2017年江蘇省南京市中考數(shù)學(xué)模擬試卷(2)
20.2017年3月全國兩會(huì)勝利召開，某學(xué)校就兩會(huì)期間出現(xiàn)頻率最高的熱詞：A.藍(lán)天保衛(wèi)戰(zhàn)，B.不動(dòng)產(chǎn)保護(hù)，C.經(jīng)濟(jì)增速，D.簡(jiǎn)政放權(quán)等進(jìn)行了抽樣調(diào)查，每個(gè)同學(xué)只能從中選擇一個(gè)“我最關(guān)注”的熱詞，是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，解答下列問題：
(1)本次調(diào)查中，一共調(diào)查了 300 名同學(xué);
(2)條形統(tǒng)計(jì)圖中，m= 60 ，n= 90 ;
(3)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取一個(gè)最關(guān)注熱詞D的學(xué)生的概率是多少?
【考點(diǎn)】X4：概率公式;VB：扇形統(tǒng)計(jì)圖;VC：條形統(tǒng)計(jì)圖.
【分析】(1)根據(jù)A的人數(shù)為105人，所占的百分比為35%，求出總?cè)藬?shù)，即可解答;
(2)C所對(duì)應(yīng)的人數(shù)為：總?cè)藬?shù)×30%，B所對(duì)應(yīng)的人數(shù)為：總?cè)藬?shù)﹣A所對(duì)應(yīng)的人數(shù)﹣C所對(duì)應(yīng)的人數(shù)﹣D所對(duì)應(yīng)的人數(shù)，即可解答;
(3)根據(jù)概率公式，即可解答.
【解答】解：(1)105÷35%=300(人)，
故答案為：300;
(2)n=300×30%=90(人)，
m=300﹣105﹣90﹣45=60(人).
故答案為：60，90;
(3)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取一個(gè)最關(guān)注熱詞D的學(xué)生的概率是 = ，
答：從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取一個(gè)最關(guān)注熱詞D的學(xué)生的概率是 .
21.，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AD是∠BAC的平分線.
(1)尺規(guī)作圖：過點(diǎn)D作DE⊥AC于E;
(2)求DE的長.
【考點(diǎn)】N2：作圖—基本作圖;KF：角平分線的性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)過直線外一點(diǎn)作直線垂線的作法即可畫出圖形;
(2)設(shè)DE=x，則AC= =5，跟進(jìn)吧AD是∠BAC的平分線，∠ABC=90°，DE⊥AC可得出BD=DE=x，CD=BC﹣BD=4﹣x，再由S△ACD= = 求出x的值即可.
【解答】解：(1)方法1，1所示，過點(diǎn)D作AC的垂線即可;
方法2：運(yùn)用角平分線的性質(zhì)，以點(diǎn)D為圓心，BD的長為半徑畫圓，⊙D和AC相切于點(diǎn)E，連接DE即可.
(2)方法一：設(shè)DE=x，則AC= =5.
∵AD是∠BAC的平分線，∠ABC=90°，DE⊥AC，
∴BD=DE=x，CD=BC﹣BD=4﹣x.
∵S△ACD= = ，
∴ = ，解得x= ，
∴DE=x= .
方法二：設(shè)DE=x，則AC= =5.
∵AD是∠BAC的平分線，∠ABC=90°，DE⊥AC，
∴BD=DE=x，CD=BC﹣BD=4﹣x.
∵∠DEC=∠ABC=90°，∠C=∠C，
∴△DEC∽△ABC，
∴ = ，
∴ = ，解得x= ，
∴DE=x= .
方法三：設(shè)DE=x，則AC= =5.
∵AD是∠BAC的平分線，∠ABC=90°，DE⊥AC，
∴BD=DE=x，CD=BC﹣BD=4﹣x.
∵在Rt△ABC中，sin∠C= = ，
在Rt△DEC中，sin∠C= = ，
∴ = ，解得x= ，
∴DE=x= .
22.某班為參加學(xué)校的大課間活動(dòng)比賽，準(zhǔn)備購進(jìn)一批跳繩，已知2根A型跳繩和1根B型跳繩共需56元，1根A型跳繩和2根B型跳繩共需82元.
(1)求一根A型跳繩和一根B型跳繩的售價(jià)各是多少元?
