如何在教學中培養(yǎng)學生的逆向思維能力
內容提要：逆向思維是一種重要的思維方式，掌握了這種思維方式，可以加深對知識的理解，發(fā)展學生的智力。初中數學教學要從概念、定理、公式、法則的教學和解題分析、解題運算中，培養(yǎng)和訓練學生的逆向思維能力，發(fā)展學生的思維品質，提高學生的素質。
關鍵詞：數學教學;逆向思維;培養(yǎng)、訓練。
初中數學新課程標準要求，數學教學要著眼于學生素質的培養(yǎng)，其中“數學思考”能力是四大教學目標之一，是學生數學能力的核心。數學的學習過程不僅僅是知識的接收、存儲和應用過程，更重要的是思維的訓練和發(fā)展過程。然而對于思維問題，從技術層面上有很多的分類方法，通?？梢苑譃槌Ｒ?guī)思維和非常規(guī)思維兩大類。在實際的學習、工作和生活中，圍囿于問題情境和習慣，人們多習慣于常規(guī)思維。數學教學中對非常規(guī)思維的訓練和培養(yǎng)也顯得相對薄弱，沒有形成基本的思維技能和習慣，不利于學生思維能力的培養(yǎng)，不利于學生創(chuàng)造力的發(fā)展。而在非常規(guī)思維中，最基本、最重要的就是逆向思維。下面筆者結合自己數學教學的實踐，淺談一下逆向思維能力的培養(yǎng)，期以拋磚引，和同行們交流。
一、什么是逆向思維?
所謂逆向思維，就是從與常規(guī)思維相反的方向去認識問題，從對立的角度去思考問題，尋求解題途徑，解決問題的一種數學思想方法。利用逆向思維可以加深對概念、定義、定理、公式、法則、性質的正確、深刻的理解和應用，可以形成反思和換位思考的思維素質，利于學生分析思維能力的培養(yǎng)和提高，發(fā)展學生的智力，有效地解決復雜的問題。
二、怎樣培養(yǎng)和訓練學生的逆向思維能力?
初中數學教材中體現逆向思維的材料很多，如概念、定義、定理、公式、法則、運算與逆運算，分析與綜合等，都為逆向思維提供了豐富的素材，因此，對逆向思維的培養(yǎng)要貫穿于課堂教學的全部過程中，讓學生養(yǎng)成面對問題就會自覺進行逆向思維的習慣，具體可以從以下幾個方面進行：
1、在概念、定義、定理、公式、法則的學習中進行逆向思維訓練
在數學概念、定義、定理、公式、法則的學習中，要教學生善于逆向和從反面去理解思考概念、定義、定理的內涵，重視互逆概念的比較，重視公式互逆使用，要形成逆向思考的習慣。
(1)、在概念、定義的應用中培養(yǎng)學生逆向思維
數學中的很多概念都要教學生從正、逆兩方面去思考和理解，如絕對值的概念，“正數的絕對值是它的本身，負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值是零”除了從正向去理解計算，還要教學生逆向去理解，如“計算︱5︱=?︱-5︱=?”,這是從正向去理解計算，“一個數的絕對值等于5，這個數是多少?”這是逆向去理解計算。又如對一元二次方程根的概念的理解，除了正向理解，若x1、x2是方程ax2+bx+c=0的兩根，則ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0;還要從反向理解，若ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0,且x1≠x2,則x1、x2是方程ax2+bx+c=0的兩個根。當我們從正逆兩個方面理解了這個一元二次方程的根的定義后，再來做下面的這個題：
例1、 (1)、若m、n是方程x2-3x+1=0的兩個根，求m2+n2的值。
(2)、若p2-3p+1=0，q2-3q+1=0，求p2+q2的值。
只需正用或逆用定義，結合根與系數的關系便可以迎刃而解了。
初中數學中像這樣必須從正、逆兩方面去思考，才能準確理解把握的定義、概念還有很多，如平方根定義;一次函數中k、b對圖像分布的影響，一元二次函數中a、b、c對圖像開口方向、與x軸、y軸的交點、對稱軸的影響。這里不再一一列舉。
(2)、在定理、推論、法則的應用中培養(yǎng)學生逆向思維
