一次函數(shù)基本性質(zhì)
一次函數(shù)基本性質(zhì)
一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)課程中重要函數(shù)之一,也是中考必考內(nèi)容之一,容易與其他知識(shí)點(diǎn)相交匯綜合。什么是一次函數(shù) 呢？下面是學(xué)習(xí)啦小編整理的什么是一次函數(shù)，歡迎閱讀。
什么是一次函數(shù)
一般地，形如y=kx+b(k,b是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù)。其中x是自變量，y是因變量，k為一次項(xiàng)系數(shù)，y是x的函數(shù)。其圖象為一條直線。當(dāng)b=0時(shí)，y=kx+b即y=kx，原函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)(direct proportion function)，其函數(shù)圖象為一條通過(guò)原點(diǎn)的直線。所以說(shuō)正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)。
一次函數(shù)表示方法
一 。
一次函數(shù)是一條直線
y=kx (o，0)(1，k)
y=kx+b(0，b)與y軸的交點(diǎn)
1、解析式法
用含自變量x的式子表示函數(shù)的方法。
2、列表法
把一系列x的值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y列成一個(gè)表來(lái)表示的函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法。
3、圖像法
用圖象來(lái)表示函數(shù)關(guān)系
的方法叫做圖象法。
一次函數(shù)解析式
一次函數(shù)的解析式為：
其中k是比例系數(shù)，不能為0;x表示自變量。且k和b均為常數(shù)。先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知的系數(shù)，從而得出解析式的方法，叫做待定系數(shù)法。
一次函數(shù)基本性質(zhì)
1.y的變化值與對(duì)應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k
即：y=kx+b(k≠0) (k不等于0，且k，b為常數(shù))
2.當(dāng)x=0時(shí)，b為函數(shù)在y軸上的交點(diǎn),坐標(biāo)為(0,b).
當(dāng)y=0時(shí)，該函數(shù)圖象在x軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/k，0)
3.k為一次函數(shù)y=kx+b的斜率,k=tanΘ(角Θ為一次函數(shù)圖象與x軸正方向夾角,Θ≠90°)
形、取、象、交、減。
4.當(dāng)b=0時(shí)(即 y=kx)，一次函數(shù)圖象變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù).
5.函數(shù)圖象性質(zhì)：當(dāng)k相同，且b不相等，圖像平行;
當(dāng)k不同，且b相等，圖象相交于Y軸;
當(dāng)k互為負(fù)倒數(shù)時(shí)，兩直線垂直;
6.平移時(shí)：上加下減在末尾，左加右減在中間
圖像性質(zhì)
1.作法與圖形：通過(guò)如下3個(gè)步驟：
(1)列表：每確定自變量x的一個(gè)值，求出因變量y的一個(gè)值，并列表，
(2)描點(diǎn)：一般取兩個(gè)點(diǎn),根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”的道理;
(3)連線：可以作出一次函數(shù)的圖象——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖象只需知道2點(diǎn)，并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖象與x軸和y軸的交點(diǎn)分別是-與(-b/k，0)，0與b)
2.性質(zhì)：(1)在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P(x，y)，都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。(2)一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是(0，b)，與x軸總是交于(-b/k，0)正比例函數(shù)的圖象都是過(guò)原點(diǎn)。
3.函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變化過(guò)程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系。
4.k，b與函數(shù)圖象所在象限：
y=kx時(shí)(即b等于0，y與x成正比，此時(shí)的圖象是一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線)
當(dāng)k>0時(shí)，直線必通過(guò)一、三象限，y隨x的增大而增大;
當(dāng)k<0時(shí)，直線必通過(guò)二、四象限，y隨x的增大而減小。
y=kx+b(k,b為常數(shù)，k≠0)時(shí)：
當(dāng) k>0,b>0, 這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)一，二，三象限;
當(dāng) k>0,b<0, 這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)一，三，四象限;
當(dāng) k<0,b>0, 這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)一，二，四象限;
當(dāng) k<0,b<0, 這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)二，三，四象限。
當(dāng)b>0時(shí)，直線必通過(guò)一、二象限;
當(dāng)b<0時(shí)，直線必通過(guò)三、四象限。
特別地，當(dāng)b=0時(shí)，直線通過(guò)原點(diǎn)O(0，0)表示的是正比例函數(shù)的圖象。
這時(shí)，當(dāng)k>0時(shí)，直線只通過(guò)一、三象限，不會(huì)通過(guò)二、四象限。當(dāng)k<0時(shí)，直線只通過(guò)二、四象限，不會(huì)通過(guò)一、三象限。
4、特殊位置關(guān)系
當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線平行時(shí)，其函數(shù)解析式中K值(即一次項(xiàng)系數(shù))相等.
