高中數(shù)學(xué)數(shù)列有哪些教學(xué)設(shè)計(jì)
高中數(shù)學(xué)數(shù)列有哪些教學(xué)設(shè)計(jì)
教案在今天推行素質(zhì)教育、實(shí)施新課程改革中重要性日益突出，在教師的教學(xué)活動(dòng)中起著非常關(guān)鍵的作用。以下是學(xué)習(xí)啦小編分享給大家的高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)，希望可以幫到你!
高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)
一、預(yù)習(xí)問題：
1、等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從 起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè) ，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的 ， 通常用字母 表示。
2、等差中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù) 組成等差數(shù)列，那么A叫做 與 的 ，
即 或 。
3、等差數(shù)列的單調(diào)性：等差數(shù)列的公差 時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列; 時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列; 時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列;等差數(shù)列不可能是 。
4、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： 。
5、判斷正誤：
?、?，2，3，4，5是等差數(shù)列; ( )
?、?，1，2，3，4，5是等差數(shù)列; ( )
?、蹟?shù)列6，4，2，0是公差為2的等差數(shù)列; ( )
④數(shù)列 是公差為 的等差數(shù)列; ( )
?、輸?shù)列 是等差數(shù)列; ( )
?、奕?，則 成等差數(shù)列; ( )
⑦若 ，則數(shù)列 成等差數(shù)列; ( )
⑧等差數(shù)列是相鄰兩項(xiàng)中后項(xiàng)與前項(xiàng)之差等于非零常數(shù)的數(shù)列; ( )
?、岬炔顢?shù)列的公差是該數(shù)列中任何相鄰兩項(xiàng)的差。 ( )
6、思考：如何證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列。
二、實(shí)戰(zhàn)操作：
例1、(1)求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項(xiàng).
(2) 是不是等差數(shù)列 中的項(xiàng)?如果是，是第幾項(xiàng)?
(3)已知數(shù)列 的公差 則
例2、已知數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 ，其中 為常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎?
例3、已知5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5，平方和為 求這5個(gè)數(shù)。
高中數(shù)學(xué)數(shù)列等差數(shù)列的概念教學(xué)設(shè)計(jì)
知能目標(biāo)解讀
1.通過實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念，并會(huì)用等差數(shù)列的概念判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列.
2.探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法.
3.體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，能用函數(shù)的觀點(diǎn)解決等差數(shù)列問題.
4.掌握等差中項(xiàng)的定義，并能運(yùn)用它們解決問題.
5.能用等差數(shù)列的知識(shí)解決一些實(shí)際應(yīng)用問題.
重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥
重點(diǎn)：等差數(shù)列的概念.
難點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其運(yùn)用.
學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)
1.等差數(shù)列的定義
(1)關(guān)于等差數(shù)列定義的理解，關(guān)鍵注意以下幾個(gè)方面：
①如果一個(gè)數(shù)列，不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)起或第4項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列.
?、谝粋€(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差盡管等于常數(shù)，這個(gè)數(shù)列也不一定是等差數(shù)列，因?yàn)檫@些常數(shù)不一定相同，當(dāng)這些常數(shù)不同時(shí)，此數(shù)列不是等差數(shù)列.
?、矍蠊顣r(shí)，要注意相鄰兩項(xiàng)相減的順序.d=an+1-an(n∈N+)或者d=an-an-1 (n∈N+且n≥2).
(2)如何證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列?
要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的定義，只需證明對(duì)任意正整數(shù)n,an+1-an是同
一個(gè)常數(shù)(或an-an-1 (n>1)是同一個(gè)常數(shù)).這里所說的常數(shù)是指一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù).
注意:判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的定義式：an+1-an=d(d為常數(shù)).若證明一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，可舉一個(gè)特例進(jìn)行否定，也可以證明an+1-an或an-an-1 (n>1)不是常數(shù)，而是一個(gè)與n有關(guān)的變數(shù)即可.
2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
(1)通項(xiàng)公式的推導(dǎo)常用方法：
方法一(疊加法)：∵{an}是等差數(shù)列，
∴an-an-1=d,an-1-an-2=d,
an-2-an-3=d,…,
a3-a2=d,a2-a1=d.
將以上各式相加得：an-a1=(n-1)d,
∴an=a1+(n-1)d.
方法二(迭代法)：∵{an}是等差數(shù)列，
∴an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=…=a1+(n-1)d.
即an=a1+(n-1)d.
方法三(逐差法)：∵{an}是等差數(shù)列，則有
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.
注意：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法是以后解決數(shù)列題的常用方法，應(yīng)注意體會(huì)并應(yīng)用.
(2)通項(xiàng)公式的變形公式
在等差數(shù)列{an}中，若m，n∈N+，則an=am+(n-m)d.推導(dǎo)如下：∵對(duì)任意的m,n∈N+，在等差數(shù)列中，有
am=a1+(m-1)d ①
an=a1+(n-1)d ?、?/p>
由②-①得an-am=(n-m)d,
∴an=am+(n-m)d.