在幾何教材中，有關圖形的性質與判定的定理很多都是互為逆命題的，學生在學習時常常是把握不住題設與結論，導致不能正確的應用定理來說理，教學時要給學生講清學習定理的方法，弄清定理的題設和結論，正確區(qū)分原命題和逆命題，要讓學生知道原命題正確，逆命題不一定正確。逆向思維對于定理的學習很重要，熟練地應用逆向思維能很好的學習定理，能有效地進行逆向思維的訓練。初中數學中這樣的定理有很多如“勾股定理和它的逆定理”、“平行線的性質定理和它的判定定理”、“角平分線性質定理和判定定理”、“線段的中垂線性質定理和判定定理”……尤其是在同一問題中反復應用正、逆定理的情形更能訓練逆向思維。
例2、已知：四邊形ABCD中， B
AB 、BC、CD、AD的長 C
分別為13、3、4和12，
∠BCD=900
求：四邊形ABCD的面積 A D
分析：本題連結BD后，在△BDC中應用勾股定理可以求出BD的長，這時候在△ABD中，再應用勾股定理的逆定理判定△ABD為直角三角形，則兩個直角三角形的面積和就是四邊形ABCD的面積了。 A
例3、已知：△ABC中，DE//BC，
∠B=∠DEN D E
求證：DB=EN
B N C
分析：在圖中DB和EN是一個四邊形的對邊，易想到去證明四邊形DBNE為平行四邊形，根據定義得出DB=EN。要這樣去證明，因為已經有DE∥BC了，所以只需要證明BD//EN。要證明BD//EN，這又需要去證明∠B=∠ENC。而已知∠B=∠DEN ,因此，我們只需去證明∠DEN=∠ENC就可以了，這從已知DE∥BC便可以得出。
在這兩個例題中，就分別應用了勾股定理和它的逆定理、平行線的性質定理和判定定理，充分體現了互逆思維的應用。
在代數教材中這樣的體現出互逆思維的定理也很多，如一元二次方程的判別式定理，根與系數的關系定理。教學中一定要體會出互逆思維的層次，讓學生切實感受到正向和逆向的兩種思維過程。
(3)、在公式的應用中培養(yǎng)學生逆向思維
初中數學有很多公式，都必須要求學生能熟練的從正、逆兩方面去應用，如二次根式中的公式( )2 = a與a = ( )2 ， = . 與 . = 等，指數中的公式am.an=am+n與am+n=am.an ，(ab)n=anbn與an.bn=(ab)n等，多項式乘法中的公式(a+b)(a-b)=a2-b2與a2-b2=(a+b)(a-b) ，(a±b)2=a2±2ab+b2與a2±2ab+b2=(a±b)2等，還有小學就開始學習接觸的加法交換律，結合律，乘法結合律，交換律、分配律等，這些公式應用之廣之多。
例4、已知am=3,an=2，求a 2m+3n的值。
分析：本題只需逆用冪的運算性質就可以解決。a2m+3n=(am)2.(an)3=32.23=72
例5、計算(a+b-c)2-(a-b+c)2
分析：本題按多項式乘法的常規(guī)思路，則要分別把(a+b-c)2和(a-b+c)2展開后再去括號相減，這樣做就比較繁瑣。如果逆向思考，先用平方差公式分解，則非常簡單。
還有在三角形面積公式、圓面積公式、扇形面積、弧長等公式的應用中，已知一些量求另一些量，也體現著逆向思維，教學中除了通過向學生展示對公式的分析、理解、運用，訓練學生的逆向思維，還可以編制題組進行訓練，使學生感受正向應用公式和逆向應用公式解題的意義，充分認識正向思考和逆向思考是思維的基本形式。
2、在數學方法運用中訓練學生的逆向思維
(1)、應用分析法或分析綜合法分析問題訓練逆向思維能力
在數學解題的分析中，要善于培養(yǎng)學生雙向思維意識，當我們強調逆向思維的重要性的時候，并不是說正向思維是一種陳舊的思維形式，事實上，辯證的思維形式應是雙向的，正、逆思維是兩種不同卻又互相聯系的思維形式，逆向思維是建立在正向思維的基礎上的，解題中逆向思維離不開正向思維，若正向思維受阻就應考慮逆向思維。這兩種思維方式在解題分析中常常運用。要教學生學會應用綜合法和分析法分析問題，通過對問題應用分析法分析，或者是綜合法和分析法同時應用去分析，感受逆向思維的應用，培養(yǎng)逆向思維能力。綜合法是從問題的條件出發(fā)去分析問題，執(zhí)因索果，而分析法則是從問題的結論出發(fā)，執(zhí)因索果，由此上溯，用兩種方法對同一問題進行分析，采取兩頭湊的方法最能讓學生感受到逆向思維的好處。
例6、已知：如圖四邊形ABCD內接于⊙O，
AC⊥BD于P，CE=ED，
OF⊥AB于F。
求證：PE=OF
