大學數(shù)學方面論文范文
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大學數(shù)學方面論文范文篇1
趙爽的數(shù)學哲學思想與應用價值
摘要:趙爽是東漢末年至三國時期的著名數(shù)學家,他在《周髀算經(jīng)》的注文中提出許多新的數(shù)學見解。同時,他的數(shù)學思想及方法對中國整個數(shù)學體系的形成及發(fā)展都有著重要的作用。
關鍵詞:唐代 絲綢之路 極盛而衰 歷史演變。
趙爽是東漢末年至三國時期的著名數(shù)學家,同時也是中國歷史上著名的天文學家,他大約生活在 3 世紀,生卒不詳。他在數(shù)學上的成就主要表現(xiàn)為對勾股定理簡潔的證明,重差術的理論,一元二次方程的求解及根與系數(shù)的關系四個方面的貢獻。2 世紀,趙爽開始深入研究《周髀算經(jīng)》,該書是中國歷史上最古老的天文學著作,其中就有對“勾股圓方圖”的注釋,總結出中國古代的勾股定理,這是對中國數(shù)學史的巨大貢獻。另外,趙爽還在此基礎上進行了創(chuàng)新,提出了新的證明公式。趙爽在數(shù)學方面的成就主要體現(xiàn)其所撰寫的《勾股圓方圖》,是中國歷史上第一次明確給出勾股定理明確證明的著作,而且這種證明簡單實用,至今仍在沿用。趙爽還創(chuàng)造出世界上最早的求根公式,并對《九章算術》中的分數(shù)計算方法上升到理論高度,創(chuàng)立了“齊同術”,足見稱其為數(shù)學宗師是非常恰當?shù)摹?/p>
一、趙爽數(shù)學思想產(chǎn)生的社會背景。
1.來源于人類實踐活動的數(shù)學思想。趙爽在《周髀算經(jīng)》的注文中提到“:大禹治水,望山川之形,定高下之勢,除滔天之災,勾股之所由生也。”這就說明,大禹治水時期便采用了疏通河流的辦法使大水流往大海,而無“浸溺逆”,這也是勾股定理產(chǎn)生的重要原因。趙爽的這一思想與古希臘數(shù)學家歐弟姆斯對幾何學的產(chǎn)生的思路不謀而合,歐弟姆斯曾說“:幾何學是埃及人發(fā)現(xiàn)的,是在測量土地的過程中產(chǎn)生的,因為那時候的尼羅河泛濫成災,經(jīng)常沖毀良田,這種幾何學的測量技術是必要的。”[1]17所以,幾何學起源于土地測量,一般從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的民族都有著豐富的幾何學知識。恩格斯曾說,數(shù)學是根據(jù)人的需要產(chǎn)生的,是從丈量土地面積、計算器具容積中產(chǎn)生的,是一種有目的改造客觀世界的活動中產(chǎn)生的。所以,趙爽的數(shù)學思想也來源于實際,以滿足于客觀世界的需要。
2.吳國推行發(fā)展教育的文教政策。根據(jù)史料考證,趙爽為三國時期吳國人,由于當時吳國為戰(zhàn)事需要采取了一系列發(fā)展生產(chǎn)的措施,使得社會經(jīng)濟有了較大的進步。同時,在思想及文學領域也出現(xiàn)了秦漢以來前所未有的局面,其中數(shù)學思想的進展尤為明顯。當時的吳國推行了發(fā)展數(shù)學教育的文教政策,孫權于黃武三年推行“改四分,用乾象歷,詔令教學諸子”.永安二年,孫休推行教學為先的政策“,道世冶性,為時養(yǎng)器”.當時吳國推行的這些教育建國,培養(yǎng)人才的措施,極大推進了社會的發(fā)展及經(jīng)濟的繁榮。當時,吳國還在地方設立官學“,濟陽人篤學好古,瑜厚之,使百人受業(yè),遂立學官”.雖然吳國“學官”措施推行并沒多久,但當時確實出現(xiàn)許多的數(shù)學及天文人才,如陳馳善九章術,與漢代許商、王柔并稱。除官學之外,吳國也非常流行私學,如“虞凡講學不倦,門徒數(shù)百人,又為《老子》、《荀子》、《國語》訓注”.吳國的私學者多潛心學術,熱愛教學工作,對教育事業(yè)全心投入,《周髀算經(jīng)注》中就有“后學之徒知數(shù)皆然”[2]73.