當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線垂直時(shí)，其函數(shù)解析式中K值互為負(fù)倒數(shù)(即兩個(gè)K值的乘積為-1.[1]
5.直線y=kx+b的圖象和性質(zhì)與k、b的關(guān)系如下表所示：
k>0,b>0：經(jīng)過(guò)第一、二、三象限
k>0,b<0：經(jīng)過(guò)第一、三、四象限
k>0,b=0：經(jīng)過(guò)第一、三象限(經(jīng)過(guò)原點(diǎn))
結(jié)論：k>0時(shí)，圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大。
k<0b>0：經(jīng)過(guò)第一、二、四象限
k<0,b<0：經(jīng)過(guò)第二、三、四象限
k<0,b=0：經(jīng)過(guò)第二、四象限(經(jīng)過(guò)原點(diǎn))
結(jié)論：k<0時(shí)，圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小。
6.將函數(shù)向上平移n格，函數(shù)解析式為y=kx+b+n，將函數(shù)向下平移n格，函數(shù)解析式為y=kx+b-n，將函數(shù)向左平移n格，函數(shù)解析式為y=k(x+n)+b，將函數(shù)向右平移n格，函數(shù)解析式為y=k(x-n)+b.
一次函數(shù)畫圖像
1.列表：表中給出一些自變量的值及與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。
2.描點(diǎn)：在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)。
一般地，y=kx+b(k≠0)的圖象過(guò)(0, b)和(-b/k, 0)兩點(diǎn)即可畫出。
正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象是過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線，一般取(0, 0)和(1, k)兩點(diǎn)畫出。
3.連線： 按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把描出的各點(diǎn)用直線連接。
一次函數(shù)函數(shù)的應(yīng)用
概括整合
(1)簡(jiǎn)單的一次函數(shù)問(wèn)題：①建立函數(shù)模型的方法;②分段函數(shù)思想的應(yīng)用。
(2)理清題意是采用分段函數(shù)解決問(wèn)題的關(guān)鍵。
常用公式
1.求函數(shù)圖象的k值：(y1-y2)/(x1-x2)，即k=tanα(α為直線與x軸正方向的夾角)
2.求與x軸平行線段的中點(diǎn)：(x1+x2)/2
3.求與y軸平行線段的中點(diǎn)：(y1+y2)/2
4.求任意線段的長(zhǎng)：√[(x1-x2)2+(y1-y2)2]
5.求兩個(gè)一次函數(shù)式圖像交點(diǎn)坐標(biāo)：解兩函數(shù)式
兩個(gè)一次函數(shù) y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，令y1=y2，得k1x+b1=k2x+b2。將解得的x=x0值代回y1=k1x+b1，y2=k2x+b2兩式的任一式，得到y(tǒng)=y0，則(x0, y0)即為 y1=k1x+b1與y2=k2x+b2之交點(diǎn)坐標(biāo)。
6.求任意2點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)坐標(biāo)：( (x1+x2)/2, (y1+y2)/2 )
7.求任意2點(diǎn)的連線的一次函數(shù)解析式：(x-x1)/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) (若分母為0，則分子為0)
(x,y)的正負(fù)性為 +，+(正，正)時(shí)該點(diǎn)在第一象限
(x,y)的正負(fù)性為 -，+(負(fù)，正)時(shí)該點(diǎn)在第二象限
(x,y)的正負(fù)性為 - ，-(負(fù)，負(fù))時(shí)該點(diǎn)在第三象限
(x,y)的正負(fù)性為 +，-(正，負(fù))時(shí)該點(diǎn)在第四象限
8.若兩條直線y1=k1x+b1，y2=k2x+b2互相平行，則k1=k2，b1≠b2
9.如兩條直線y1=k1x+b1，y2=k2x+b2互相垂直，則k1×k2=-1
10.
設(shè)原直線為y=f(x)=kx+b
y=f(x-n)=k(x-n)+b就是直線向右平移n個(gè)單位
y=f(x+n)=k(x+n)+b就是直線向左平移n個(gè)單位
y=f(x)+n=kx+b+n就是向上平移n個(gè)單位
y=f(x)-n=kx+b-n就是向下平移n個(gè)單位
口訣：左加右減相對(duì)于X，上加下減相對(duì)于b。
11.直線y=kx+b與x軸的交點(diǎn)：( ，0)，與y軸的交點(diǎn)：(0，)
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