基于構(gòu)造超平面的兩階段決策樹算法的研究
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摘要：如何在測試節(jié)點(diǎn)里構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)姆指畛矫媸菢?gòu)造決策樹的關(guān)鍵，與單變量決策樹不同，多變量（傾斜）決策樹可以找到與特征軸不垂直的超平面。本文將從幾何學(xué)角度說明構(gòu)造測試節(jié)點(diǎn)的過程，提出了一種兩階段決策樹的算法。
Abstract: How to construct an appropriate partitioning hyperplane in test node is the key to construct a decision tree. Different from decision tree with a single variable, the multi-variable (tilted) decision tree can find a hyperplane which is not perpendicular to the characteristic shaft. This paper will explain the process of constructing the test node and propose a two-stage decision tree algorithm.
關(guān)鍵詞：超平面；兩階段；決策樹
0引言
決策樹有著許多不同的應(yīng)用，其中包括診斷學(xué)里面的長度衰退[1]、分等級的多級標(biāo)簽的分類[2]等。在機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)采集方面，決策樹已經(jīng)成為一種最廣泛的模型。一些決策樹分類器的算法，比如ID3[3]，C4.5[4]，CART等，經(jīng)常被作為評價(jià)其他分類器性能的基準(zhǔn)。它之所以流行，是因?yàn)槠湫问胶唵巍⑴袛嘌杆?、解釋容易和精確度高。
1兩階段決策樹算法
1.1 兩階段構(gòu)造超平面構(gòu)造多變量決策樹的中心問題是，在每個(gè)測試節(jié)點(diǎn)內(nèi)對于連續(xù)的屬性如何研究分割超平面函數(shù)如式（1）：w1x1+w2x2+…+wnxn+threshold（閾值）=0，這里的X=（x1，x2…xn，1）是一個(gè)圖形向量，它是由一個(gè)常數(shù)和n個(gè)描敘實(shí)例的特征組成的。WT=（w1，w2，…，wn，wn+1）是一個(gè)X的參數(shù)向量，也可以稱為權(quán)向量（本文中假設(shè)WT是一個(gè)單位向量）。為了研究在每個(gè)測試決策樹節(jié)點(diǎn)內(nèi)構(gòu)造超平面的過程，首先調(diào)整方程式（2）：1w1x1+w2x2+…+wnxn=threshold，權(quán)向量WT=（w1，w2…wn）可以看作是用函數(shù)2構(gòu)造的超平面的法線方向，然后我們可以將尋找超平面函數(shù)2的過程分為兩個(gè)步驟：首先找出標(biāo)準(zhǔn)向量WT，然后再找出參數(shù)閾值。使WT中至少有一個(gè)參數(shù)不等于0，得到的超平面就會向特征軸傾斜；使WT中只有一個(gè)參數(shù)不為0，例如WT=（0，0，…，wi，…，0），得到的超平面就會與特征軸垂直。顯然，如果在每個(gè)超平面的WT中只有一個(gè)參數(shù)不為0，構(gòu)造的決策樹將會退化為單變量樹。為了深入研究這個(gè)問題，首先我們作了一個(gè)定義1。
定義1設(shè)V=（v1，v2…vn）（單位向量）是實(shí)例空間P內(nèi)的一個(gè)方向向量，a=（a1，a2…an）是實(shí)例空間P內(nèi)的一點(diǎn)。?坌a，如果a′=∑1?燮i?燮naivi，我們就說a′是a的V成分。
根據(jù)定義1可知，如把V當(dāng)作標(biāo)準(zhǔn)軸，那么a′就是V軸上的值。
命題1設(shè)H是用函數(shù)（2）構(gòu)造的分割超平面，假設(shè)A和H的交點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)成分是v，那么v=threshold（閾值）。
證明設(shè)a=（a1，a2，…，an）是實(shí)例空間內(nèi)的一點(diǎn)，?坌a∈P，a的標(biāo)準(zhǔn)成分b=∑1?燮i?燮nwiai。設(shè)a′=（a，a，…，a）是從a到標(biāo)準(zhǔn)軸的映射點(diǎn)，得到式（3）：b=∑1?燮i?燮nwiai=∑1?燮i?燮nwia。
