什么是三角函數(shù)
什么是三角函數(shù)
三角函數(shù)是以角度(數(shù)學(xué)上最常用弧度制，下同)為自變量，角度對(duì)應(yīng)任意角終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)或其比值為因變量的函數(shù)。下面學(xué)習(xí)啦小編就給大家介紹三角函數(shù)的相關(guān)信息。
三角函數(shù)的定義
直角三角形三角函數(shù)定義
在直角三角形中，當(dāng)平面上的三點(diǎn)A、B、C的連線，AB、AC、BC，構(gòu)成一個(gè) 直角三角形，其中∠ACB為 直角。對(duì)∠BAC而言， 對(duì)邊(opposite)a=BC、 斜邊(hypotenuse)c=AB、鄰邊(adjacent)b=AC，則存在以下關(guān)系：
基本函數(shù) | 英文 | 縮寫 | 表達(dá)式 | 語(yǔ)言描述 | |
正弦函數(shù) | sine | sin | a/c | ∠A的對(duì)邊比斜邊 | |
余弦函數(shù) | cosine | cos | b/c | ∠A的鄰邊比斜邊 | |
正切函數(shù) | tangent | tan | a/b | ∠A的對(duì)邊比鄰邊 | |
余切函數(shù) | cotangent | cot | b/a | ∠A的鄰邊比對(duì)邊 | |
正割函數(shù) | secant | sec | c/b | ∠A的斜邊比鄰邊 | |
余割函數(shù) | cosecant | csc | c/a | ∠A的斜邊比對(duì)邊 |
注：正切函數(shù)、余切函數(shù)曾被寫作 、 現(xiàn)已不用這種寫法
變化規(guī)律
正弦值在
隨角度增大(減小)而增大(減小)，在
隨角度增大(減小)而減小(增大); 余弦值在
隨角度增大(減小)而增大(減小)，在
隨角度增大(減小)而減小(增大); 正切值在
隨角度增大(減小)而增大(減小); 余切值在
隨角度增大(減小)而減小(增大); 正割值在
隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小); 余割值在
隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)。
注：以上其他情況可類推，參考第五項(xiàng)：幾何性質(zhì)。
除了上述六個(gè)常見的函數(shù)，還有一些不常見的三角函數(shù)：
任意角三角函數(shù)定義：
在 平面直角坐標(biāo)系xOy中設(shè)∠β的始邊為x軸的正半軸，設(shè)點(diǎn)P(x，y)為∠β的終邊上不與原點(diǎn)O重合的任意一點(diǎn)，設(shè)r=OP，令∠β=∠α，則：
單位圓定義
六個(gè)三角函數(shù)也可以依據(jù) 半徑為1中心為原點(diǎn)的 單位圓來(lái)定義。單位圓定義在實(shí)際計(jì)算上沒(méi)有大的價(jià)值;實(shí)際上對(duì)多數(shù)角它都依賴于 直角三角形。但是 單位圓定義的確允許三角函數(shù)對(duì)所有 正數(shù)和 負(fù)數(shù)輻角都有定義，而不只是對(duì)于在 和 弧度之間的角。它也提供了一個(gè)圖像，把所有重要的三角函數(shù)都 包含了。根據(jù) 勾股定理， 單位圓的 方程是：對(duì)于圓上的任意點(diǎn) 。
圖像中給出了用 弧度度量的一些常見的角:逆時(shí)針?lè)较虻亩攘渴?正角，而順時(shí)針的度量是 負(fù)角。設(shè)一個(gè)過(guò) 原點(diǎn)的線，同 軸正半部分得到一個(gè)角 ，并與單位圓相交。這個(gè)交點(diǎn)的 和 坐標(biāo)分別等于 和 。圖像中的三角形確保了這個(gè)公式;半徑等于斜邊且長(zhǎng)度為1，所以有 和 。單位圓可以被視為是通過(guò)改變鄰邊和對(duì)邊的長(zhǎng)度，但保持斜邊等于 1的一種查看無(wú)限個(gè)三角形的方式。
對(duì)于大于 或小于等于 的角度，可直接繼續(xù)繞單位圓旋轉(zhuǎn)。在這種方式下，正弦和余弦變成了周期為 的 周期函數(shù)：對(duì)于任何角度 和任何 整數(shù) 。
