摘要：數(shù)學(xué)語言具有科學(xué)性、簡潔性、相通性，所以，數(shù)學(xué)語言是一種特殊的語言。對數(shù)學(xué)語言的研究必將對數(shù)學(xué)本身及數(shù)學(xué)教育的發(fā)展，乃至對人類文明都會起到積極的促進(jìn)作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)符號 數(shù)學(xué)語言 科學(xué) 簡潔 相通

我們天天接觸數(shù)學(xué)，但是很少有人對數(shù)學(xué)語言進(jìn)行專門系統(tǒng)的研究。譬如數(shù)學(xué)語言的產(chǎn)生、發(fā)展和形成；數(shù)學(xué)語言與一般語言有哪些不同，具有哪些特殊性；數(shù)學(xué)語言在促進(jìn)人類文明的過程中所起的作用；如何學(xué)好數(shù)學(xué)語言等等。從而使數(shù)學(xué)語言象漢語語言學(xué)那樣成為一門獨(dú)特的語言學(xué)科——數(shù)學(xué)語言學(xué)。本文只研究數(shù)學(xué)語言的特殊性。這種特殊性更多地是與一般語言（漢語語言）進(jìn)行比較而言的。下面只從數(shù)學(xué)符號的科學(xué)性、數(shù)學(xué)語言的簡潔性、數(shù)學(xué)語言的相通性三個(gè)方面進(jìn)行探討。

1、數(shù)學(xué)符號的科學(xué)性

數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)文字的主要形式，它是構(gòu)成數(shù)學(xué)語言的基本成份。
1，2，3，4，5，6，7，8，9，0，這十個(gè)符號是全世界普遍采用的，它們表示了全部的數(shù)，書寫、運(yùn)算都十分方便。這10個(gè)符號常被稱為阿拉伯?dāng)?shù)字，實(shí)際上卻是印度人創(chuàng)造的，只是經(jīng)過阿拉伯傳到歐洲。這是印度對人類文明的一項(xiàng)重大貢獻(xiàn)，這一貢獻(xiàn)的意義也可能是今天的人們不易覺察的。但是，18世紀(jì)一位法國著名數(shù)學(xué)家曾說過：“用不多的記號表示全部的數(shù)的思想，賦予它的除了形式上的意義外，還有位置上的意義，它之如此絕妙非常，正是由于這種簡易得難以估量。”
關(guān)于“位置上的意義”，指的是數(shù)字的進(jìn)位表達(dá)。比如說724，它實(shí)際上是7×100+2×10+4，可是它只需簡寫成724就明白了。此外還有空位的問題，假若有個(gè)數(shù)字是7×1000+2×100+4，那該怎么寫呢？現(xiàn)在我們是很容易回答了，不就寫為7204嗎？可是，在最初的數(shù)字符號系統(tǒng)中是沒有0這個(gè)符號的。有的用一個(gè)點(diǎn)來表示：72•4有的用一個(gè)方格來表示；有的干脆就拉開一點(diǎn)寫，表示空一位；……但這些寫法的不準(zhǔn)確、不方便是顯而易見的。直到使用了 0這個(gè)符號，問題才得以解決。而0這個(gè)符號比其他符號的出現(xiàn)晚了好幾百年。如果年看72004這個(gè)數(shù)字，我們能更清楚地體會到0這個(gè)符號的特殊意義。
數(shù)學(xué)的簡潔不只表現(xiàn)在數(shù)字符號上，還表現(xiàn)在其他符號上，表現(xiàn)在命題的表述和論證上，表現(xiàn)在它的邏輯體系上，總之，表現(xiàn)在思維經(jīng)濟(jì)上。
數(shù)學(xué)符號有許多種，除了前面提到的數(shù)字符號外，還有代數(shù)的符號，通常用英文字母或希臘字母表示。在笛卡兒時(shí)代，以英文字母的開頭幾個(gè)表示已知數(shù)，如a、b、c、…，以英文字母的最后幾個(gè)代表未知數(shù)，如x、y、z，或以a、b、c、…代表常數(shù)，以x、y、z代表變數(shù)?，F(xiàn)在，這已不是固定的了，在某種約定之下，a、b、c、…也可代表未知數(shù)，也可以表變數(shù)，x、y、z也可以代表已知數(shù)，也可以代表常數(shù)。還有一些特殊的常數(shù)，如π,e。還有另一些表現(xiàn)數(shù)量的符號，往往是其他類型符號的組合。
數(shù)字研究的對象已不只限于數(shù)，還研究形，△表示三角形，□表示四邊形，⊙表示圓。
數(shù)學(xué)研究的最一般對象是集合，而表示集合的符號常常用英文字母的斜體，如A、B、C、D、X、Y、Z等。某些特殊的集合又用特殊的符號表示，例如，用N表示自然數(shù)集，而實(shí)數(shù)集則用R表示，N與nature(自然)一詞有關(guān)，R與real（實(shí)的）有關(guān)。特定的集合組成空間，空間有時(shí)用S表示，S與space(空間)一詞有關(guān)，但也用其他字母表示空間。這些符號的運(yùn)用使得數(shù)學(xué)語言變得簡練。
還有一類符號是表示關(guān)系的，通過種種關(guān)系起聯(lián)結(jié)作用。常用的如等號=，近似等號≈，全等號≌或≡。還有不等號≠，＜，＞，<<。∥表示平行關(guān)系，⊥表示垂直關(guān)系， 與 表示元素與集合之間的關(guān)系， 表示集合與集合之間的關(guān)系， 表示蘊(yùn)涵關(guān)系等等。
還有一大類是關(guān)于運(yùn)算的符號。+，－，×，÷是四則運(yùn)算符號。 是開方運(yùn)算符號，sin, cos, tan是三角運(yùn)算符號，lim是極限運(yùn)算符號，d，是微積分運(yùn)算符號。 表示若干項(xiàng)乃至無窮項(xiàng)求和， 表示連乘（若干因子或無窮個(gè)因子），！表示階乘， , 是集合論中的運(yùn)算符號。映射是比運(yùn)算更普遍的概念，f，g，h等常被運(yùn)用作映射符號。
微積分是英國人牛頓和德國人萊布尼茨彼此獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的，牛頓和萊布尼茨使用的微分符號卻是不同的。牛頓創(chuàng)立了微分符號，比如說 的微分用表示，可是牛頓的這一符號對于高階微分并不方便，并且不宜于表現(xiàn)微分與積分的關(guān)系，因而實(shí)質(zhì)上并不十分科學(xué)。相比之下，萊布尼茨的符號在這兩方面都比牛頓的符號更加科學(xué)合理，它反映了事物最內(nèi)在的本質(zhì)，減輕了想象的任務(wù)。諸如這樣的優(yōu)美的式子，是在萊布尼茨符號下才能出現(xiàn)的。而英國人卻以牛頓為自豪，這是無可厚非的，但是，由于他們長時(shí)間固守牛頓的符號，使英國數(shù)學(xué)的發(fā)展受到了嚴(yán)重的損害。
所以，數(shù)學(xué)符號的科學(xué)性直接影響著數(shù)學(xué)語言的質(zhì)量，影響著數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)教育的發(fā)展。

