高中數學數列有哪些教學設計
高中數學數列有哪些教學設計
教案在今天推行素質教育、實施新課程改革中重要性日益突出，在教師的教學活動中起著非常關鍵的作用。以下是學習啦小編分享給大家的高中數學數列教學設計，希望可以幫到你!
高中數學數列教學設計
一、預習問題：
1、等差數列的定義：一般地，如果一個數列從 起，每一項與它的前一項的差等于同一個 ，那么這個數列就叫等差數列，這個常數叫做等差數列的 ， 通常用字母 表示。
2、等差中項：若三個數 組成等差數列，那么A叫做 與 的 ，
即 或 。
3、等差數列的單調性：等差數列的公差 時，數列為遞增數列; 時，數列為遞減數列; 時，數列為常數列;等差數列不可能是 。
4、等差數列的通項公式： 。
5、判斷正誤：
①1，2，3，4，5是等差數列; ( )
?、?，1，2，3，4，5是等差數列; ( )
?、蹟盗?，4，2，0是公差為2的等差數列; ( )
?、軘盗?是公差為 的等差數列; ( )
?、輸盗?是等差數列; ( )
⑥若 ，則 成等差數列; ( )
⑦若 ，則數列 成等差數列; ( )
⑧等差數列是相鄰兩項中后項與前項之差等于非零常數的數列; ( )
?、岬炔顢盗械墓钍窃摂盗兄腥魏蜗噜弮身椀牟?。 ( )
6、思考：如何證明一個數列是等差數列。
二、實戰(zhàn)操作：
例1、(1)求等差數列8,5,2,…的第20項.
(2) 是不是等差數列 中的項?如果是，是第幾項?
(3)已知數列 的公差 則
例2、已知數列 的通項公式為 ，其中 為常數，那么這個數列一定是等差數列嗎?
例3、已知5個數成等差數列，它們的和為5，平方和為 求這5個數。
高中數學數列等差數列的概念教學設計
知能目標解讀
1.通過實例，理解等差數列的概念，并會用等差數列的概念判斷一個數列是否為等差數列.
2.探索并掌握等差數列的通項公式的求法.
3.體會等差數列與一次函數的關系，能用函數的觀點解決等差數列問題.
4.掌握等差中項的定義，并能運用它們解決問題.
5.能用等差數列的知識解決一些實際應用問題.
重點難點點撥
重點：等差數列的概念.
難點：等差數列的通項公式及其運用.
學習方法指導
1.等差數列的定義
(1)關于等差數列定義的理解，關鍵注意以下幾個方面：
?、偃绻粋€數列，不是從第2項起，而是從第3項起或第4項起，每一項與它的前一項的差是同一個常數，那么這個數列不是等差數列.
?、谝粋€數列從第2項起，每一項與其前一項的差盡管等于常數，這個數列也不一定是等差數列，因為這些常數不一定相同，當這些常數不同時，此數列不是等差數列.
?、矍蠊顣r，要注意相鄰兩項相減的順序.d=an+1-an(n∈N+)或者d=an-an-1 (n∈N+且n≥2).
(2)如何證明一個數列是等差數列?
要證明一個數列是等差數列，根據等差數列的定義，只需證明對任意正整數n,an+1-an是同
一個常數(或an-an-1 (n>1)是同一個常數).這里所說的常數是指一個與n無關的常數.
注意:判斷一個數列是等差數列的定義式：an+1-an=d(d為常數).若證明一個數列不是等差數列，可舉一個特例進行否定，也可以證明an+1-an或an-an-1 (n>1)不是常數，而是一個與n有關的變數即可.
2.等差數列的通項公式
(1)通項公式的推導常用方法：
方法一(疊加法)：∵{an}是等差數列，
∴an-an-1=d,an-1-an-2=d,
an-2-an-3=d,…,
a3-a2=d,a2-a1=d.
將以上各式相加得：an-a1=(n-1)d,
∴an=a1+(n-1)d.
方法二(迭代法)：∵{an}是等差數列，
∴an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=…=a1+(n-1)d.
即an=a1+(n-1)d.
方法三(逐差法)：∵{an}是等差數列，則有
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.
注意：等差數列通項公式的推導方法是以后解決數列題的常用方法，應注意體會并應用.
