2017年福州中考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案(2)
17.，△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，AD=BD=3，CD=2，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BA的方向移動(dòng)到點(diǎn)A停止，連接CE.若△ADE與△CDE的面積相等，則線段DE的長(zhǎng)度是 .
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);平行線之間的距離;三角形的面積.
【分析】當(dāng)△ADE與△CDE的面積相等時(shí)，DE∥AC，此時(shí)△BDE∽△BCA，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行解答即可.
【解答】解：在直角△ACD中，AD=3，CD=2，則由勾股定理知AC= = = .
∵依題意得，當(dāng)DE∥AC時(shí)，△ADE與△CDE的面積相等，此時(shí)△BDE∽△BCA，
所以 = ，
因?yàn)锳D=BD=3，CD=2，
所以 = ，
所以DE= .
故答案是： .
18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) A(3，0)，B(0，4)，將△BOA繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得△CDA，使點(diǎn)B在直線CD上，連接OD交AB于點(diǎn)M，直線CD的解析式為 y=﹣ x+4 .
【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn).
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到三角形BOA與三角形CDA全等，再由已知角相等，以及公共角，得到三角形AOM與三角形AOB相似，確定出OD與AB垂直，再由OA=DA，利用三線合一得到AB為角平分線，M為OD中點(diǎn)，利用SAS得到三角形AOB與三角形ABD全等，得出AD垂直于BC，進(jìn)而確定出B，D，C三點(diǎn)共線，求出直線OD解析式，與直線AB解析式聯(lián)立求出M坐標(biāo)，確定出D坐標(biāo)，設(shè)直線CD解析式為y=mx+n，把B與D坐標(biāo)代入求出m與n的值，即可確定出解析式.
【解答】解：∵△BOA繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得△CDA，
∴△BOA≌△CDA，
∵∠DOA=∠OBA，∠OAM=∠BAO，
∴△AOM∽△ABO，
∴∠AMO=∠AOB=90°，
∴OD⊥AB，
∵AO=AD，
∴∠OAM=∠DAM，
在△AOB和△ABD中，
，
∴△AOB≌△ABD(SAS)，
∴OM=DM，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴B，D，C三點(diǎn)共線，
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
把A與B坐標(biāo)代入得： ，
解得： ，
∴直線AB解析式為y=﹣ x+4，
∴直線OD解析式為y= x，
聯(lián)立得： ，
解得： ，即M( ， )，
∵M(jìn)為線段OD的中點(diǎn)，
∴D( ， )，
設(shè)直線CD解析式為y=mx+n，
把B與D坐標(biāo)代入得： ，
解得：m=﹣ ，n=4，
則直線CD解析式為y=﹣ x+4.
故答案為：y=﹣ .
三、解答題(本大題共7小題，共66分)
19.解方程：
(1)2x2﹣4x﹣1=0(配方法)
(2)(x+1)2=6x+6.
【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法;解一元二次方程﹣配方法.
【分析】(1)先把方程整理為x2﹣2x= ，然后利用配方法解方程;
(2)先把方程變形為(x+1)2﹣6(x+1)=0，然后利用因式分解法解方程.
【解答】解：(1)x2﹣2x= ，
x2﹣2x+1= ，
(x﹣1)2= ，
x﹣1=± =± ，
所以x1=1+ ，x2=1﹣ ;
(2)(x+1)2﹣6(x+1)=0，
(x+1)(x+1﹣6)=0，
x+1=0或x+1﹣6=0，
所以x1=﹣1，x2=5.
20.某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，為了測(cè)量某建筑物AB的高，他們來(lái)到與建筑物AB在同一平地且相距12米的建筑物CD上的C處觀察，測(cè)得某建筑物頂部A的仰角為30°、底部B的俯角為45°.求建筑物AB的高(精確到1米).(可供選用的數(shù)據(jù)： ≈1.4， ≈1.7).
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題.
【分析】過(guò)點(diǎn)C作AB 的垂線，垂足為E，根據(jù)題意可得出四邊形CDBE是矩形，再由CD=12m，∠ECB=45°可知BE=CE=12m，由AE=CE•tan30°得出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論.
【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作AB 的垂線，垂足為E，
∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴四邊形CDBE是矩形，
∵CD=12m，∠ECB=45°，
∴BE=CE=12m，
∴AE=CE•tan30°=12× =4 (m)，
∴AB=4 +12≈19(m).