周期函數(shù)的 最小正周期叫做這個(gè)函數(shù)的“ 基本周期”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圓，也就是 2π弧度或 360°;正切或余切的基本周期是半圓，也就是 π 弧度或 180°。上面只有正弦和余弦是直接使用單位圓定義的，其他四個(gè)三角函數(shù)的定義如圖所示。
在 正切函數(shù)的圖像中，在角 π 附近變化緩慢，而在接近角 ( + 1/2)π 的時(shí)候變化迅速。正切函數(shù)的圖像在 θ = ( + 1/2)π 有垂直漸近線。這是因?yàn)樵?θ 從左側(cè)接進(jìn) ( + 1/2)π 的時(shí)候函數(shù)接近 正無(wú)窮，而從右側(cè)接近 ( + 1/2)π 的時(shí)候函數(shù)接近負(fù)無(wú)窮。
另一方面，所有基本三角函數(shù)都可依據(jù)中心為 的單位圓來(lái)定義，類似于歷史上使用的幾何定義。特別 是，對(duì)于這個(gè)圓的 弦 ，這里的 θ 是對(duì)向角的一半，sin 是 (半弦)，這是印度的 阿耶波多介入的定義。cos 是水平距離 ，versin =1-cos 是 。tan 是通過(guò) 的 切線的 線段 的長(zhǎng)度，所以這個(gè)函數(shù)才叫 正切。cot 是另一個(gè)切線段 。 sec = 和 csc = 是割線(與圓相交于兩點(diǎn))的線段，所以可以看作 沿著 A 的切線分別向水平和垂直軸的投影。 是 exsec = sec -1(正割在圓外的部分)。通過(guò)這些構(gòu)造，容易看出 正割和正切函數(shù)在 θ 接近 π/2的時(shí)候發(fā)散，而余割和余切在 θ 接近零的時(shí)候發(fā)散。
依據(jù)單位圓定義，我們可以做三個(gè) 有向線段( 向量)來(lái)表示正弦、余弦、正切的值。如圖所示，圓O是一個(gè)單位圓，P是 的 終邊與單位圓上的交點(diǎn)，M點(diǎn)是 在 軸的投影， (1,0)是圓O與x軸 正半軸的交點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)做過(guò)圓O的 切線。
那么向量 MP對(duì)應(yīng)的就是 的 正弦值，向量 OM對(duì)應(yīng)的就是余弦值。OP的 延長(zhǎng)線(或 反向延長(zhǎng)線)與 的切線的交點(diǎn)為T，則向量A T對(duì)應(yīng)的就是 正切值。向量的起止點(diǎn) 不能顛倒，因?yàn)槠浞较蚴怯幸饬x的。
借助線三角函數(shù)線，我們可以觀察到 第二象限角α的正弦值為正， 余弦值為負(fù)， 正切值為負(fù)。
級(jí)數(shù)定義
只使用幾何和 極限的性質(zhì)，可以證明正弦的 導(dǎo)數(shù)是余弦，余弦的導(dǎo)數(shù)是負(fù)的正弦。(在 微積分中，所有角度都以 弧度來(lái)度量)。我們可以接著使用 泰勒級(jí)數(shù)的理論來(lái)證明下列 恒等式對(duì)于所有 實(shí)數(shù) 都成立：
這些恒等式經(jīng)常被用做正弦和余弦函數(shù)的定義。它們經(jīng)常被用做三角函數(shù)的嚴(yán)格處理和應(yīng)用的起點(diǎn)(比如，在傅里葉級(jí)數(shù)中)，因?yàn)?無(wú)窮級(jí)數(shù)的理論可從 實(shí)數(shù)系的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)，不需要任何幾何方面的考慮。這樣，這些函數(shù)的可微性和 連續(xù)性便可以單獨(dú)從級(jí)數(shù)定義來(lái)確立。
其他級(jí)數(shù)可見于：
注：Un是n次上/下數(shù)， Bn是n次伯努利數(shù)，∣x∣<π/2。
三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
公式內(nèi)容
| 公式一
| 公式二 |
sin(2kπ+α)=sin α cos(2kπ+α)=cos α tan(2kπ+α)=tan α cot(2kπ+α)=cot α sec(2kπ+α)=sec α csc(2kπ+α)=csc α | sin(π+α)=-sin α cos(π+α)=-cos α tan(π+α)=tan α cot(π+α)=cot α sec(π+α)=-sec α csc(π+α)=-csc α |