2、數(shù)學(xué)語言的簡潔性

數(shù)學(xué)語言非常簡潔精確，它具有獨(dú)特的價(jià)值，它是科學(xué)語言的基礎(chǔ)。
從宏觀來說，人們常以“成千上萬”來研究多，再多就是“百萬”、“千萬”了，更多則是“億萬”。可是，數(shù)學(xué)能作出更簡潔也更明確、更有力的表示，比如說，1025、286243這樣巨大的數(shù)字，一般語言就說不太清楚了。
從微觀來說，日常語言之中，“失之毫厘，廖以千里”，用一毫一厘來形容微小，還有形容體積之小的，時(shí)間之短的，距離之近的。但是，沒有比10-15，10-45這樣一些表達(dá)更能說明問題，它也更簡潔、更明了。
[a, b]僅由a、b、[ ]這三個(gè)數(shù)學(xué)符號表出，但如果比用一般語言描述就成為“大于或等于a，小于或等于b的一切實(shí)數(shù)的集合。”除去標(biāo)點(diǎn)還得需要20個(gè)符號，其中18個(gè)漢字。
若對任何 使得對任何n,m>N，有 ，則數(shù)列 有極限。這是著名的柯西判別準(zhǔn)則。如果要用一般語言是無論如何也表示不清的，
作為有理數(shù)、無理數(shù)、代數(shù)數(shù)、超越數(shù)、實(shí)數(shù)、虛數(shù)之間關(guān)系之一的式子 ，是各種數(shù)的大統(tǒng)一。用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)是這樣的簡潔、明晰。
數(shù)學(xué)語言有其獨(dú)特之處，有其獨(dú)特的價(jià)值，它不僅是普通語言無法替代的，而且它構(gòu)成了科學(xué)語言的基礎(chǔ)。越來越多的科學(xué)門類用數(shù)學(xué)語言表述自己，這不僅是因?yàn)閿?shù)學(xué)語言的簡潔，而且是因?yàn)閿?shù)學(xué)語言的精確及其思想的普遍性與深刻性。
我們看看下面幾個(gè)式子，就能明白物理學(xué)是如何用數(shù)學(xué)語言來表述的。
F=0
F=
F=
第一、二兩個(gè)式子分別表達(dá)的是牛頓第一定律和第二定律，第三個(gè)式子說的是萬有引力定律。
慣性定律說的是，在沒有外力的條件下，物體保持原有的運(yùn)動（或靜止）狀態(tài)，然而簡潔的數(shù)學(xué)式F=0 （C是常數(shù)）表達(dá)了定律的實(shí)質(zhì)。
第二定律說的是，力與質(zhì)量和加速成正比，數(shù)學(xué)式子F= 表達(dá)了這一點(diǎn)。當(dāng)質(zhì)量是常數(shù)的時(shí)候，式子可寫為F= ，又可用a表示加速度，因此牛頓第二定律又可以表示為人所共知的形式F=ma。
萬有引力定律說的是，任何兩個(gè)物體之間都有引力存在，其大小與兩物體質(zhì)量之積成正比，與距離的平方成反比，式子F= 又是多么有力地刻畫了這一思想。