分析：如圖，因∠CPD=900，CE=ED，所以CD=2PE;又因OF⊥AB，所以F是AB的中點，因此，若作直徑AG，并連結BG，則有BG=2OF。于是。要證PE=OF，只需證CD=BG即可。但CD與BG同為⊙O的弦，因而又只需證它們所對的圓周角∠CAD=∠BAG就行了。又∠APD和∠ABG都是直角，故要證∠CAD=∠BAG，只要能證明∠ADP=∠AGB就成。然而，這是已知的題設和作圖所能保證的，到此分析完畢。
(2)、應用反證法和逆推法去思考和證明，訓練逆向思維能力
數學中有很多問題從正面去思考解決常常很困難，如果我們改變思維方式，“正”難則“逆”，從反面(向)入手，常有意想不到的效果。反證法和逆推法就是很好的方法，它們都體現了逆向思維，認真學習和領會這些方法能很好的培養(yǎng)學生的逆向思維能力。
例7、“求作一個方程使它的根是—2和3”
分析：學生學習了用分解因式法解一元二次方程后，如果對用十字交叉法解一元二次方程熟悉了，運用逆推的方法去逆向思考，學生便很快的就會構造出方程(x+2)(x-3)=0，展開后便可以得到x2-x-6=0，它的根就是-2和3。
例8、在平面內如果兩條直線都和第三條直線平行，那么著兩條直線也互相平行。
分析：如果教學生用反證法從結論的反面“不互相平行”去逆向思考，那就得到這兩條直線必須相交，一旦相交了就有交點，這樣在平面內過一個點就有兩條直線和第三條直線平行，就與公理“平面內過一個點有且只有一條直線和已知直線平行”矛盾，所以假設不成立。因此假設的反面“互相平行”就是成立的。
3、在數學解題運算的訓練中讓學生理解逆向思維
初中數學的六種運算，加和減、乘和除、乘方和開方及多項式乘法和因式分解，都是互逆的運算，都體現著逆向思維，在教學生學習的過程中，要讓學生理解它們的互逆關系，靈活的解決問題。
例9、若a>1，a+a-1=3,求a-a-1的值。
分析：對已知a+a-1=3兩邊平方得a2+2+a-2=9,再配方a2-2+a-2=5即a2-2a.a-1+(a-1))2=5
由此得(a-a-1)-2=5，因為a>1,所以a>a-1,所以，由平方根的定義得到a-a-1=√5
在這里的解題運算過程中，就從正向和逆向分別應用了完全平方公式和零指數冪公式a0=1,逆向思維得到很好的體現。
例10、(1) 已知∣a-2∣+(b-3)2=0,求代數式a2+3ab-b3的值。
(2)已知x2+x-1=0，求代數式2x3+4x2+3的值。
分析：(1)先應用非負數的知識，求出a、b后，再直接把a、b的值代入式子就可以求值了，這是用了直接代入的方法。(2)如果用同樣的方法則很繁瑣，如果用和(1)逆向的思維方法，考慮整體代入，先把已知變?yōu)閤2+x=1，再把2x3+4x2+3作如下的變化逐步代入：2x3+4x2+3=2x3+2 x2+2 x2+3=2x(x2+x)+ 2 x2+3=2x+2 x2+3=2(x2+x)+3=5 這里在代入的方法上，一個是直接代入字母的數值，另一個是不求出x的值，而是求出x的代數式的值，這是互逆的兩種思維方法。
例11、(1) 二次函數y=x2+bx+c的圖像向左平移三個單位，再向上平移2個單位，得二次函數y=x2-2x+1的圖像，求b、c的值。
(2)將拋物線y= -(x-1)2+6先向下平移1個單位，再向左平移4個單位，求平移后的拋物線的解析式。
分析：這兩個題在題設和結論上是互逆的，解題的關鍵是抓住拋物線的頂點坐標，(1)是從平移后的拋物線的頂點坐標(1、0)，根據平移關系求出原來的拋物線的頂點坐標為(4、-2)，再寫出它的頂點式，改寫成標準解析式，則便知道b、c的值。(2)是從平移前的拋物線頂點坐標(1、6)，根據平移關系求出平移后的拋物線的頂點坐標為(-3、5)，再寫出頂點式 改寫成標準解析式即可。從解題思維方法來講，它們恰好是互逆的，體現了逆向思維。類似的問題在函數中還有很多，如已知函數解析式去找圖像特征;知道圖像特征去求函數解析式等;像這樣在解題中體現互逆的思維方法的問題比比皆是，教學中還可以編制題組對比訓練，在學生練習后及時點撥總結歸納，讓學生知其然而知其所以然。
綜上所述，逆向思維在數學解題中有著廣泛的應用，靈活地應用它，不但可以化簡解題過程，降低解題難度，巧獲解題結果，而且對于鍛煉學生的思維品質，提高學生的解題能力，是大有裨益的，因此在平時的數學教學過程中，我們必須有意識、有計劃地滲透和強化逆向思維的訓練，培養(yǎng)學生的逆向思維能力，提高學生的思維水平。