答：建筑物AB的高為19米.
21.(1)(1)，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CAE=∠B，試說(shuō)明AE與⊙O相切于點(diǎn)A.
(2)在圖(2)中，若AB為非直徑的弦，∠CAE=∠B，AE還與⊙O相切于點(diǎn)A嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】切線的判定.
【分析】(1)根據(jù)圓周角定理由AB為直徑得∠ACB=90°，所以∠B+∠BAC=90°，由于∠CAE=∠B，則∠CAE+∠BAC=90°，所以O(shè)A⊥AE，則可根據(jù)切線的判定定理得到AE與⊙O相切于點(diǎn)A;
(2)作直徑AD，根據(jù)圓周角定理得到∠B=∠D，則可與(1)中的證明方法一樣得到AE與⊙O相切于點(diǎn)A.
【解答】證明：(1)∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
而∠CAE=∠B，
∴∠CAE+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE與⊙O相切于點(diǎn)A;
(2)AE還與⊙O相切于點(diǎn)A.理由如下：
作直徑AD，2，
∴∠D+∠DAC=90°，
∵∠B=∠D，
而∠CAE=∠B，
∴∠CAE+∠DAC=90°，即∠DAE=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE與⊙O相切于點(diǎn)A.
22.一個(gè)不透明的口袋中有3個(gè)小球，上面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，每個(gè)小球除數(shù)字外其他都相同，甲先從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下數(shù)字后放回;乙再?gòu)目诖须S機(jī)摸出一個(gè)小球記下數(shù)字，用畫樹狀圖(或列表)的方法，求摸出的兩個(gè)小球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率.
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.
【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與摸出的兩個(gè)小球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況，再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解：畫樹狀圖得：
∵共有9種等可能的結(jié)果，摸出的兩個(gè)小球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的有5種情況，
∴摸出的兩個(gè)小球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為： .
23.，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在線段BC上任取一點(diǎn)E，連接DE，作EF⊥DE，交直線AB于點(diǎn)F.
(1)若點(diǎn)F與B重合，求CE的長(zhǎng);
(2)若點(diǎn)F在線段AB上，且AF=CE，求CE的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);矩形的判定與性質(zhì);梯形.
【分析】(1)根據(jù)題意畫出圖形，得出矩形ABEC求出BE，即可求出CE;
(2)過(guò)D作DM⊥BC于M，得出四邊形ABMD是矩形，推出AD=BM=9，AB=DM=7，CM=12﹣9=3，設(shè)AF=CE=a，則BF=7﹣a，EM=a﹣3，BE=12﹣a，求出∠BFE=∠DEM，∠B=∠DME，證△FBE∽△EMD，得出比例式 = ，求出a即可.
【解答】解：(1)當(dāng)F和B重合時(shí)，
∵EF⊥DE，
∵DE⊥BC，
∵∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴AD=EF=9，
∴CE=BC﹣EF=12﹣9=3;
(2)過(guò)D作DM⊥BC于M，
∵∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∴DM∥AB，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABMD是矩形，
∴AD=BM=9，AB=DM=7，CM=12﹣9=3，
設(shè)AF=CE=a，則BF=7﹣a，EM=a﹣3，BE=12﹣a，
∵∠FEC=∠B=∠DMB=90°，
∴∠FEB+∠DEM=90°，∠BFE+∠FEB=90°，
∴∠BFE=∠DEM，
∵∠B=∠DME，
∴△FBE∽△EMD，
∴ = ，
∴ = ，
a=5，a=17，
∵點(diǎn)F在線段AB上，AB=7，
∴AF=CE=17(舍去)，
即CE=5.
24.，等邊△OAB和等邊△AFE的一邊都在x軸上，反比例函數(shù)y= (x>0)經(jīng)過(guò)邊OB的中點(diǎn)C和AE中點(diǎn)D，已知等邊△OAB的邊長(zhǎng)為8.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)求等邊△AFE的周長(zhǎng).
【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式;反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;等邊三角形的性質(zhì).
