)=1x在(-∞,0)∪(0,+∞)上是減函數(shù).
通過(guò)判斷題,強(qiáng)調(diào)三點(diǎn):
?、賳握{(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的,離開(kāi)了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性.
?、趯?duì)于某個(gè)具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可以是整個(gè)定義域(如一次函數(shù)),可以是定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間(如二次函數(shù)),也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù)).
?、酆瘮?shù)在定義域 內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A,B上都是增(或減)函數(shù),一般不能認(rèn)為函數(shù)在A∪B上是增(或減)函數(shù).
思考:如何說(shuō)明一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)?
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生由特殊到一般,從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義,通過(guò)對(duì)判斷題的辨析,加深學(xué)生對(duì)定義的理解,完成對(duì)概念的第三次認(rèn)識(shí).
掌握證法,適當(dāng)延展
【例】證明函數(shù)f(x)=x+2x在(2,+∞)上是增函數(shù).
1.分析解決問(wèn)題
針對(duì)學(xué)生可能出現(xiàn)的問(wèn)題,組織學(xué)生討論、交流.
證明:任取x1,x2∈(2,+∞),且x1
f(x1)-f(x2)=x1+2x1-x2+2x2求差
=(x1-x2)+2x1-2x2
=(x1-x2)+2(x2-x1)x1x2=(x1-x2)1-2x1x2=(x1-x2)x1x2-2x1x2,變形
∵2
∴x1-x2<0,x1x2>2,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)
∴函數(shù)f(x)=x+2x在(2,+∞)上是增函數(shù).定論
2.歸納解題步驟
引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:設(shè)元、作差、變形、斷號(hào)、定論.
練習(xí):證明函數(shù)f(x)=x在[0,+∞)上是增函數(shù).
問(wèn)題:要證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù),除了用定義來(lái)證,如果可以證得對(duì)任意的x1,x2∈(a,b),且x1≠x2有f(x2)-f(x1)x2-x1>0可以嗎?
引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價(jià)性,讓學(xué)生嘗試用這種等價(jià)形式證明函數(shù)f(x)=x在[0,+∞)上是增函數(shù).
【設(shè)計(jì)意圖】初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟.等價(jià)形式進(jìn)一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法,為用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆.
歸納小結(jié),提高認(rèn)識(shí)
學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會(huì)、收獲,交流學(xué)習(xí)過(guò)程中的體驗(yàn)和感受,師生合作共同完成小結(jié).
1.小結(jié)
(1)概念探究過(guò)程:直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性.
(2)證明方法和步驟:設(shè)元、作差、變形、斷號(hào)、定論.
(3)數(shù)學(xué)思想方法和思維方法:數(shù)形結(jié)合,等價(jià)轉(zhuǎn)化,類比等.
2.作業(yè)
書(shū)面作業(yè):課本習(xí)題1.3 A組第1,2,3題.
課后探究:
(1)證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的x,x+h∈(a,b),且h≠0有f(x+h)-f(x)h>0.
(2)研究函數(shù)y=x+1x(x>0)的單調(diào)性,并結(jié)合描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)的草圖.
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