高中數(shù)學函數(shù)教學
高中數(shù)學函數(shù)教學
函數(shù)是整個高中階段的數(shù)學學習的一條主線，因此研究高中函數(shù)的教學設計具有重要意義。下面學習啦小編為你整理了高中數(shù)學函數(shù)教學，希望對你有幫助。
高中數(shù)學函數(shù)教學：冪函數(shù)
教學目標
1、通過對冪函數(shù)概念的學習以及對冪函數(shù)圖像和性質(zhì)的歸納與概括，讓學生體驗數(shù)學概念的形成過程，培養(yǎng)學生的抽象概括能力。
2、使學生理解并掌握冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)，并能初步運用所學知識解決有關問題，培養(yǎng)學生的靈活思維能力。
教學難點
冪函數(shù)圖像和性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程
教學重點
冪函數(shù)的性質(zhì)及運用
教學過程
一、 教學導入
數(shù)學和日常生活是密不可分的，觀察下列問題中的函數(shù)個有什么共同特征?
(1)如果李斯在超市買了每支1元的水筆n(支)，那么他應支付p=n元。這里p是n的函數(shù)。
(2)如果正方形的邊長a，那么正方形的面積為S=a2 ，這里S是a的函數(shù)。
(3)如果立方體的邊長a，那么立方體的體積為V=a3 ，這里V是a的函數(shù)。
(4)如果正方形的面積為S，那么這個正方形的邊長為a=S ，這里a是S的函數(shù)。
(5)如果壯壯t(s)內(nèi)騎車行進了1(km)，那么他騎車的平均速度為v=t-1 ( )，這里v是t的函數(shù)。
由學生討論，總結(jié)，即可得出：p=n，S=a2 ，V=a3 ，a=S ，v=t-1 都是自變量的若干次冪的形式。
這節(jié)課，我們將來共同學習另一種函數(shù)——冪函數(shù)(老師板書課題)
二、 講授新課
1、定義：一般地，函數(shù)y=xa 叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是實常數(shù)。
判斷一個函數(shù)是否是冪函數(shù)?注意：①是否為冪的形式;②自變量是冪的底數(shù)，指數(shù)可以是任意實數(shù)。
例1、(1)y=xa 與y=ax 一樣嗎?
(2)在函數(shù)y=x+2，y=1，y=x2+x，y=2x2+3，y= 中，哪幾個函數(shù)是冪函數(shù)?
(3)已知冪函數(shù)y=f(x)的圖像過點(2， )，試求出這個函數(shù)的解析式。
三、 課外作業(yè)
P49 習題2—5 A組 1、2
教學后記
本節(jié)課主要從五個具體冪函數(shù)中認識冪函數(shù)的一些性質(zhì)，畫五個冪函數(shù)的圖像并由圖像概括其性質(zhì)是教學中可能遇到的困難，所以要注意引導學生親自動手畫圖像、分組討論等形式，讓學生自己去探究，把主動權交給學生。
高中數(shù)學函數(shù)教學：指數(shù)函數(shù)
教學目標
1.使學生掌握的概念,圖象和性質(zhì).
(1)能根據(jù)定義判斷形如什么樣的函數(shù)是,了解對底數(shù)的限制條件的合理性,明確的定義域.
(2)能在基本性質(zhì)的指導下,用列表描點法畫出的圖象,能從數(shù)形兩方面認識的性質(zhì).
(3) 能利用的性質(zhì)比較某些冪形數(shù)的大小,會利用的圖象畫出形如 的圖象.
2. 通過對的概念圖象性質(zhì)的學習,培養(yǎng)學生觀察,分析歸納的能力,進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法.
3.通過對的研究,讓學生認識到數(shù)學的應用價值,激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.使學生善于從現(xiàn)實生活中數(shù)學的發(fā)現(xiàn)問題,解決問題.
教學建議
教材分析
(1) 是在學生系統(tǒng)學習了函數(shù)概念,基本掌握了函數(shù)的性質(zhì)的基礎上進行研究的,它是重要的基本初等函數(shù)之一,作為常見函數(shù),它既是函數(shù)概念及性質(zhì)的第一次應用,也是今后學習對數(shù)函數(shù)的基礎,同時在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的應用,所以應重點研究.
(2) 本節(jié)的教學重點是在理解定義的基礎上掌握的圖象和性質(zhì).難點是對底數(shù) 在 和 時,函數(shù)值變化情況的區(qū)分.
(3)是學生完全陌生的一類函數(shù),對于這樣的函數(shù)應怎樣進行較為系統(tǒng)的理論研究是學生面臨的重要問題,所以從的研究過程中得到相應的結(jié)論固然重要,但更為重要的是要了解系統(tǒng)研究一類函數(shù)的方法,所以在教學中要特別讓學生去體會研究的方法,以便能將其遷移到其他函數(shù)的研究.
教法建議
(1)關于的定義按照課本上說法它是一種形式定義即解析式的特征必須是 的樣子,不能有一點差異,諸如 , 等都不是.