3、數(shù)學(xué)語言的通用性

數(shù)學(xué)語言與一般語言相比，它具有無民族性、無區(qū)域性，它世界上唯一的通用語言。
數(shù)學(xué)語言是人類語言的組成部分，它與一般語言是相通的，而且可以說是以一般語言為基礎(chǔ)的。一般語言掌握得如何，直接會影響數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)。但是，一般語言學(xué)得很好的人也不一定能掌握好數(shù)學(xué)語言，它們畢竟有差別。
一般語言具有民族性、地區(qū)性，一般語言與民族、地區(qū)文化有極密切的聯(lián)系。不同地區(qū)語言的差別可以很大，這種差別主要指符號及法則體系的不同。例如，英語與俄語，不僅符號表示的差別很大，而且語言規(guī)則的差別也很大；至于漢語，它與英語、俄語的差別更大，從書寫來看，漢語是方塊字，從讀音來看，英語、俄語是拼讀法，語法的差別也特別大。
就是同一民族，書面語言完全相同而發(fā)音很不相同的情形更多，例如同講漢語，北方與南方就有很大不同，北京話與廣大話很不相同。而且，目前世界上的語言就多達(dá)2500—3000種，其中僅美洲語言即有1000多種，非洲語言也近1000種。100萬以上人口使用的文字則只有140種。這140 種之中，以漢語為母語的人最多，約占世界人口的20%；其次是英語，約占6%；再次是俄語、西班牙語、法語，使用這五種語言的人占世界人口的40%以上。
但數(shù)學(xué)語言沒有地區(qū)性、民族性。全世界因?yàn)榈貐^(qū)之不同、民族之不同而有二、三千種語言（遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過全世界國家的數(shù)目），可是，全世界的數(shù)學(xué)語言只有一種。
這種語言符號，全世界的中學(xué)生大學(xué)生們都認(rèn)識，同一種書寫、同一個(gè)含義，只是讀音一般有所不同而已。
從以上的探討中我們可以發(fā)現(xiàn)，由于構(gòu)成數(shù)學(xué)語言的數(shù)學(xué)符號科學(xué)、簡潔，而導(dǎo)致數(shù)學(xué)語言具有不同一般語言的特殊性，也就是具有科學(xué)性、簡潔性、相通性。對數(shù)學(xué)語言的研究，不僅能促進(jìn)數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)教育的發(fā)展，而且也能對人類精神文明和物質(zhì)文明的進(jìn)步起到積極作用。
正因?yàn)閿?shù)學(xué)語言是一種特殊的語言,那它在數(shù)學(xué)教育中也具有重要的作用:
1、掌握數(shù)學(xué)語言是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的基矗一方面，數(shù)學(xué)語言既是數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，又是數(shù)學(xué)知識的載體。各種定義、定理、公式、法則和性質(zhì)等無不是通過數(shù)學(xué)語言來表述的。離開了數(shù)學(xué)語言，數(shù)學(xué)知識就成了“水中月，鏡中花”。另一方面，數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)語言的內(nèi)涵，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解、掌握，實(shí)質(zhì)是對數(shù)學(xué)語言的理解、掌握。一個(gè)對數(shù)學(xué)語言不能理解的人是絕對談不上對數(shù)學(xué)知識有什么理解的。因此，從一定意義上講。掌握數(shù)學(xué)語言是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)語言教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵。
2、掌握數(shù)學(xué)語言，有助于發(fā)展邏輯思維能力。
邏輯思維是思維的高級形式。在各種能力中，邏輯思維能力處于核心地位。
因此，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心任務(wù)。語言是思維的物質(zhì)外殼，什么樣的思維依賴于什么樣的語言。具體形象語言有助于具體形象思維的形成；嚴(yán)謹(jǐn)縝密、具有高度邏輯性的數(shù)學(xué)語言則是發(fā)展邏輯思維的“培養(yǎng)液”。
3、掌握數(shù)學(xué)語言是解決數(shù)學(xué)問題的前提。
培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的能力，是數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的。“對一個(gè)問題能清楚地說一遍，等于解決了問題的一半。”解決問題的過程是一個(gè)嚴(yán)密的推理和論證的過程，正確地理解題意，畫出符合要求的圖形。尋找已知條件，分析條件與結(jié)論之間的關(guān)系，有關(guān)知識的映象，解題判斷的形成，直至解答過程的表述等，處處離不開數(shù)學(xué)語言。

