初中等角三角形綜合知識(shí)歸納
初中等角三角形綜合知識(shí)歸納
幾何可以說占了初中數(shù)學(xué)的半壁江山，囊括了包括等角三角形在內(nèi)的無(wú)數(shù)重點(diǎn)知識(shí)、難點(diǎn)知識(shí)、無(wú)數(shù)的中考考點(diǎn)。為此，以下是學(xué)習(xí)啦小編分享給大家的初中等角三角形綜合知識(shí)，希望可以幫到你!
初中等角三角形綜合知識(shí)
第一章 圖形的初步認(rèn)識(shí)
考點(diǎn)一、線段垂直平分線，角的平分線，垂線
1、線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理
垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。
線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。 逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。
2、角的平分線及其性質(zhì)
一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。 角的平分線有下面的性質(zhì)定理：
(1)角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。
(2)到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。
3垂線的性質(zhì)：
性質(zhì)1：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。
性質(zhì)2：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)稱：垂線段最短。 考點(diǎn)二、平行線
1、平行線的概念
在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行。
4、平行線的性質(zhì)
(1)兩直線平行，同位角相等;(2)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等;(3)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。
考點(diǎn)三、投影與視圖
1、投影
投影的定義：用光線照射物體，在地面上或墻壁上得到的影子，叫做物體的投影。 平行投影：由平行光線(如太陽(yáng)光線)形成的投影稱為平行投影。
中心投影：由同一點(diǎn)發(fā)出的光線所形成的投影稱為中心投影。
2、視圖
當(dāng)我們從某一角度觀察一個(gè)實(shí)物時(shí)，所看到的圖像叫做物體的一個(gè)視圖。物體的三視圖特指主視圖、俯視圖、左視圖。
主視圖：在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖。
俯視圖：在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖。
左視圖：在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖，有時(shí)也叫做側(cè)視圖。
第二章 三角形
考點(diǎn)一、三角形
1、三角形的分類
三角形按邊的關(guān)系分類如下：
不等邊三角形
三角形 底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等邊三角形
三角形按角的關(guān)系分類如下：
直角三角形(有一個(gè)角為直角的三角形)
三角形 銳角三角形(三個(gè)角都是銳角的三角形)
斜三角形
鈍角三角形(有一個(gè)角為鈍角的三角形)
把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形。
2、三角形的三邊關(guān)系定理及推論
(1)三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。
推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。
3、三角形的內(nèi)角和定理及推論
三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°。
推論：
①直角三角形的兩個(gè)銳角互余。
②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的來(lái)兩個(gè)內(nèi)角的和。
③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。
注：在同一個(gè)三角形中：等角對(duì)等邊;等邊對(duì)等角;大角對(duì)大邊;大邊對(duì)大角。
4、三角形的面積
三角形的面積=1×底×高 2
考點(diǎn)二、全等三角形
1、全等三角形的概念
能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。。
2、三角形全等的判定
三角形全等的判定定理：
(1)邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS ”)
(2)角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA ”)
(3)邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS ”)。 直角三角形全等的判定：
對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL 定理(斜邊、直角邊定理)：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(可簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL ”)
3、全等變換
只改變圖形的位置，不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。
全等變換包括一下三種：
(1)平移變換：把圖形沿某條直線平行移動(dòng)的變換叫做平移變換。
(2)對(duì)稱變換：將圖形沿某直線翻折180°，這種變換叫做對(duì)稱變換。
(3)旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個(gè)位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換。 考點(diǎn)三、等腰三角形
1、等腰三角形的性質(zhì)
(1)等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：
定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角)
推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。
推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°。
2、三角形中的中位線
連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。
(1)三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個(gè)新的三角形。
(2)要會(huì)區(qū)別三角形中線與中位線。