二、趙爽的數(shù)學哲學思想與應用價值。
1.“數(shù)形”與“歸納、演繹”統(tǒng)一的思想。趙爽在《周髀算經(jīng)注》中提到“:數(shù)之法理出于方圓,方圓者天地之形狀,陰陽之數(shù),陳方圓之形,以見其象,因奇偶之數(shù),以制其法。物有方圓,數(shù)有奇偶,天動為圓其數(shù)奇,地靜為方其數(shù)偶。”所以,趙爽的天地之形含有幾何方面的內容,同時,數(shù)之法出于圓方也含有代數(shù)思想。就是說,通過數(shù)的計算,著重考察圖形中數(shù)的關系,通過得出的數(shù)值來解決實際生活問題。同時,也可以通過“形”的直觀解決數(shù)的算法,這就將數(shù)形完美結合在一起。其實,數(shù)與形的結合并不是偶然產(chǎn)生的,中國作為一個農(nóng)業(yè)大國,在丈量土地、儲存糧食、開挖水渠時都會遇到大量關于面積、體積的問題,如用代數(shù)方法解決幾何問題將起到事半功倍的效果。實際上,數(shù)與形并不是完全分開的,在計算長度、面積的時候就很容易將兩者聯(lián)系起來。趙爽的《周髀算經(jīng)注》便體現(xiàn)這種數(shù)形統(tǒng)一的思想。
歸納是將特殊或個別的事物中概括出一般性的結論,而演繹則是由一般原理推出個別或特殊事物的結論。歸納與演繹是人們認識事物過程中相輔相成的兩個方面。趙爽的數(shù)學思想中包含歸納、演繹統(tǒng)一的思想,在其《周髀算經(jīng)》注文中提到“:善哉,言明曉之意,所謂問一事而萬事達。”這里的“問一事而萬事達”就是從個別到一般的歸納思維過程。他還曾提到“:引而伸之,觸類而長之,天下事畢矣。”[3]77這又從一般原理引申出個別的演繹思維過程。所以,趙爽在數(shù)學研究中將歸納與演繹兩者統(tǒng)一起來“,勾股各自乘,并之為弦實,開方除之即為弦”.這就是從個別到一般的推理過程。所以,驗證數(shù)學命題的真?zhèn)尉托枰ㄟ^演繹推理來實現(xiàn)。趙爽在其《勾股圓方圖注》中有十多個命題,并全部采用演繹推理的方式給出了證明。
2.“變與不變”的思維方法及“實用”的數(shù)學思想。客觀事物是不斷發(fā)生變化的,且事物的大多數(shù)性質也會發(fā)生改變,而有些性質卻相對穩(wěn)定,這就是變與不變的性質,即事物的相對穩(wěn)定性。趙爽在證明勾股定理的過程中,就是將圓形進行“割補”,其面積卻保持不變,這即為“變與不變”數(shù)學思維,趙爽通過“割補”的方式證明勾股定理是非常巧妙的,他說“形詭而量均,體殊而數(shù)齊”,即體形雖然有差異,但數(shù)量是不變的。將一個形體首先分割為有限的分體,然后再拼湊起來,便成為一個與它等面積的新個體。趙爽的這一“變與不變”思想對中國古代幾何的發(fā)展有著重要影響。劉徽在其《九章算術注》中將這種出入相補的思想視作以后“演段法”的基礎。中國傳統(tǒng)數(shù)學的平面幾何問題一般都采用這種“出入相補”的拼湊方法進行處理。直到 12 世紀,國外才有關于趙爽這種“割補”方法的證明,由當時印度數(shù)學家巴斯卡蘭給出,晚于趙爽的近九百多年。
數(shù)學來源于實際并應用于實際,作為一門研究空間形式與數(shù)量關系的科學,數(shù)學有廣泛的用途。中國古代傳統(tǒng)數(shù)學是以實用為目的的,其內容大多與生產(chǎn)及生活實際相關,并廣泛用于生產(chǎn)生活各方面,這也使得中國傳統(tǒng)數(shù)學長期處于世界數(shù)學的領先地位。趙爽也有著深厚的數(shù)學實用思想,他在《周髀算經(jīng)》的注文中提到“:萬事萬物圓方用矣,大匠造制而有規(guī)矩。”所以,他明確指出圓方的設計可用于萬事萬物“,大匠造制”則充分說明數(shù)學應用的廣泛性及其價值意義。