(2)對底數(shù) 的限制條件的理解與認識也是認識的重要內(nèi)容.如果有可能盡量讓學生自己去研究對底數(shù),指數(shù)都有什么限制要求,教師再給予補充或用具體例子加以說明,因為對這個條件的認識不僅關系到對的認識及性質(zhì)的分類討論,還關系到后面學習對數(shù)函數(shù)中底數(shù)的認識,所以一定要真正了解它的由來.
關于圖象的繪制,雖然是用列表描點法,但在具體教學中應避免描點前的盲目列表計算,也應避免盲目的連點成線,要把表列在關鍵之處,要把點連在恰當之處,所以應在列表描點前先把函數(shù)的性質(zhì)作一些簡單的討論,取得對要畫圖象的存在范圍,大致特征,變化趨勢的大概認識后,以此為指導再列表計算,描點得圖象.
教學設計示例
課題
教學目標
1. 理解的定義,初步掌握的圖象,性質(zhì)及其簡單應用.
2. 通過的圖象和性質(zhì)的學習,培養(yǎng)學生觀察,分析,歸納的能力,進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法.
3. 通過對的研究,使學生能把握函數(shù)研究的基本方法,激發(fā)學生的學習興趣.
教學重點和難點
重點是理解的定義,把握圖象和性質(zhì).
難點是認識底數(shù)對函數(shù)值影響的認識.
教學過程
一. 引入新課
我們前面學習了指數(shù)運算,在此基礎上,今天我們要來研究一類新的常見函數(shù)-------.1.6.(板書)
這類函數(shù)之所以重點介紹的原因就是它是實際生活中的一種需要.比如我們看下面的問題:
問題1:某種細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,……一個這樣的細胞分裂 次后,得到的細胞分裂的個數(shù) 與 之間,構成一個函數(shù)關系,能寫出 與 之間的函數(shù)關系式嗎?
由學生回答: 與 之間的關系式,可以表示為 .
問題2:有一根1米長的繩子,第一次剪去繩長一半,第二次再剪去剩余繩子的一半,……剪了 次后繩子剩余的長度為 米,試寫出 與 之間的函數(shù)關系.
由學生回答: .
在以上兩個實例中我們可以看到這兩個函數(shù)與我們前面研究的函數(shù)有所區(qū)別,從形式上冪的形式,且自變量 均在指數(shù)的位置上,那么就把形如這樣的函數(shù)稱為.
一. 的概念(板書)
1.定義:形如 的函數(shù)稱為.(板書)
教師在給出定義之后再對定義作幾點說明.
2.幾點說明 (板書)
(1) 關于對 的規(guī)定:
教師首先提出問題:為什么要規(guī)定底數(shù)大于0且不等于1呢?(若學生感到有困難,可將問題分解為若 會有什么問題?如 ,此時 , 等在實數(shù)范圍內(nèi)相應的函數(shù)值不存在.
若 對于 都無意義,若 則 無論 取何值,它總是1,對它沒有研究的必要.為了避免上述各種情況的發(fā)生,所以規(guī)定 且 .
(2)關于的定義域 (板書)
教師引導學生回顧指數(shù)范圍,發(fā)現(xiàn)指數(shù)可以取有理數(shù).此時教師可指出,其實當指數(shù)為無理數(shù)時, 也是一個確定的實數(shù),對于無理指數(shù)冪,學過的有理指數(shù)冪的性質(zhì)和運算法則它都適用,所以將指數(shù)范圍擴充為實數(shù)范圍,所以的定義域為 .擴充的另一個原因是因為使她它更具代表更有應用價值.
(3)關于是否是的判斷(板書)
剛才分別認識了中底數(shù),指數(shù)的要求,下面我們從整體的角度來認識一下,根據(jù)定義我們知道什么樣的函數(shù)是,請看下面函數(shù)是否是.
(1) , (2) , (3)(4) , (5) .
學生回答并說明理由,教師根據(jù)情況作點評,指出只有(1)和(3)是,其中(3) 可以寫成 ,也是指數(shù)圖象.
最后提醒學生的定義是形式定義,就必須在形式上一摸一樣才行,然后把問題引向深入,有了定義域和初步研究的函數(shù)的性質(zhì),此時研究的關鍵在于畫出它的圖象,再細致歸納性質(zhì).
3.歸納性質(zhì)
作圖的用什么方法.用列表描點發(fā)現(xiàn),教師準備明確性質(zhì),再由學生回答.
函數(shù)
1.定義域 :
2.值域:
3.奇偶性 :既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
4.截距:在 軸上沒有,在 軸上為1.
對于性質(zhì)1和2可以兩條合在一起說,并追問起什么作用.(確定圖象存在的大致位置)對第3條還應會證明.對于單調(diào)性,我建議找一些特殊點.,先看一看,再下定論.對最后一條也是指導函數(shù)圖象畫圖的依據(jù).(圖象位于 軸上方,且與 軸不相交.)
在此基礎上,教師可指導學生列表,描點了.取點時還要提醒學生由于不具備對稱性,故 的值應有正有負,且由于單調(diào)性不清,所取點的個數(shù)不能太少.