設(shè)t=（t1，t2，…，tn）是A和實(shí)例空間P的交點(diǎn)，因?yàn)閃T是實(shí)例空間p內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)向量，所以t=a′。聯(lián)合（3）式，可以得到：b=∑1?燮i?燮nwia=∑1?燮i?燮nwiti=v。根據(jù)方程式（2），得到v=threshold（閾值）。
在權(quán)重向量WT內(nèi)，如果只有一個(gè)參數(shù)不是0，例如WT=（0，0，…，wi，…，0），那么命題1中法線方向是準(zhǔn)確的一個(gè)實(shí)例空間特征。因此，單變量決策樹滿足命題1。從這個(gè)角度來看，我們的框架是單變量決策樹的延伸。此外，一旦發(fā)現(xiàn)有法線方向，就可以簡單地解決超平面閾值：計(jì)算每個(gè)實(shí)例的標(biāo)準(zhǔn)成分作為一維空間值，然后根據(jù)一些標(biāo)準(zhǔn)（如基尼），尋找作為函數(shù)（2）閾值的最佳分割閾值。
1.2 兩階段決策樹算法通過在1.1內(nèi)的分析，尋找超平面函數(shù)的過程可以劃分為兩個(gè)階段。基于這個(gè)，介紹兩階段決策樹算法，這種算法通過兩個(gè)階段為每個(gè)測試節(jié)點(diǎn)構(gòu)造超平面，如圖1。除了步驟2和3，此算法和其他決策樹算法沒有什么區(qū)別。步驟2（第一階段），候選超平面的標(biāo)準(zhǔn)列表是用某種研究函數(shù)構(gòu)造的。許多著名的方法可直接用在這里尋找法線方向，如主成分分析，合作聯(lián)盟等。步驟3（第二階段）分為兩個(gè)階段：在第一階段中，每個(gè)候選超平面閾值是基于一些純判斷標(biāo)準(zhǔn)（如信息增益率和基尼）。在尋找連續(xù)屬性分割點(diǎn)方面，這個(gè)階段類似于單變量決策樹算法。在第二階段，此模型根據(jù)判斷標(biāo)準(zhǔn)從候選列表中選出最佳分割超平面。
在圖2中給出了構(gòu)造兩階段決策樹的控制算法。許多算法只能處理一組特定的數(shù)據(jù)。為了簡化問題分析的復(fù)雜性，步驟1對輸入數(shù)據(jù)集進(jìn)行預(yù)處理。預(yù)處理數(shù)據(jù)集之后，步驟2構(gòu)造一個(gè)使用算法1的構(gòu)造決策樹樹（參見圖1）。一旦決策樹被構(gòu)造，它就會被修剪回來。在修剪階段有兩項(xiàng)措施用以評估每個(gè)測試節(jié)點(diǎn)：如果它是葉指數(shù)，則在測試節(jié)點(diǎn)下對一些子樹指標(biāo)（如錯(cuò)誤率）和測試節(jié)點(diǎn)進(jìn)行評估。如果是前者且后者滿足一些條件（如后者的錯(cuò)誤率小于前者），則其根是節(jié)點(diǎn)的整個(gè)樹，由葉取代。不同的算法，采用不同的修剪指標(biāo)。Quinlan使用錯(cuò)誤率評估基于統(tǒng)計(jì)界的評估[4]，BrEiman等人使用成本復(fù)雜性評估基于錯(cuò)誤率和樹的規(guī)模（由葉節(jié)點(diǎn)數(shù)量來衡量）。但是我們采用EBP C4.5[4]和CCP CART來測試已修剪的構(gòu)造決策樹的性能和修剪算法的影響。
2結(jié)論
在本文中，首先從幾何學(xué)角度重新解釋了構(gòu)造測試節(jié)點(diǎn)的過程，并在此基礎(chǔ)上，提出了兩階段方法來為決策樹的每個(gè)測試節(jié)點(diǎn)構(gòu)造超平面。第一階段尋找基于無監(jiān)督或監(jiān)督方法的合適的法線方向?；谝恍┤缁岷驮鲩L比的標(biāo)準(zhǔn)，第二階段找出在法線方向上的超平面的截距。最后提出了兩階段的構(gòu)造決策樹算法。
參考文獻(xiàn)：
[1]Su，X.G.，Tsai，C.-L.，& Wang，C.（2009）.Tree-structured model diagnostics for linear regression.Mach Learn 74：111-131.
[2]Vens, C. Struyf, J., Schietgat, L., Dzeroski, S., & Blockeel，H.(2008). Decision trees for hierarchical multi-label classification.Mach Learn,73:185-214.