注意：將等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d變形整理可得an=dn+a1-d，從函數(shù)角度來看，an=dn+(a1-d)是關(guān)于n的一次函數(shù)(d≠0時(shí))或常數(shù)函數(shù)(d=0時(shí))，其圖像是一條射線上一些間距相等的點(diǎn)，其中公差d是該射線所在直線的斜率，從上面的變形公式可以知道，d= (n≠m).
(3)通項(xiàng)公式的應(yīng)用
①利用通項(xiàng)公式可以求出首項(xiàng)與公差;
?、诳梢杂墒醉?xiàng)與公差求出等差數(shù)列中的任意一項(xiàng);
③若某數(shù)為等差數(shù)列中的一項(xiàng)，可以利用通項(xiàng)公式求出項(xiàng)數(shù).
3.從函數(shù)角度研究等差數(shù)列的性質(zhì)與圖像
由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可知其圖像是直線y=dx+(a1-d)上的一些等間隔的點(diǎn)，這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)是些正整數(shù)，其中公差d是該直線的斜率，即自變量每增加1，函數(shù)值增加d.
當(dāng)d>0時(shí)，{an}為遞增數(shù)列，如圖(甲)所示.
當(dāng)d<0時(shí)，{an}為遞減數(shù)列，如圖(乙)所示.
當(dāng)d=0時(shí)，{an}為常數(shù)列，如圖(丙)所示.
4.等差中項(xiàng)
如果在數(shù)a與b之間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，
那么A叫做數(shù)a與b的等差中項(xiàng).
注意:(1)等差中項(xiàng)A= a,A,b成等差數(shù)列;
(2)若a,b,c成等差數(shù)列，那么b= ，2b=a+c,b-a=c-b,a-b=b-c都是等價(jià)的;
(3)用遞推關(guān)系an+1= (an+an+2)給出的數(shù)列是等差數(shù)列，an+1是它的前一項(xiàng)an與后一項(xiàng)an+2的等差中項(xiàng).
知能自主梳理
1.等差數(shù)列
一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的 是 ，我們稱這樣的數(shù)列為等差數(shù)列.
2.等差中項(xiàng)
如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a,A,b成等差數(shù)列，那么A叫做 .
3.等差數(shù)列的判斷方法
(1)要證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列，只要證明：當(dāng)n≥2時(shí)， .
(2)如果an+1= 對(duì)任意的正整數(shù)n都成立，那么數(shù)列{an}是 .
(3)若a,A,b成等差數(shù)列，則A= .
4.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ，它的推廣通項(xiàng)公式為 .
5.等差數(shù)列的單調(diào)性
當(dāng)d>0時(shí)，{an}是 數(shù)列;當(dāng)d=0時(shí)，{an}是 數(shù)列;當(dāng)d<0時(shí)，{an｝是 數(shù)列.
[答案] 1.差 同一個(gè)常數(shù)
2.a與b的等差中項(xiàng)
3.(1)an-an-1=d(常數(shù)) (2)等差數(shù)列 (3)
4.an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
5.遞增 ?！∵f減
思路方法技巧
命題方向 等差數(shù)列的定義及應(yīng)用
[例1] 判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列.
(1)an=3n+2;
(2)an=n2+n.
[分析] 利用等差數(shù)列定義，看an+1-an是否為常數(shù)即可.
[解析] (1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N+).由n的任意性知，這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列.
(2)an+1-an=(n+1) 2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常數(shù)，所以這個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列.
[說明] 利用定義法判斷等差數(shù)列的關(guān)鍵是看an+1-an得到的結(jié)論是否是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，若是，即為等差數(shù)列，若不是，則不是等差數(shù)列.至于它到底是一個(gè)什么樣的數(shù)列，這些不再是我們研究的范疇.
變式應(yīng)用1 試判斷數(shù)列{cn｝，cn= 是否為等差數(shù)列.
? 2n-5 n≥2
[解析] ∵c2-c1=-1-1=-2,
cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2(n≥2).
∴cn+1-cn(n≥1)不等于同一個(gè)常數(shù)，不符合等差數(shù)列定義.
∴{cn}不是等差數(shù)列.
命題方向 等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用
[例2] 已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a5=11,a8=5,求a11.
[分析] 利用通項(xiàng)公式先求出a1和d，再求a11，也可以利用通項(xiàng)公式的變形形式an=am+(n-m)d求解.
[解析] 解法一：設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及已知，得
a1+4d=11 a1=19
解得 .
a1+7d=5 d=-2
∴a11=19+(11-1)×(-2)=-1.
解法二：∵a8=a5+(8-5)d,
∴d= = =-2.
∴a11=a8+(11-8)d=5+3×(-2)=-1.
[說明] (1)對(duì)于解法一，根據(jù)方程的思想，應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式先求出a1和d，確定通項(xiàng)，此法也稱為基本量法.