(2)學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)這兩種型號(hào)的跳繩共50根，并且A型跳繩的數(shù)量不多于B型跳繩數(shù)量的3倍，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)書最省錢的購買方案，并說明理由.
【考點(diǎn)】FH：一次函數(shù)的應(yīng)用;9A：二元一次方程組的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)一根A型跳繩售價(jià)是x元，一根B型跳繩的售價(jià)是y元，根據(jù)：“2根A型跳繩和1根B型跳繩共需56元，1根A型跳繩和2根B型跳繩共需82元”列方程組求解即可;
(2)首先根據(jù)“A型跳繩的數(shù)量不多于B型跳繩數(shù)量的3倍”確定自變量的取值范圍，然后得到有關(guān)總費(fèi)用和A型跳繩之間的關(guān)系得到函數(shù)解析式，確定函數(shù)的最值即可.
【解答】解：(1)設(shè)一根A型跳繩售價(jià)是x元，一根B型跳繩的售價(jià)是y元，
根據(jù)題意，得：
，
解得： ，
答：一根A型跳繩售價(jià)是10元，一根B型跳繩的售價(jià)是36元;
(2)設(shè)購進(jìn)A型跳繩m根，總費(fèi)用為W元，
根據(jù)題意，得：W=10m+36(50﹣m)=﹣26m+1800，
∵﹣26<0，
∴W隨m的增大而減小，
又∵m≤3(50﹣m)，解得：m≤37.5，
而m為正整數(shù)，
∴當(dāng)m=37時(shí)，W最小=﹣2×37+350=276，
此時(shí)50﹣37=13，
答：當(dāng)購買A型跳繩37只，B型跳繩13只時(shí)，最省錢.
23.，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F(xiàn)是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(F不與A，B重合)，過點(diǎn)F的反比例函數(shù)y= (k>0)的圖象與BC邊交于點(diǎn)E.
(1)當(dāng)F為AB的中點(diǎn)時(shí)，求該函數(shù)的解析式;
(2)當(dāng)k為何值時(shí)，△EFA的面積為 .
【考點(diǎn)】GB：反比例函數(shù)綜合題;G5：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義;G7：待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式.
【分析】(1)當(dāng)F為AB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3，1)，由此代入求得函數(shù)解析式即可;
(2)根據(jù)圖中的點(diǎn)的坐標(biāo)表示出三角形的面積，得到關(guān)于k的方程，通過解方程求得k的值即可.
【解答】解：(1)∵在矩形OABC中，OA=3，OC=2，
∴B(3，2)，
∵F為AB的中點(diǎn)，
∴F(3，1)，
∵點(diǎn)F在反比例函數(shù)y= (k>0)的圖象上，
∴k=3，
∴該函數(shù)的解析式為y= ;
(2)由題意知E，F(xiàn)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為E( ，2)，F(xiàn)(3， )，
∴S△EFA= AF•BE= × k(3﹣ k)，
= k﹣ k2
∵△EFA的面積為 .
∴ k﹣ k2= .
整理，得
k2﹣6k+8=0，
解得k1=2，k2=4，
∴當(dāng)k的值為2或4時(shí)，△EFA的面積為 .
24.已知⊙O中，弦AB=AC，點(diǎn)P是∠BAC所對(duì)弧上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PB.
(1)①，把△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ACQ，連接PC，求證：∠ACP+∠ACQ=180°;
(2)②，若∠BAC=60°，試探究PA、PB、PC之間的關(guān)系.
(3)若∠BAC=120°時(shí)，(2)中的結(jié)論是否成立?若是，請(qǐng)證明;若不是，請(qǐng)直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，不需證明.
【考點(diǎn)】MR：圓的綜合題.
【分析】(1)①，連接PC.根據(jù)“內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)”即可證得結(jié)論;
(2)②，通過作輔助線BC、PE、CE(連接BC，延長BP至E，使PE=PC，連接CE)構(gòu)建等邊△PCE和全等三角形△BEC≌△APC;然后利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等和線段間的和差關(guān)系可以求得PA=PB+PC;
(3)③，在線段PC上截取PQ，使PQ=PB，過點(diǎn)A作AG⊥PC于點(diǎn)G.利用全等三角形△ABP≌△AQP(SAS)的對(duì)應(yīng)邊相等推知AB=AQ，PB=PG，將PA、PB、PC的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化到△APC中來求即可.