[3]Quinlan，J.R（1979）.Discovering rules by induction from large collection of examples.In D.Michie，editor.
[4]Quinlan J R.（1993）.C4.5：Programs for Machine Learning[M].San Mateo，CA：Morgan Kaufman
Abstract: How to construct an appropriate partitioning hyperplane in test node is the key to construct a decision tree. Different from decision tree with a single variable, the multi-variable (tilted) decision tree can find a hyperplane which is not perpendicular to the characteristic shaft. This paper will explain the process of constructing the test node and propose a two-stage decision tree algorithm.
關(guān)鍵詞：超平面；兩階段；決策樹
0引言
決策樹有著許多不同的應(yīng)用，其中包括診斷學(xué)里面的長度衰退[1]、分等級的多級標(biāo)簽的分類[2]等。在機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)采集方面，決策樹已經(jīng)成為一種最廣泛的模型。一些決策樹分類器的算法，比如ID3[3]，C4.5[4]，CART等，經(jīng)常被作為評價(jià)其他分類器性能的基準(zhǔn)。它之所以流行，是因?yàn)槠湫问胶唵巍⑴袛嘌杆?、解釋容易和精確度高。
1兩階段決策樹算法
1.1 兩階段構(gòu)造超平面構(gòu)造多變量決策樹的中心問題是，在每個(gè)測試節(jié)點(diǎn)內(nèi)對于連續(xù)的屬性如何研究分割超平面函數(shù)如式（1）：w1x1+w2x2+…+wnxn+threshold（閾值）=0，這里的X=（x1，x2…xn，1）是一個(gè)圖形向量，它是由一個(gè)常數(shù)和n個(gè)描敘實(shí)例的特征組成的。WT=（w1，w2，…，wn，wn+1）是一個(gè)X的參數(shù)向量，也可以稱為權(quán)向量（本文中假設(shè)WT是一個(gè)單位向量）。為了研究在每個(gè)測試決策樹節(jié)點(diǎn)內(nèi)構(gòu)造超平面的過程，首先調(diào)整方程式（2）：1w1x1+w2x2+…+wnxn=threshold，權(quán)向量WT=（w1，w2…wn）可以看作是用函數(shù)2構(gòu)造的超平面的法線方向，然后我們可以將尋找超平面函數(shù)2的過程分為兩個(gè)步驟：首先找出標(biāo)準(zhǔn)向量WT，然后再找出參數(shù)閾值。使WT中至少有一個(gè)參數(shù)不等于0，得到的超平面就會向特征軸傾斜；使WT中只有一個(gè)參數(shù)不為0，例如WT=（0，0，…，wi，…，0），得到的超平面就會與特征軸垂直。顯然，如果在每個(gè)超平面的WT中只有一個(gè)參數(shù)不為0，構(gòu)造的決策樹將會退化為單變量樹。為了深入研究這個(gè)問題，首先我們作了一個(gè)定義1。
定義1設(shè)V=（v1，v2…vn）（單位向量）是實(shí)例空間P內(nèi)的一個(gè)方向向量，a=（a1，a2…an）是實(shí)例空間P內(nèi)的一點(diǎn)。?坌a，如果a′=∑1?燮i?燮naivi，我們就說a′是a的V成分。
根據(jù)定義1可知，如把V當(dāng)作標(biāo)準(zhǔn)軸，那么a′就是V軸上的值。
命題1設(shè)H是用函數(shù)（2）構(gòu)造的分割超平面，假設(shè)A和H的交點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)成分是v，那么v=threshold（閾值）。
證明設(shè)a=（a1，a2，…，an）是實(shí)例空間內(nèi)的一點(diǎn)，?坌a∈P，a的標(biāo)準(zhǔn)成分b=∑1?燮i?燮nwiai。設(shè)a′=（a，a，…，a）是從a到標(biāo)準(zhǔn)軸的映射點(diǎn)，得到式（3）：b=∑1?燮i?燮nwiai=∑1?燮i?燮nwia。