(2)對(duì)于解法二，根據(jù)通項(xiàng)公式的變形公式為：am=an+(m-n)d,m,n∈N+，進(jìn)一步變形為d= ，應(yīng)注意掌握對(duì)它的靈活應(yīng)用.
變式應(yīng)用2 已知等差數(shù)列{an}中，a10=29,a21=62,試判斷91是否為此數(shù)列中的項(xiàng).
a10=a1+9d=29
[解析] 設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則有 ，
a21=a1+20d=62
解得a1=2,d=3.
∴an=2+(n-1)×3=3n-1.
令an=3n-1=91,得n= N+.
∴91不是此數(shù)列中的項(xiàng).
命題方向 等差中項(xiàng)的應(yīng)用
[例3] 已知a,b,c成等差數(shù)列，那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差數(shù)列?
[分析] 已知a,b,c成等差數(shù)列，由等差中項(xiàng)的定義，可知a+c=2b,然后要證其他三項(xiàng)a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差數(shù)列，同樣考慮等差中項(xiàng).當(dāng)然需用到已知條件a+c=2b.
[解析] 因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列，所以a+c=2b,
又a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)
=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)
=a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0,
所以a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a),
所以a2(a+c),b2(c+a),c2(a+b)成等差數(shù)列.
[說明] 本題主要考查等差中項(xiàng)的應(yīng)用，如果a,b,c成等差數(shù)列，則有a+c=2b;反之，若a+c=2b,則a,b,c成等差數(shù)列.
變式應(yīng)用3 已知數(shù)列{xn｝的首項(xiàng)x1=3,通項(xiàng)xn=2np+nq(n∈N+,p,q為常數(shù))，且x1、x4、x5成等差數(shù)列.求：p,q的值.
[分析] 由x1、x4、x5成等差數(shù)列得出一個(gè)關(guān)于p,q的等式，結(jié)合x1=3推出2p+q=3,從而得到p,q.
[解析] 由x1=3,得2p+q=3, ?、?/p>
又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得
3+25p+5q=25p+8q, ?、?/p>
由①②得q=1,∴p=1.
[說明] 若三數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，則a+c=2b,即b為a,c的等差中項(xiàng)，這個(gè)結(jié)論在已知等差數(shù)列的題中經(jīng)常用到.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向 等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
[例4] 某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第1年獲利200萬元，從第2年起由于市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)等方面的原因，利潤(rùn)每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律如果公司不開發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營(yíng)策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損?
高中數(shù)學(xué)數(shù)列一般概念教學(xué)設(shè)計(jì)
教學(xué)目的：
⒈理解數(shù)列及其有關(guān)概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系.
⒉了解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會(huì)用通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的任意一項(xiàng)
⒊對(duì)于比較簡(jiǎn)單的數(shù)列，會(huì)根據(jù)其前幾項(xiàng)寫出它的個(gè)通項(xiàng)公式
教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列及其有關(guān)概念，通項(xiàng)公式及其應(yīng)用，前n 項(xiàng)和與an的關(guān)系
教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)一些數(shù)列的前幾項(xiàng)抽象、歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式
教學(xué)過程：
一、 復(fù)習(xí)引入：(課件第1頁)
觀察這些例子，看它們有何共同特點(diǎn)?(啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列定義)
上述例子的共同特點(diǎn)是：⑴均是一列數(shù);⑵有一定次序.
從而引出數(shù)列及有關(guān)定義
二、 講解新課： 數(shù)列的相關(guān)概念(課件第2頁)
例如，上述例子均是數(shù)列，其中①中，“1”是這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)(或首項(xiàng))，“ ”是這個(gè)數(shù)列中的第4項(xiàng).
結(jié)合上述例子，幫助學(xué)生理解數(shù)列及項(xiàng)的定義. ②中，這是一個(gè)數(shù)列，它的首項(xiàng)是“1”，3是這個(gè)數(shù)列的第“3”項(xiàng)，等等。
下面我們?cè)賮砜催@些數(shù)列的每一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號(hào)是否有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系?這一關(guān)系可否用一個(gè)公式表示?(引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)列與項(xiàng)的定義，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式)對(duì)于上面的數(shù)列○5，第一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號(hào)有這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系：
這個(gè)數(shù)的第一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號(hào)可用一個(gè)公式： 來表示其對(duì)應(yīng)關(guān)系
即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出該數(shù)列相應(yīng)的各項(xiàng)
結(jié)合上述其他例子，練習(xí)找其對(duì)應(yīng)關(guān)系
如：數(shù)列①：
注意：⑴并不是所有數(shù)列都能寫出其通項(xiàng)公式，如上述數(shù)列○3;
?、埔粋€(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)是不唯一的，如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，…它的通項(xiàng)公式可以是 ，也可以是 .
?、菙?shù)列通項(xiàng)公式的作用：①求數(shù)列中任意一項(xiàng);②檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項(xiàng)。
數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式.
四、課堂練習(xí)：五、課后作業(yè)： (課件第5頁)
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