三、趙爽的數(shù)學成就及重要歷史貢獻。
1.《周髀算經(jīng)注》透析了數(shù)學之理。南宋數(shù)學家稱趙爽為“乘勾股竹黃之實,以近開方之妙,百世之下莫人能及,算學宗師也”.趙爽在他的《周髀算經(jīng)注》中詳細注解了勾股術法之妙,透析了數(shù)學教育之理。根據(jù)史料考證,趙爽曾經(jīng)深入研究了劉洪撰寫的《乾象歷》及天文學家張衡的《靈憲》等著作,并多次談及算學之術。在出入相補方面,圖形的總面積總保持不變,這就是趙爽創(chuàng)立的“割補之術”.同時,他還為《九章算術》進行了注釋,并將其歸納為出入相補原理,這也成為后世“演段術”形成的重要基礎。另外,趙爽還在其注文中提到與韋達定理類似的結果,并進一步研究一元二次方程的解法,證明了與其相關的二十多個命題。其實,趙爽還是一個未脫離體力勞動的數(shù)學家,他曾說自己一直在從事體力勞動的時候進行《周髀》的研究工作,最終完成了《周髀算經(jīng)注》。該作品大約成書于前 100 年前后,是一部關于構圖定律、分數(shù)運算的數(shù)學著作。在《周髀算經(jīng)注》中,趙爽對原作的經(jīng)文進行逐段逐句的解讀,其中尤以勾股圓方圖最為精彩,簡練的五百多字高度概括了《周髀算經(jīng)》的主要內容。
2.推動中國傳統(tǒng)數(shù)學思想的發(fā)展。在相當長的時間內,中國的數(shù)學長期處于世界領先地位。數(shù)學作為一門研究空間與數(shù)量關系的學科,有著現(xiàn)實的應用需要,中國傳統(tǒng)數(shù)學體系就是在此基礎上建立的,并廣泛應用于社會實際。趙爽的數(shù)學思想極大地推動了中國傳統(tǒng)數(shù)學的發(fā)展,同時在傳統(tǒng)數(shù)學思想的影響下,趙爽在其《周髀算經(jīng)》的注文中多次證明了數(shù)學的實際操作意義及應用的廣泛性。趙爽曾指出,為了有效解決實際問題,通過考察圖形中的數(shù)量關系及運算關系,就可以得到人們所需要的數(shù)值。趙爽認為“:夫高者莫大于天,厚廣者莫廣于地,皆可導儀驗其長短。”他將自然界看作是一個相互聯(lián)系的物質集合,并可以通過儀器間接測量出來。趙爽認為數(shù)學能應用于天地之道,神明之德,這是其承襲中國歷代數(shù)學家思想的反映。他對商高的測量方法中提到“:以水繩之,慎毫厘之差,防千里之失,既可追求情理,又可造制畫方。”[4]57這段內容記述了趙爽通過勾股定理進行測量的方法,充分體現(xiàn)其經(jīng)世致用的實用思想。
3.數(shù)學與數(shù)學教育方面的創(chuàng)新?!吨荀滤憬?jīng)》采用問答的形式,由此可知其屬于數(shù)學教材,而趙爽的《周髀算經(jīng)注》則屬于數(shù)學教材的指導用書,他在《周髀算經(jīng)注》中的“統(tǒng)敘群倫,裁制萬物”思想,展示其先進的數(shù)學教育思想。《周髀算經(jīng)》中有對勾股定理經(jīng)典的描述,即“勾廣三,股修四,徑隅五”.然而,在趙爽的注文中則給出了勾股定理的一般形式,即“勾股各自乘,并之為弦實”,這就將數(shù)學知識推廣開來。