設(shè)t=（t1，t2，…，tn）是A和實(shí)例空間P的交點(diǎn)，因?yàn)閃T是實(shí)例空間p內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)向量，所以t=a′。聯(lián)合（3）式，可以得到：b=∑1?燮i?燮nwia=∑1?燮i?燮nwiti=v。根據(jù)方程式（2），得到v=threshold（閾值）。
在權(quán)重向量WT內(nèi)，如果只有一個(gè)參數(shù)不是0，例如WT=（0，0，…，wi，…，0），那么命題1中法線方向是準(zhǔn)確的一個(gè)實(shí)例空間特征。因此，單變量決策樹滿足命題1。從這個(gè)角度來看，我們的框架是單變量決策樹的延伸。此外，一旦發(fā)現(xiàn)有法線方向，就可以簡單地解決超平面閾值：計(jì)算每個(gè)實(shí)例的標(biāo)準(zhǔn)成分作為一維空間值，然后根據(jù)一些標(biāo)準(zhǔn)（如基尼），尋找作為函數(shù)（2）閾值的最佳分割閾值。
1.2 兩階段決策樹算法通過在1.1內(nèi)的分析，尋找超平面函數(shù)的過程可以劃分為兩個(gè)階段。基于這個(gè)，介紹兩階段決策樹算法，這種算法通過兩個(gè)階段為每個(gè)測試節(jié)點(diǎn)構(gòu)造超平面，如圖1。除了步驟2和3，此算法和其他決策樹算法沒有什么區(qū)別。步驟2（第一階段），候選超平面的標(biāo)準(zhǔn)列表是用某種研究函數(shù)構(gòu)造的。許多著名的方法可直接用在這里尋找法線方向，如主成分分析，合作聯(lián)盟等。步驟3（第二階段）分為兩個(gè)階段：在第一階段中，每個(gè)候選超平面閾值是基于一些純判斷標(biāo)準(zhǔn)（如信息增益率和基尼）。在尋找連續(xù)屬性分割點(diǎn)方面，這個(gè)階段類似于單變量決策樹算法。在第二階段，此模型根據(jù)判斷標(biāo)準(zhǔn)從候選列表中選出最佳分割超平面。
在圖2中給出了構(gòu)造兩階段決策樹的控制算法。許多算法只能處理一組特定的數(shù)據(jù)。為了簡化問題分析的復(fù)雜性，步驟1對輸入數(shù)據(jù)集進(jìn)行預(yù)處理。預(yù)處理數(shù)據(jù)集之后，步驟2構(gòu)造一個(gè)使用算法1的構(gòu)造決策樹樹（參見圖1）。一旦決策樹被構(gòu)造，它就會被修剪回來。在修剪階段有兩項(xiàng)措施用以評估每個(gè)測試節(jié)點(diǎn)：如果它是葉指數(shù)，則在測試節(jié)點(diǎn)下對一些子樹指標(biāo)（如錯(cuò)誤率）和測試節(jié)點(diǎn)進(jìn)行評估。如果是前者且后者滿足一些條件（如后者的錯(cuò)誤率小于前者），則其根是節(jié)點(diǎn)的整個(gè)樹，由葉取代。不同的算法，采用不同的修剪指標(biāo)。Quinlan使用錯(cuò)誤率評估基于統(tǒng)計(jì)界的評估[4]，BrEiman等人使用成本復(fù)雜性評估基于錯(cuò)誤率和樹的規(guī)模（由葉節(jié)點(diǎn)數(shù)量來衡量）。但是我們采用EBP C4.5[4]和CCP CART來測試已修剪的構(gòu)造決策樹的性能和修剪算法的影響。
2結(jié)論
在本文中，首先從幾何學(xué)角度重新解釋了構(gòu)造測試節(jié)點(diǎn)的過程，并在此基礎(chǔ)上，提出了兩階段方法來為決策樹的每個(gè)測試節(jié)點(diǎn)構(gòu)造超平面。第一階段尋找基于無監(jiān)督或監(jiān)督方法的合適的法線方向?；谝恍┤缁岷驮鲩L比的標(biāo)準(zhǔn)，第二階段找出在法線方向上的超平面的截距。最后提出了兩階段的構(gòu)造決策樹算法。
參考文獻(xiàn)：
[1]Su，X.G.，Tsai，C.-L.，& Wang，C.（2009）.Tree-structured model diagnostics for linear regression.Mach Learn 74：111-131.
[2]Vens, C. Struyf, J., Schietgat, L., Dzeroski, S., & Blockeel，H.(2008). Decision trees for hierarchical multi-label classification.Mach Learn,73:185-214.
[3]Quinlan，J.R（1979）.Discovering rules by induction from large collection of examples.In D.Michie，editor.
[4]Quinlan J R.（1993）.C4.5：Programs for Machine Learning[M].San Mateo，CA：Morgan Kaufman