(2)通項公式的變形公式
在等差數列{an}中，若m，n∈N+，則an=am+(n-m)d.推導如下：∵對任意的m,n∈N+，在等差數列中，有
am=a1+(m-1)d ?、?/p>
an=a1+(n-1)d ②
由②-①得an-am=(n-m)d,
∴an=am+(n-m)d.
注意：將等差數列的通項公式an=a1+(n-1)d變形整理可得an=dn+a1-d，從函數角度來看，an=dn+(a1-d)是關于n的一次函數(d≠0時)或常數函數(d=0時)，其圖像是一條射線上一些間距相等的點，其中公差d是該射線所在直線的斜率，從上面的變形公式可以知道，d= (n≠m).
(3)通項公式的應用
?、倮猛椆娇梢郧蟪鍪醉椗c公差;
?、诳梢杂墒醉椗c公差求出等差數列中的任意一項;
?、廴裟硵禐榈炔顢盗兄械囊豁棧梢岳猛椆角蟪鲰棓?
3.從函數角度研究等差數列的性質與圖像
由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可知其圖像是直線y=dx+(a1-d)上的一些等間隔的點，這些點的橫坐標是些正整數，其中公差d是該直線的斜率，即自變量每增加1，函數值增加d.
當d>0時，{an}為遞增數列，如圖(甲)所示.
當d<0時，{an}為遞減數列，如圖(乙)所示.
當d=0時，{an}為常數列，如圖(丙)所示.
4.等差中項
如果在數a與b之間插入一個數A，使a，A，b成等差數列，
那么A叫做數a與b的等差中項.
注意:(1)等差中項A= a,A,b成等差數列;
(2)若a,b,c成等差數列，那么b= ，2b=a+c,b-a=c-b,a-b=b-c都是等價的;
(3)用遞推關系an+1= (an+an+2)給出的數列是等差數列，an+1是它的前一項an與后一項an+2的等差中項.
知能自主梳理
1.等差數列
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與前一項的 是 ，我們稱這樣的數列為等差數列.
2.等差中項
如果在a與b中間插入一個數A，使a,A,b成等差數列，那么A叫做 .
3.等差數列的判斷方法
(1)要證明數列{an}是等差數列，只要證明：當n≥2時， .
(2)如果an+1= 對任意的正整數n都成立，那么數列{an}是 .
(3)若a,A,b成等差數列，則A= .
4.等差數列的通項公式
等差數列的通項公式為 ，它的推廣通項公式為 .
5.等差數列的單調性
當d>0時，{an}是 數列;當d=0時，{an}是 數列;當d<0時，{an｝是 數列.
[答案] 1.差 同一個常數
2.a與b的等差中項
3.(1)an-an-1=d(常數) (2)等差數列 (3)
4.an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
5.遞增 ?！∵f減
思路方法技巧
命題方向 等差數列的定義及應用
[例1] 判斷下列數列是否為等差數列.
(1)an=3n+2;
(2)an=n2+n.
[分析] 利用等差數列定義，看an+1-an是否為常數即可.
[解析] (1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N+).由n的任意性知，這個數列為等差數列.
(2)an+1-an=(n+1) 2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常數，所以這個數列不是等差數列.
[說明] 利用定義法判斷等差數列的關鍵是看an+1-an得到的結論是否是一個與n無關的常數，若是，即為等差數列，若不是，則不是等差數列.至于它到底是一個什么樣的數列，這些不再是我們研究的范疇.
變式應用1 試判斷數列{cn｝，cn= 是否為等差數列.
? 2n-5 n≥2
[解析] ∵c2-c1=-1-1=-2,
cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2(n≥2).
∴cn+1-cn(n≥1)不等于同一個常數，不符合等差數列定義.
∴{cn}不是等差數列.
命題方向 等差數列通項公式的應用
[例2] 已知數列{an}為等差數列，且a5=11,a8=5,求a11.
[分析] 利用通項公式先求出a1和d，再求a11，也可以利用通項公式的變形形式an=am+(n-m)d求解.
[解析] 解法一：設數列{an}的首項為a1,公差為d，由等差數列的通項公式及已知，得
a1+4d=11 a1=19
解得 .
a1+7d=5 d=-2
∴a11=19+(11-1)×(-2)=-1.
解法二：∵a8=a5+(8-5)d,
∴d= = =-2.
∴a11=a8+(11-8)d=5+3×(-2)=-1.