此處教師可利用計算機列表描點,給出十組數(shù)據(jù),而學生自己列表描點,至少六組數(shù)據(jù).連點成線時,一定提醒學生圖象的變化趨勢(當 越小,圖象越靠近 軸, 越大,圖象上升的越快),并連出光滑曲線.
二.圖象與性質(zhì)(板書)
1.圖象的畫法:性質(zhì)指導下的列表描點法.
2.草圖:
當畫完第一個圖象之后,可問學生是否需要再畫第二個?它是否具有代表性?(教師可提示底數(shù)的條件是 且 ,取值可分為兩段)讓學生明白需再畫第二個,不妨取 為例.
此時畫它的圖象的方法應讓學生來選擇,應讓學生意識到列表描點不是唯一的方法,而圖象變換的方法更為簡單.即 = 與 圖象之間關于 軸對稱,而此時 的圖象已經(jīng)有了,具備了變換的條件.讓學生自己做對稱,教師借助計算機畫圖,在同一坐標系下得到 的圖象.
最后問學生是否需要再畫.(可能有兩種可能性,若學生認為無需再畫,則追問其原因并要求其說出性質(zhì),若認為還需畫,則教師可利用計算機再畫出如 的圖象一起比較,再找共性)
由于圖象是形的特征,所以先從幾何角度看它們有什么特征.教師可列一個表,如下:
以上內(nèi)容學生說不齊的,教師可適當提出觀察角度讓學生去描述,然后再讓學生將幾何的特征,翻譯為函數(shù)的性質(zhì),即從代數(shù)角度的描述,將表中另一部分填滿.
填好后,讓學生仿照此例再列一個 的表,將相應的內(nèi)容填好.為進一步整理性質(zhì),教師可提出從另一個角度來分類,整理函數(shù)的性質(zhì).
3.性質(zhì).
(1)無論 為何值, 都有定義域為 ,值域為 ,都過點 .
(2) 時, 在定義域內(nèi)為增函數(shù), 時, 為減函數(shù).
(3) 時, , 時, .
總結(jié)之后,特別提醒學生記住函數(shù)的圖象,有了圖,從圖中就可以能讀出性質(zhì).
三.簡單應用 (板書)
1.利用單調(diào)性比大小. (板書)
一類函數(shù)研究完它的概念,圖象和性質(zhì)后,最重要的是利用它解決一些簡單的問題.首先我們來看下面的問題.
例1. 比較下列各組數(shù)的大小
(1) 與 ; (2) 與 ;
(3) 與1 .(板書)
首先讓學生觀察兩個數(shù)的特點,有什么相同?由學生指出它們底數(shù)相同,指數(shù)不同.再追問根據(jù)這個特點,用什么方法來比較它們的大小呢?讓學生聯(lián)想,提出構造函數(shù)的方法,即把這兩個數(shù)看作某個函數(shù)的函數(shù)值,利用它的單調(diào)性比較大小.然后以第(1)題為例,給出解答過程.
解: 在 上是增函數(shù),且
< .(板書)
教師最后再強調(diào)過程必須寫清三句話:
(1) 構造函數(shù)并指明函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及相應的單調(diào)性.
(2) 自變量的大小比較.
(3) 函數(shù)值的大小比較.
后兩個題的過程略.要求學生仿照第(1)題敘述過程.
例2.比較下列各組數(shù)的大小
(1) 與 ; (2) 與 ;
(3) 與 .(板書)
先讓學生觀察例2中各組數(shù)與例1中的區(qū)別,再思考解決的方法.引導學生發(fā)現(xiàn)對(1)來說 可以寫成 ,這樣就可以轉(zhuǎn)化成同底的問題,再用例1的方法解決,對(2)來說 可以寫成 ,也可轉(zhuǎn)化成同底的,而(3)前面的方法就不適用了,考慮新的轉(zhuǎn)化方法,由學生思考解決.(教師可提示學生的函數(shù)值與1有關,可以用1來起橋梁作用)
最后由學生說出 >1, <1, > .
解決后由教師小結(jié)比較大小的方法
(1) 構造函數(shù)的方法: 數(shù)的特征是同底不同指(包括可轉(zhuǎn)化為同底的)
(2) 搭橋比較法: 用特殊的數(shù)1或0.
三.鞏固練習
練習:比較下列各組數(shù)的大小(板書)
(1) 與 (2) 與 ;
(3) 與 ; (4) 與 .解答過程略
四.小結(jié)
1.的概念
2.的圖象和性質(zhì)
3.簡單應用
五 .板書設計
探究活動
(1) 對于 的圖象和 的圖象大家都比較熟悉也能畫出它的圖象,現(xiàn)在如果將 和 的 圖象畫在同一坐標系中,你認為它們會有幾個交點呢?為什么?
答案：有兩個交點.
(2) A先生從今天開始每天給你10萬元,而你承擔如下任務:第一天給A先生1元,第二天給A先生2元,,第三天給A先生4元,第四天給A先生8元,依次下去,…,A先生要和你簽定15天的合同,你同意嗎?又A先生要和你簽定30天的合同,你能簽這個合同嗎?
答案：15天的合同可以簽,而30 天的合同不能簽.
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