趙爽繼承了孔子的啟發(fā)式教學模式“,凡教之道, 舉一隅,反之以三也”.他還根據(jù)自己多年的數(shù)學教學經(jīng)驗,總結出數(shù)學教育的一般規(guī)律,最后達到“啟發(fā)”的效果。其實,學習是一項艱苦的智力勞動,只有學思結合才能最終完成“,不精思,不學習,則言吾無隱”.所以,趙爽一直反對反而不思的學習方式,并提倡“精思、善思、深思”,這樣才能開闊思維。“言吾無隱”便是引用孔子的教學思想,即“盡其知”,毫無隱瞞。所以,趙爽還是一位“不隱其學”的數(shù)學教育家。趙爽的“熟思”理念,就是強調要發(fā)展學生的思維,調動其學習的積極性,同時引導學生獨立思考。由此可知,趙爽不但在數(shù)學上有著極高的造詣,而且還是在數(shù)學教育上有著較高水平的數(shù)學大師。在數(shù)學教育上,趙爽的“貫幽人微,鉤深致遠”思想,便是對數(shù)學學習過程及學生心理狀態(tài)的把握。他總結的“審問、累思、所學、通類、精習”五個學習環(huán)節(jié)是一種由感性到理性的認識過程,這也是儒家學習論的核心。
參考文獻:
[1]唐斌如。趙爽的數(shù)學哲學思想[J].南昌教育學院學報,2009(4)。
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大學數(shù)學方面論文范文篇2
淺談數(shù)學概念在數(shù)學中的備課
摘要:淺談數(shù)學概念課在教學的備課中應做好兩點工作:1、吃透教材;2、把握住“概念教學”的三個環(huán)節(jié)。
關鍵詞:通讀教材;閱讀資料;三個環(huán)節(jié)
中學數(shù)學知識可分成三大部分:數(shù)學概念、數(shù)學命題和數(shù)學論證。對“數(shù)學概念”的理解程度直接影響著另外兩大部分數(shù)學知識的學習。關于這個認識,我們數(shù)學教師應有同感,也應付諸于數(shù)學實踐,更應該圍繞“數(shù)學概念”教學的程序做大量的準備工作。本文僅以“學術概念”的教學備課這方面,談一下個人所見,僅供參考。
中學“數(shù)學概念”的備課工作,應重點解決一下兩個問題:
1通讀教材,廣泛閱讀相關資料,為“吃透”教材理解、掌握概念,打下堅實基礎。
備課中,首先通讀教材,是數(shù)學概念教學的必要條件,教師須自覺地依據(jù)教材、大綱進行教學。對教材中出現(xiàn)的知識點,表述方法等相關內容,如有異議,就必須以誠懇的態(tài)度,堅強的毅力去研究、探索,充分理解教材中的意圖。例如:關于“絕對值”的概念。數(shù)學教師都有一種直觀通俗的理解。所謂絕對值,就是去掉性質符號的數(shù)。如+4(或-4)的絕對值,就是去掉“+4(或-4)”前的“+”或“-”號的數(shù)4。同時教材又用黑體字定義“一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離”。這是絕對值的幾何意義,而后又從代數(shù)的角度做進一步的說明:(1)正數(shù)的絕對值是它本身(2)負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)(3)零的絕對是是零;并利用字母表示數(shù),用式子給出了絕對值的代數(shù)形式的定義。而以前的教材是通過聯(lián)系生活的實例直接引出絕對值的代數(shù)意義,這種“代數(shù)定義”的說法教材中并沒有,這是教參中“指出”的。“指出”的言外之意是指絕對值還有個幾何定義?,F(xiàn)行教材便采取的是這個幾何定義。前后教材對絕對值概念的解釋是不同的,但對現(xiàn)行教材的意圖稍加思索,自然是便于學生接受和理解絕對值的概念。因此,教師在備課時應重點向學生闡明幾何意義。以便學生在今后的學習中應用。
