素性檢測(cè)

　　素性檢測(cè)一般用于數(shù)學(xué)或者加密學(xué)領(lǐng)域。用一定的算法來確定輸入數(shù)是否是素?cái)?shù)。不同于整數(shù)分解，素性測(cè)試一般不能得到輸入數(shù)的素?cái)?shù)因子，只說明輸入數(shù)是否是素?cái)?shù)。大整數(shù)的分解是一個(gè)計(jì)算難題，而素性測(cè)試是相對(duì)更為容易(其運(yùn)行時(shí)間是輸入數(shù)字大小的多項(xiàng)式關(guān)系)。有的素性測(cè)試證明輸入數(shù)字是素?cái)?shù)，而其他測(cè)試，比如米勒 - 拉賓(Miller–Rabin )則是證明一個(gè)數(shù)字是合數(shù)。因此，后者可以稱為合性測(cè)試。質(zhì)數(shù)是因數(shù)只有1和它本身的數(shù)。

　　素性測(cè)試通常是概率測(cè)試(不能給出100%正確結(jié)果)。這些測(cè)試使用除輸入數(shù)之外，從一些樣本空間隨機(jī)出去的數(shù);通常，隨機(jī)素性測(cè)試絕不會(huì)把素?cái)?shù)誤判為合數(shù)，但它有可能為把一個(gè)合數(shù)誤判為素?cái)?shù)。誤差的概率可通過多次重復(fù)試驗(yàn)幾個(gè)獨(dú)立值a而減小;對(duì)于兩種常用的測(cè)試中，對(duì)任何合數(shù)n，至少一半的a檢測(cè)n的合性，所以k的重復(fù)可以減小誤差概率最多到2^{-k}，可以通過增加k來使得誤差盡量小。

　　隨機(jī)素性測(cè)試的基本結(jié)構(gòu)：

　　1.隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)字a。

　　2.檢測(cè)某個(gè)包含a和輸入n的等式(與所使用的測(cè)試方法有關(guān))。如果等式不成立，則n是合數(shù)，a作為n是合數(shù)的證據(jù)，測(cè)試完成。

　　3.從1步驟重復(fù)整個(gè)過程直到達(dá)到所設(shè)定的精確程度。

　　在幾次或多次測(cè)試之后，如果n沒有被判斷為合數(shù)，那么我們可以說n可能是素?cái)?shù)。

　　常見的檢測(cè)算法：費(fèi)馬素性檢驗(yàn)(Fermat primality test)，米勒拉賓測(cè)試(Miller–Rabin primality test) ，Solovay–Strassen測(cè)試(Solovay–Strassen primality test)，盧卡斯-萊默檢驗(yàn)法(英語(yǔ)：Lucas–Lehmer primality test)。

　　質(zhì)數(shù)與素?cái)?shù)的區(qū)別

　　質(zhì)數(shù)又稱素?cái)?shù)。指在一個(gè)大于1的自然數(shù)中，除了1和此整數(shù)自身外，沒法被其他自然數(shù)整除的數(shù)。換句話說，只有兩個(gè)正因數(shù)(1和自己)的自然數(shù)即為素?cái)?shù)。比1大但不是素?cái)?shù)的數(shù)稱為合數(shù)。1和0既非素?cái)?shù)也非合數(shù)。合數(shù)是由若干個(gè)質(zhì)數(shù)相乘而得到的。

　　所以，質(zhì)數(shù)是合數(shù)的基礎(chǔ)，沒有質(zhì)數(shù)就沒有合數(shù)。這也說明了前面所提到的質(zhì)數(shù)在數(shù)論中有著重要地位。歷史上曾將1也包含在質(zhì)數(shù)之內(nèi)，但后來為了算術(shù)基本定理，最終1被數(shù)學(xué)家排除在質(zhì)數(shù)之外，而從高等代數(shù)的角度來看，1是乘法單位元，也不能算在質(zhì)數(shù)之內(nèi)，并且，所有的合數(shù)都可由若干個(gè)質(zhì)數(shù)相乘而得到。

　　質(zhì)數(shù)表

　　質(zhì)數(shù)表的質(zhì)數(shù)又稱素?cái)?shù)。指整數(shù)在一個(gè)大于1的自然數(shù)中，除了1和此整數(shù)自身外，沒法被其他自然數(shù)整除的數(shù)。換句話說，只有兩個(gè)正因數(shù)(1和自己)的自然數(shù)即為素?cái)?shù)。比1大但不是素?cái)?shù)的數(shù)稱為合數(shù)。1和0既非素?cái)?shù)也非合數(shù)。素?cái)?shù)在數(shù)論中有著很重要的地位。

　　用6(6N^2+6N)為界劃分成一個(gè)個(gè)區(qū)間，素?cái)?shù)的分布規(guī)律就明確顯視出來了。隨著區(qū)間的增大，素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)以波浪的形式漸漸增多。

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