[說明] (1)對于解法一，根據方程的思想，應用等差數列的通項公式先求出a1和d，確定通項，此法也稱為基本量法.
(2)對于解法二，根據通項公式的變形公式為：am=an+(m-n)d,m,n∈N+，進一步變形為d= ，應注意掌握對它的靈活應用.
變式應用2 已知等差數列{an}中，a10=29,a21=62,試判斷91是否為此數列中的項.
a10=a1+9d=29
[解析] 設等差數列的公差為d,則有 ，
a21=a1+20d=62
解得a1=2,d=3.
∴an=2+(n-1)×3=3n-1.
令an=3n-1=91,得n= N+.
∴91不是此數列中的項.
命題方向 等差中項的應用
[例3] 已知a,b,c成等差數列，那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差數列?
[分析] 已知a,b,c成等差數列，由等差中項的定義，可知a+c=2b,然后要證其他三項a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差數列，同樣考慮等差中項.當然需用到已知條件a+c=2b.
[解析] 因為a,b,c成等差數列，所以a+c=2b,
又a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)
=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)
=a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0,
所以a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a),
所以a2(a+c),b2(c+a),c2(a+b)成等差數列.
[說明] 本題主要考查等差中項的應用，如果a,b,c成等差數列，則有a+c=2b;反之，若a+c=2b,則a,b,c成等差數列.
變式應用3 已知數列{xn｝的首項x1=3,通項xn=2np+nq(n∈N+,p,q為常數)，且x1、x4、x5成等差數列.求：p,q的值.
[分析] 由x1、x4、x5成等差數列得出一個關于p,q的等式，結合x1=3推出2p+q=3,從而得到p,q.
[解析] 由x1=3,得2p+q=3, ?、?/p>
又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得
3+25p+5q=25p+8q, ?、?/p>
由①②得q=1,∴p=1.
[說明] 若三數a,b,c成等差數列，則a+c=2b,即b為a,c的等差中項，這個結論在已知等差數列的題中經常用到.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向 等差數列的實際應用
[例4] 某公司經銷一種數碼產品，第1年獲利200萬元，從第2年起由于市場競爭等方面的原因，利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律如果公司不開發(fā)新產品，也不調整經營策略，從哪一年起，該公司經銷這一產品將虧損?
高中數學數列一般概念教學設計
教學目的：
⒈理解數列及其有關概念，了解數列和函數之間的關系.
?、擦私鈹盗械耐椆剑猛椆綄懗鰯盗械娜我庖豁?/p>
?、硨τ诒容^簡單的數列，會根據其前幾項寫出它的個通項公式
教學重點：數列及其有關概念，通項公式及其應用，前n 項和與an的關系
教學難點：根據一些數列的前幾項抽象、歸納數列的通項公式
教學過程：
一、 復習引入：(課件第1頁)
觀察這些例子，看它們有何共同特點?(啟發(fā)學生發(fā)現數列定義)
上述例子的共同特點是：⑴均是一列數;⑵有一定次序.
從而引出數列及有關定義
二、 講解新課： 數列的相關概念(課件第2頁)
例如，上述例子均是數列，其中①中，“1”是這個數列的第1項(或首項)，“ ”是這個數列中的第4項.
結合上述例子，幫助學生理解數列及項的定義. ②中，這是一個數列，它的首項是“1”，3是這個數列的第“3”項，等等。
下面我們再來看這些數列的每一項與這一項的序號是否有一定的對應關系?這一關系可否用一個公式表示?(引導學生進一步理解數列與項的定義，從而發(fā)現數列的通項公式)對于上面的數列○5，第一項與這一項的序號有這樣的對應關系：
這個數的第一項與這一項的序號可用一個公式： 來表示其對應關系
即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出該數列相應的各項
結合上述其他例子，練習找其對應關系
如：數列①：
注意：⑴并不是所有數列都能寫出其通項公式，如上述數列○3;
?、埔粋€數列的通項公式有時是不唯一的，如數列：1，0，1，0，1，0，…它的通項公式可以是 ，也可以是 .
?、菙盗型椆降淖饔茫孩偾髷盗兄腥我庖豁?②檢驗某數是否是該數列中的一項。
數列的通項公式就是相應函數的解析式.
四、課堂練習：五、課后作業(yè)： (課件第5頁)
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