另外,對于每一個重點,難點概念,教師應盡量做到“博覽群書”,也只有這樣,才能真正具備駕馭教材的能力,也沒有一個不是受益于廣泛閱讀的教師。因此,教師應廣泛閱讀相關資料,拓寬知識視野,注重知識積累,發(fā)揮自己的特長,以不斷適應新的教育現(xiàn)實。
2把握住“概念教學”的三個環(huán)節(jié)
數(shù)學概念的教學在經(jīng)過“博覽”步驟之后,應及時轉入“精取”階段,把握好“概念教學”的三個環(huán)節(jié)。
第一:準確地掌握概念的內涵與外延。所謂內涵,就是概念的基本屬性。它的本質屬性無疑是核心,是區(qū)別于其他事物的根本。沒有對概念本質屬性的深刻理解和牢固記憶,就談不上掌握和理解概念。例如:關于“等式”這一概念,教材上講“表示相等關系的式子叫等式”,教材上對之并沒有進一步的說明,但我們備課時一定要搞清等式的本質。它也是“判斷一件事情的語句”,就其本質而言,一個等式就是一個命題,它有真假之分,等式也有成立的等式,也有不成立的等式。這一點對學生來講更難理解,教師應下功夫向學生闡述清楚。否則會影響學生學習其他知識。
內涵的探究重要,外延的研究也不可缺少。所謂外延,是指概念所涉及對象的范圍界限,兩者結合起來,有主次分明之別。相互補充,才能全面實現(xiàn)明確概念的目的。因此在講解概念內涵的同時,也應及時研究其外延,并對其外延不同程度的給出定義。例如:“代數(shù)式”這個概念,教材上先后從其內涵上定義了代數(shù)式、單項式、多項式,這事實上就其外延而講它們都是整式。但作為教師應考慮到代數(shù)式分別有有理式和無理式兩大類,有理式可分為整式和分式兩類,這個外延分類的知識結構要牢固掌握,作為教師應站在較高的角度把握知識結構,以便為以后學生學習其他知識埋下伏筆,同時講玩某一概念的本質屬性后,應及時總結,引導學生從外延的角度進一步搞清概念之間的聯(lián)系。
第二:搞清概念在其所處知識體系中的地位及作用,也就是它所屬的類型,它與其他概念之間的聯(lián)系等。中學數(shù)學之間的聯(lián)系一般是從其外延開始,發(fā)生了縱向上的主從關系和橫向上的同一交叉,并列對立等邏輯關系。這些邏輯關系的存在是不可忽視的。例如:點和圓、直線和圓、圓和圓、多邊形和圓之間的關系,就是一種很系統(tǒng)的圖形之間的位置關系。這種系統(tǒng)的位置關系教師在備課時若不能以系統(tǒng)的觀點去認真?zhèn)湔n,那么無論從哪方面來講,都是沒有吃透教材,也不會產(chǎn)生最佳教學效果。
第三,準確地掌握“數(shù)學概念”在定義、名稱及符號在不同層次的識記信息。
每個數(shù)學概念都有定義和名稱,多數(shù)情況下還有它自己的符號。概念的定義是揭示其內涵的語言表達方式,名稱是人們在使用概念時對它的簡稱。符號則是人們書寫或記錄概念時所采用的一種簡記標志。一個概念有了自己的意義,可使人們對概念有一個賴以進行判斷推理和交流思想的基準和形象。有了名稱不但表述起來語言精練,而且簡明易懂,有了符號,不但書寫方便,而且直觀醒目。總之,三者都是直接或間接反映或表述同一內容——概念的本質屬性的,是密不可分的。在概念教學及備課過程中,教師必須掌握好這三種識記信息。以促使某些數(shù)學能力的形成和發(fā)展。