4、掌握數(shù)學(xué)語言，有利于思維品質(zhì)的形成。

數(shù)學(xué)語言的特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)語言對思維品質(zhì)的形成有重要作用。嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確是培養(yǎng)思維的邏輯性、周密性與批判性的“良方”；清晰、精練對培養(yǎng)思維的獨(dú)立性與深刻性有特效。

5、掌握數(shù)學(xué)語言，能激起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

數(shù)學(xué)的語言美具有自己的特點(diǎn)，它是一種內(nèi)在的美，表面顯得枯燥乏味，其實(shí)卻蘊(yùn)藏著豐富的內(nèi)涵。充分理解、掌握它，就能領(lǐng)略其中的微妙之處，感受其中的美的意境，從而激起學(xué)習(xí)、探究的興趣。
數(shù)學(xué)語言作為一種表達(dá)科學(xué)思想的通用語言和數(shù)學(xué)思維的最佳載體，包含著多方面的內(nèi)容；其中較為突出的是敘述語言、符號語言及圖形語言，其特點(diǎn)是準(zhǔn)確、嚴(yán)密、簡明。由于數(shù)學(xué)語言是一種高度抽象的人工符號系統(tǒng)，因此，它常成為數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。一些學(xué)生之所以害怕數(shù)學(xué)，一方面在于數(shù)學(xué)語言難懂難學(xué)，另一方面是教師對數(shù)學(xué)語言的教學(xué)不夠重視，缺少訓(xùn)練，以致不能準(zhǔn)確、熟練地駕馭數(shù)學(xué)語言。
接下來根據(jù)數(shù)學(xué)語言的特點(diǎn)及數(shù)學(xué)要求，談?wù)劷虒W(xué)中的實(shí)踐與認(rèn)識。
首先，注重普通語言與數(shù)學(xué)語言的互譯普通語言即日常生活中所用語言，這是學(xué)生熟悉的，用它來表達(dá)的事物，學(xué)生感到親切，也容易理解。其他任何一種語言的學(xué)習(xí)，都必須以普通語言為解釋系統(tǒng)。數(shù)學(xué)語言也是如此，通過兩種語言的互譯，就可以使抽象的數(shù)學(xué)語言在現(xiàn)實(shí)生活中找到借鑒，從而能透徹理解，運(yùn)用自如。“互譯”含有兩方面的意思：一是將普通語言譯為數(shù)學(xué)符號語言，也就是通常所說的“數(shù)學(xué)化”，例如方程是把文字表達(dá)的條件改用數(shù)學(xué)符號，這是利用數(shù)學(xué)知識來解決實(shí)際問題的必要程序。二是將數(shù)學(xué)語言譯為普通語言。數(shù)學(xué)實(shí)踐告訴我們，凡是學(xué)生能用普通語言復(fù)述概念的定義和解釋概念所揭示的本質(zhì)屬性，那么他們對概念的理解就深刻。由于數(shù)學(xué)語言是一種抽象的人工符號系統(tǒng)，不適于口頭表達(dá)，因此也只有翻譯成普通語言使之“通俗化”才便于交流。
其次，注重?cái)?shù)學(xué)語言學(xué)習(xí)的過程，合理安排教學(xué)
數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)符號的形成一般包括邏輯過程、心理過程和教學(xué)過程三個(gè)環(huán)節(jié)。邏輯過程能夠揭示概念之間的各種邏輯關(guān)系，便于對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)從整體上理解，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解與認(rèn)識。心理過程是指學(xué)生從學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語言到掌握數(shù)學(xué)語言的過程，這種過程往往是因人而異。數(shù)學(xué)符號和規(guī)則從現(xiàn)實(shí)世界得到其意義，又在更大的范圍內(nèi)作用于現(xiàn)實(shí)。學(xué)生只有在理解數(shù)學(xué)語言的來龍去脈及意義，而且熟練地掌握他們的各種用法，從而得到理性的認(rèn)識之后，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中才能靈活地對它們進(jìn)行各種等價(jià)敘述，并在一個(gè)抽象的符號系統(tǒng)中正確應(yīng)用，從而達(dá)到對數(shù)學(xué)符號語言學(xué)習(xí)的最高水平。教學(xué)過程則是教師具體對某個(gè)數(shù)學(xué)符號進(jìn)行講解、分析、舉例、考查的過程，教師在教學(xué)中要善于駕馭數(shù)學(xué)語言。