三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。
三角形中位線定理的作用：
位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。
數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系。
常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：
結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的一半。
結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形。
結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形。
結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。
結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等。
第三章 解直角三角形
考點(diǎn)一、直角三角形的性質(zhì)
1、直角三角形的兩個(gè)銳角互余
2、在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。
3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
4直角三角形兩直角邊a ，b 的平方和等于斜邊c 的平方，即
a 2+b 2=c 2
5、攝影定理
在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中
項(xiàng)，每條直角邊是它們?cè)谛边吷系臄z影和斜邊的比例中項(xiàng)
∠ACB=90
CD 2=AD ∙BD
AC 2=AD ∙AB
CD ⊥BC 2=BD ∙AB
6、常用關(guān)系式
由三角形面積公式可得：
AB ∙CD=AC∙BC
考點(diǎn)二、銳角三角函數(shù)的概念 (3~8分)
1、如圖，在△ABC 中，∠C=90°
?、賡in A =∠A 的對(duì)邊a = 斜邊c
∠A 的鄰邊b = 斜邊c ②cos A =
?、踭an A =∠A 的對(duì)邊a = ∠A 的鄰邊b
∠A 的鄰邊b =
∠A 的對(duì)邊a ④cot A =
(1)互余關(guān)系：sinA=cos(90°—A) ，cosA=sin(90°—A) ，tanA=cot(90°—A) ，cotA=tan(90°—A)
(2)平方關(guān)系：sin A +cos A =1
(3)倒數(shù)關(guān)系：tanA ∙tan(90°—A)=1
(4)弦切關(guān)系：tanA=22sin A cos A
初中等角三角形做題技巧
一般來(lái)說考試中線段和角相等需要證明兩個(gè)三角形全等，故我們可以采取逆思維的方式。來(lái)想要證全等，則需要什么(AAS/ASA/SAS等)。在我看來(lái)，覺得先邊看題邊看圖，做到數(shù)形結(jié)合，弄明白題意，找出我們要求解的實(shí)質(zhì)的問題。例如要我們求線段相等或角相等，我們就要轉(zhuǎn)化成證明兩個(gè)三角形全等。我覺得分析題意很重要，一定要使學(xué)生學(xué)會(huì)分析，就如“授之以魚不如授之以漁。”
我們已經(jīng)具備了有關(guān)線的初步知識(shí)，轉(zhuǎn)而探索具有更美妙、更復(fù)雜性質(zhì)的形。對(duì)于三角形，一方面要研究一個(gè)圖形中不同元素(邊、角)間的性質(zhì)，另一方面要關(guān)注兩個(gè)圖形間的關(guān)系。兩個(gè)圖形關(guān)系的有關(guān)全等的內(nèi)容，則是平面幾何中的一個(gè)重點(diǎn)，是證明線段相等、角相等以及面積相等的有力工具。那么如何學(xué)好三角形全等的證明呢?這就要勤思考，小步走，進(jìn)行由易到難的訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)由模仿證明到獨(dú)立推理、由實(shí)(題目已有現(xiàn)成圖形)到虛(要自己畫圖形或需要添加輔助線)的升華。具體可分為三步走：
第一步，學(xué)會(huì)解決只證一次全等的簡(jiǎn)單問題，重在模仿。這期間要注意模仿課本例題的證明，使自己的證明格式標(biāo)準(zhǔn)，語(yǔ)言準(zhǔn)確，過程簡(jiǎn)練。如證明兩個(gè)三角形全等，一定要寫出在哪兩個(gè)三角形，這既方便批閱者，更為以后在復(fù)雜圖形中有意識(shí)去尋找需要的全等三角形打下基礎(chǔ);同時(shí)要注意頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，以防對(duì)應(yīng)關(guān)系出錯(cuò);證全等所需的三個(gè)條件，要用大括號(hào)括起來(lái);每一步要填注理由，訓(xùn)練思維的嚴(yán)密性。通過一段時(shí)間的訓(xùn)練，對(duì)證明方向明確、內(nèi)容變化少的題目，要能熟練地獨(dú)立證明，切實(shí)邁出堅(jiān)實(shí)的第一步。
第二步，能在一個(gè)題目中兩次用全等證明過渡性結(jié)論和最終結(jié)論，學(xué)會(huì)分析。在學(xué)習(xí)直角三角形全等、等腰三角形時(shí)逐步加深難度，學(xué)會(huì)一個(gè)題目中兩次證全等，特別要學(xué)會(huì)用分析法有條不紊地尋找證題途徑，分析法目的性強(qiáng)，條理清楚，結(jié)合綜合法，能有效解決較復(fù)雜的題目。同時(shí)，這時(shí)的題目一般都不只一種解法，要力求一題多解，比較優(yōu)劣，總結(jié)規(guī)律。
第三步，學(xué)會(huì)命題的證明，初步掌握添加輔助線的常用方法。命題的證明可全面錘煉數(shù)學(xué)語(yǔ)言(包括圖形語(yǔ)言)的運(yùn)用能力，輔助線則在已知和未知間架起一座溝通的橋梁，這都有一定的難度，切勿放松努力，前功盡棄。同時(shí)要熟悉一些基本圖形的性質(zhì)，如“角平分線+垂直=全等三角形”。證明全等不外乎要邊等、角等的條件，因此在平時(shí)學(xué)習(xí)中就要積累在哪些情況下存在或可推出邊等(或線段等)、角等。爛熟于心，應(yīng)用起來(lái)自然會(huì)得心應(yīng)手。
只要一步步扎實(shí)做好這些工作，就會(huì)在“邊邊角角”中發(fā)現(xiàn)幾何的奧妙，大增學(xué)習(xí)的興趣。通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。
初中三角形輔助線口訣
圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。
也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。
角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。
角平分線加垂線，三線合一試試看。
線段垂直平分線，常向兩端把線連。
線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。
線段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。
三角形中有中線，倍長(zhǎng)中線得全等。
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