| 公式三 | 公式四 |
sin(-α)=-sin α cos(-α)=cos α tan(-α)=-tan α cot(-α)=-cot α sec(-α)=sec α csc(-α)=-csc α | sin(π-α)=sin α cos(π-α)=-cos α tan(π-α)=-tan α cot(π-α)=-cot α sec(π-α)=-sec α csc(π-α)=csc α |
| 公式五 | 公式六
|
sin(α-π)=-sin α cos(α-π)=-cos α tan(α-π)=tan α cot(α-π)=cot α sec(α-π)=-sec α csc(α-π)=-csc α | sin(2π-α)=-sin α cos(2π-α)=cos α tan(2π-α)=-tan α cot(2π-α)=-cot α sec(2π-α)=sec α csc(2π-α)=-csc α |
| 公式七 | 公式八 |
sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=−sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sec(π/2+α)=-cscα csc(π/2+α)=secα | sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sec(π/2-α)=cscα csc(π/2-α)=secα |
| 公式九 | 公式十 |
sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sec(3π/2+α)=cscα csc(3π/2+α)=-secα | sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sec(3π/2-α)=-cscα csc(3π/2-α)=-secα |
推導(dǎo)方法
定名法則
90°的奇數(shù)倍+α的三角函數(shù)，其絕對(duì)值與α三角函數(shù)的絕對(duì)值互為 余函數(shù)。90°的 偶數(shù)倍+α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)絕對(duì)值相同。也就是“奇余偶同，奇變偶不變”。
定號(hào)法則
將α 看做銳角(注意是“看做”)，按所得的角的象限，取三角函數(shù)的符號(hào)。也就是“象限定號(hào)，符號(hào)看象限”(或?yàn)?ldquo; 奇變偶不變，符號(hào)看象限”)。
在Kπ/2中如果K為偶數(shù)時(shí)函數(shù)名不變，若為奇數(shù)時(shí)函數(shù)名變?yōu)橄喾吹暮瘮?shù)名。 正負(fù)號(hào)看原函數(shù)中α所在 象限的正負(fù)號(hào)。關(guān)于 正負(fù)號(hào)有個(gè)口訣;一全正，二正弦，三兩切，四余弦，即第一象限全部為正，第二象限角，正弦為正，第三象限，正切和余切為正，第四象限，余弦為正。或簡(jiǎn)寫為“ASTC”，即“all”“sin”“tan+cot”“cos”依次為正。還可簡(jiǎn)記為：sin上cos右tan/cot對(duì)角，即sin的正值都在x軸上方，cos的正值都在y軸右方，tan/cot 的正值斜著。
比如：90°+α。定名：90°是90°的 奇數(shù)倍，所以應(yīng)取余函數(shù);定號(hào)：將α看做銳角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦為正，余弦為負(fù)。所以sin(90°+α)=cosα , cos(90°+α)=-sinα 這個(gè)非常神奇，屢試不爽~
還有一個(gè)口訣“ 縱變橫不變，符號(hào)看象限”，例如：sin(90°+α)，90°的終邊在縱軸上，所以函數(shù)名變?yōu)橄喾吹暮瘮?shù)名，即cos，所以sin(90°+α)=cosα。
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