１．善于推敲敘述語言的關(guān)鍵詞句。
敘述語言是介紹數(shù)學(xué)概念的最基本的表達(dá)形式，其中每一個(gè)關(guān)鍵的字和詞都有確切的意義，須仔細(xì)推敲，明確關(guān)鍵詞句之間的依存和制約關(guān)系。例如平行線的概念“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線”中的關(guān)鍵詞句有：“在同一平面內(nèi)”，“不相交”，“兩條直線”。教學(xué)時(shí)要著重說明平行線是反映直線之間的相互位置關(guān)系的，不能孤立地說某一條直線是平行線；要強(qiáng)調(diào)“在同一平面內(nèi)”這個(gè)前提，可讓學(xué)生觀察不在同一平面內(nèi)的兩條直線也不相交；通過延長直線使學(xué)生理解“不相交”的正確含義。這樣通過對關(guān)鍵詞句的推敲、變更、刪簡，使學(xué)生認(rèn)識到“在同一平面內(nèi)”、“不相交的兩條直線”這些關(guān)鍵詞句不可欠缺，從而加深對平行線的理解。
２．深入探究符號語言的數(shù)學(xué)意義。
符號語言是敘述語言的符號化，在引進(jìn)一個(gè)新的數(shù)學(xué)符號時(shí)，首先要向?qū)W生介紹各種有代表性的具體模型，形成一定的感性認(rèn)識；然后再根據(jù)定義，離開具體的模型對符號的實(shí)質(zhì)進(jìn)行理性的分析，使學(xué)生在抽象的水平上真正掌握概念（內(nèi)涵和外延）；最后又重新回到具體的模型，這里具體的模型在數(shù)學(xué)符號的教學(xué)中具有雙重意義：一是作為一般化的起點(diǎn)，為引進(jìn)抽象符號作準(zhǔn)備，二是作為特殊化的途徑，便于符號的應(yīng)用。
數(shù)學(xué)符號語言，由于其高度的集約性、抽象性、內(nèi)涵的豐富性，往往難以讀懂。這就要求學(xué)生對符號語言具有相當(dāng)?shù)睦斫饽芰?，善于將簡約的符號語言譯成一般的數(shù)學(xué)語言，從而有利于問題的轉(zhuǎn)化與處理。
３．合理破譯圖形語言的數(shù)形關(guān)系。
圖形語言是一種視覺語言，通過圖形給出某些條件，其特點(diǎn)是直觀，便于觀察與聯(lián)想，觀察題設(shè)圖形的形狀、位置、范圍，聯(lián)想相關(guān)的數(shù)量或方程，這是“破譯”圖形語言的數(shù)形關(guān)系的基本思想。例如，長方體的表面積教學(xué)，學(xué)生初次接觸空間圖形的平面直觀圖———這種特殊的圖形語言，學(xué)生難于理解，教學(xué)時(shí)可采用以下步驟進(jìn)行操作：①從模型到圖形，即根據(jù)具體的模型畫出直觀圖；②從圖形到模型，即根據(jù)所畫的直觀圖，用具體的模型表現(xiàn)出來，這樣的設(shè)計(jì)重在建立圖形與模型之間的視覺聯(lián)系，為學(xué)生提供充分的感性認(rèn)識，并使它們熟悉直觀圖的畫法結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)；③從圖形到符號，即把已有的直觀圖中的各種位置關(guān)系用符號表示；④從符號到圖形，即根據(jù)符號所表示的條件，準(zhǔn)確地畫出相應(yīng)的直觀圖。這兩步設(shè)計(jì)是為了建立圖像語言與符號語言之間的對應(yīng)關(guān)系，利用圖形語言來輔助思維，利用符號語言來表達(dá)思維。
總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)語言，善于發(fā)現(xiàn)并靈活掌握各種數(shù)學(xué)語言所描述的條件及其相互轉(zhuǎn)化，以加深對數(shù)學(xué)概念的理解和應(yīng)用。

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