【分析】(1)過(guò)C作CM⊥OA，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出CM及OM的長(zhǎng)，代入反比例函數(shù)的解析式即可得出結(jié)論;
(2)過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AF，垂足為點(diǎn)H，設(shè)AH=a(a>0).在Rt△DAH中，根據(jù)30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得出AD=2AH=2a，由勾股定理得出DH的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)D在第一象限，可得出D點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)D在反比例函數(shù)y= 的圖象上，可以把把x=8+a，y= a代入反比例函數(shù)解析式求出a的值，再根據(jù)點(diǎn)D是AE中點(diǎn)即可得出結(jié)論.
【解答】解：(1)過(guò)C作CM⊥OA，
∵△OAB為邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，C為OB中點(diǎn)，
∴OC=4，∠BOA=60°，
在Rt△OCM中，CM=OC•sin60°=2 ，OM=OC•cos60°=2，
∴C(2，2 )，
代入反比例解析式得：k=4 ，
則反比例解析式為y= ;
(2)過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AF，垂足為點(diǎn)H，設(shè)AH=a(a>0).
在Rt△DAH中，
∵∠DAH=60°，
∴∠ADH=30°.
∴AD=2AH=2a，
由勾股定理得：DH= a.
∵點(diǎn)D在第一象限，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(8+a， a).
∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y= 的圖象上，
∴把x=8+a，y= a代入反比例函數(shù)解析式，
解得 a=2 ﹣4 (a=﹣2 ﹣4<0不符題意，舍去).
∵點(diǎn)D是AE中點(diǎn)，
∴等邊△AFE的邊長(zhǎng)為8 ﹣16，
∴△AEF的周長(zhǎng)=24 ﹣48.
25.在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABOC放置，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是(0，4)、(﹣1，0)，將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A′B′OC′.
(1)若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、A、A′，求此拋物線的解析式;
(2)在(1)的情況下，點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)M在何處時(shí)，△AMA′的面積最大?最大面積是多少?并求出此時(shí)M的坐標(biāo);
(3)在(1)的情況下，若P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，N為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為(1，0)，當(dāng)P、N、B、Q構(gòu)成平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo).
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)由平行四邊形ABOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A′B′OC′，且點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0，4)，可求得點(diǎn)A′的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、A、A′的拋物線的解析式;
(2)首先連接AA′，設(shè)直線AA′的解析式為：y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求得直線AA′的解析式，再設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：(x，﹣x2+3x+4)，繼而可得△AMA′的面積，繼而求得答案;
(3)分別從BQ為邊與BQ為對(duì)角線去分析求解即可求得答案.
【解答】解：(1)∵平行四邊形ABOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A′B′OC′，且點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0，4)，
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為：(4，0)，
∵點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是(0，4)、(﹣1，0)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、A、A′，
設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c，
∴ ，
解得： ，
∴此拋物線的解析式為：y=﹣x2+3x+4;
(2)連接AA′，設(shè)直線AA′的解析式為：y=kx+b，
∴ ，
解得： ，
∴直線AA′的解析式為：y=﹣x+4，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：(x，﹣x2+3x+4)，
則S△AMA′= ×4×[﹣x2+3x+4﹣(﹣x+4)]=﹣2x2+8x=﹣2(x﹣2)2+8，
∴當(dāng)x=2時(shí)，△AMA′的面積最大，最大值S△AMA′=8，
∴M的坐標(biāo)為：(2，6);
(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，﹣x2+3x+4)，當(dāng)P，N，B，Q構(gòu)成平行四邊形時(shí)，
∵平行四邊形ABOC中，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是(0，4)、(﹣1，0)，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，4)，
∵點(diǎn)Q坐標(biāo)為(1，0)，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，N為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，
?、佼?dāng)BQ為邊時(shí)，PN∥BQ，PN=BQ，
∵BQ=4，
∴﹣x2+3x+4=±4，
當(dāng)﹣x2+3x+4=4時(shí)，解得：x1=0，x2=3，
∴P1(0，4)，P2(3，4);
當(dāng)﹣x2+3x+4=﹣4時(shí)，解得：x3= ，x4= ，
∴P3( ，﹣4)，P4( ，﹣4);
?、诋?dāng)BQ為對(duì)角線時(shí)，BP∥QN，BP=QN，此時(shí)P與P1，P2重合;
綜上可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P1(0，4)，P2(3，4)，P3( ，﹣4)，P4( ，﹣4);
2，當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：(0，0)或(3，0).
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