【解答】(1)證明：①，連接PC.
∵△ACQ是由△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，
∴∠ABP=∠ACQ.
由圖①知，點(diǎn)A、B、P、C四點(diǎn)共圓，
∴∠ACP+∠ABP=180°(圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ))，
∴∠ACP+∠ACQ=180°(等量代換);
(2)解：PA=PB+PC.理由如下：
②，連接BC，延長BP至E，使PE=PC，連接CE.
∵弦AB=弦AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形(有一內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形).
∵A、B、P、C四點(diǎn)共圓，
∴∠BAC+∠BPC=180°(圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ))，
∵∠BPC+∠EPC=180°，
∴∠BAC=∠CPE=60°，
∵PE=PC，
∴△PCE是等邊三角形，
∴CE=PC，∠E=∠ECP=∠EPC=60°;
又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，
∴∠BCE=∠ACP(等量代換).
在△BEC和△APC中， ，
∴△BEC≌△APC(SAS)，
∴BE=PA，
∴PA=BE=PB+PC;
(3)若∠BAC=120°時(shí)，(2)中的結(jié)論不成立. PA=PB+PC.理由如下：
?、?，在線段PC上截取PQ，使PQ=PB，過點(diǎn)A作AG⊥PC于點(diǎn)G.
∵∠BAC=120°，∠BAC+∠BPC=180°，
∴∠BPC=60°.
∵弦AB=弦AC，
∴∠APB=∠APQ=30°.
在△ABP和△AQP中，
∵ ，
∴△ABP≌△AQP(SAS)，
∴AB=AQ，PB=PQ(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)，
∴AQ=AC(等量代換).
在等腰△AQC中，QG=CG.
在Rt△APG中，∠APG=30°，則AP=2AG，PG= AG.
∴PB+PC=PG﹣QG+PG+CG=PG﹣QG+PG+QG=2PG=2 AG，
∴ PA=2 AG，即 PA=PB+PC.
25.在坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣3，0)和B(1，0)，與y軸交于點(diǎn)C，
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)D為此拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△DAC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)設(shè)拋物線頂點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為M，記拋物線在第二象限之間的部分為圖象G.點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，如果直線MN與圖象G有公共點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出點(diǎn)N縱坐標(biāo)t的取值范圍.
【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x﹣1)，然后將a=﹣1代入即可求得拋物線的解析式;
(2)過點(diǎn)D作DE∥y軸，交AC于點(diǎn)E.先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，﹣x2﹣2x+3)，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，x+3)，于是得到DE的長(用含x的式子表示，接下來，可得到△ADC的面積與x的函數(shù)關(guān)系式，最后依據(jù)配方法可求得三角形的面積最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)2所示：先求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，于是可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，可判斷出點(diǎn)M在直線AC上，從而可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)N′與拋物線的頂點(diǎn)重合時(shí)，N′的坐標(biāo)為(﹣1，4)，于是可確定出t的取值范圍.
【解答】解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x﹣1).
由題意可知：a=﹣1.
∴拋物線的解析式為y=﹣1(x+3)(x﹣1)即y=﹣x2﹣2x+3.
(2)所示：過點(diǎn)D作DE∥y軸，交AC于點(diǎn)E.
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴C(0，3).
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+3.
∵將A(﹣3，0)代入得：﹣3k+3=0，解得：k=1，
∴直線AC的解析式為y=x+3.
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，﹣x2﹣2x+3)，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，x+3).
∴DE=﹣x2﹣2x+3﹣(x+3)=﹣x2﹣3x.
∴△ADC的面積= DE•OA= ×3×(﹣x2﹣3x)=﹣ (x+ )2+ .
∴當(dāng)x=﹣ 時(shí)，△ADC的面積有最大值.
∴D(﹣ ， ).
(3)2所示：
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1，4).
∵點(diǎn)M與拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴M(1，4).
∵將x=1代入直線AC的解析式得y=4，
∴點(diǎn)M在直線AC上.
∵將x=﹣1代入直線AC的解析式得：y=2，
∴N(﹣1，2).
又∵當(dāng)點(diǎn)N′與拋物線的頂點(diǎn)重合時(shí)，N′的坐標(biāo)為(﹣1，4).
∴2
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