一元一次方程解法步驟
一元一次方程是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn),在教學(xué)過(guò)程中教師和學(xué)生都有 有心無(wú)力 的感覺(jué),如何將一元一次方程與實(shí)際應(yīng)用更好地結(jié)合起來(lái)是教學(xué)一元一次方程中的核心問(wèn)題，什么是一元一次方程呢？怎么解呢？下面是學(xué)習(xí)啦小編整理的什么是一元一次方程，歡迎閱讀。
什么是一元一次方程
只含有一個(gè)未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)為1的等式叫做一元一次方程(linear equation in one unknown);使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解(solution)
一元一次方程基本信息
標(biāo)準(zhǔn)形式
一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式(即所有一元一次方程經(jīng)整理都能得到的形式)是ax=b( )。其中 是未知數(shù)的系數(shù)， 是常數(shù)， 是未知數(shù)。未知數(shù)一般常設(shè)為 , , 。
方程特點(diǎn)
(1)該方程為整式方程。
(2)該方程有且只含有一個(gè)未知數(shù)。
(3)該方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是1。
滿足以上三點(diǎn)的方程，就是一元一次方程。
判斷方法
要判斷一個(gè)方程是否為一元一次方程，先看它是否為整式方程。若是，再對(duì)它進(jìn)行整理。如果能整理為 的形式，則這個(gè)方程就為一元一次方程。里面要有等號(hào)，且分母里不含未知數(shù)。
變形公式
( ， 為常數(shù)， 為未知數(shù)，且 )
求根公式
一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b=0 (a≠0)
其求根公式為：x=-b/a
一元一次方程只有一個(gè)根
通常解法
去分母→去括號(hào)→移項(xiàng)→合并同類項(xiàng)→未知項(xiàng)系數(shù)化為1(即化為x=a的形式)
兩種類型
(1)總量等于各分量之和。將未知數(shù)放在等號(hào)左邊，常數(shù)放在右邊。如： 。
(2)等式兩邊都含未知數(shù)。如： ， 。
方程舉例
3y=-1
5z+2=5
2x=1
5a+4=13×32
都是一元一次方程。
一元一次方程起源
“方程”一詞來(lái)源于中國(guó)古算術(shù)書《九章算術(shù)》。在這本著作中，已經(jīng)列出了一元一次方程。法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾把未知數(shù)和常數(shù)通過(guò)代數(shù)運(yùn)算所組成的方程稱為代數(shù)方程。在19世紀(jì)以前，方程一直是代數(shù)的核心內(nèi)容。
主要用途
一元一次方程通?？捎糜谧鰬?yīng)用題，如工程問(wèn)題、行程問(wèn)題、分配問(wèn)題、盈虧問(wèn)題、積分表問(wèn)題、電話計(jì)費(fèi)問(wèn)題、數(shù)字問(wèn)題等。[1]
補(bǔ)充說(shuō)明
合并同類項(xiàng)
(1)依據(jù)：乘法分配律
(2)把所含字母相同且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)合并成一項(xiàng);常數(shù)計(jì)算后合并成一項(xiàng)
(3)合并時(shí)次數(shù)不變，只是系數(shù)相加減。
移項(xiàng)
(1)依據(jù)：等式的性質(zhì)一
(2)含有未知數(shù)的項(xiàng)變號(hào)后都移到方程左邊，把常數(shù)項(xiàng)移到右邊。
(3)把方程一邊某項(xiàng)移到另一邊時(shí)，一定要變號(hào)(如：移項(xiàng)時(shí)將+改為-)。
等式性質(zhì)
等式的性質(zhì)一：等式兩邊同時(shí)加一個(gè)數(shù)或減去同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，等式仍然成立。
等式的性質(zhì)二：等式兩邊同時(shí)乘或除以一個(gè)不為零的代數(shù)式，等式仍然成立。
等式的性質(zhì)三：等式兩邊同時(shí)乘方，等式仍然成立。
解方程都是依據(jù)等式的這三個(gè)性質(zhì)。
解的定義：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，也可以說(shuō)是滿足方程的一個(gè)數(shù)值
一元一次方程解法步驟
一、去分母
做法：在方程兩邊各項(xiàng)都乘以各分母的最小公倍數(shù);
依據(jù)：等式的性質(zhì)二
二、去括號(hào)
一般先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)，可根據(jù)乘法分配律(記住如括號(hào)外有減號(hào)或除號(hào)的話一定要變號(hào))
依據(jù)：乘法分配律
三、移項(xiàng)
做法：把方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊(一般是含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程左邊，而把常數(shù)項(xiàng)移到右邊)
依據(jù)：等式的性質(zhì)一
四、合并同類項(xiàng)
做法：把方程化成ax=b(a≠0)的形式;
依據(jù)：乘法分配律(逆用乘法分配律)
五、系數(shù)化為1
做法：在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x=b/a。
依據(jù)：等式的性質(zhì)二.
解方程口訣
去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)時(shí)，要變號(hào)，同類項(xiàng)，合并好，再把系數(shù)來(lái)除掉。
同解方程
如果兩個(gè)方程的解相同，那么這兩個(gè)方程叫做同解方程。
同解原理
(1)方程的兩邊都加或減同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)等式所得的方程與原方程是同解方程。
(2)方程的兩邊同乘或同除同一個(gè)不為0的數(shù)所得的方程與原方程是同解方程。
求根公式
由于一元一次方程是基本方程，故教科書上的解法只有上述的方法。
但對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)形式下的一元一次方程：ax+b=0 (a≠0)。
可得出求根公式 。
函數(shù)解法
由于一元一次函數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0(a，b為常量，a≠0)的形式，所以解一元一次方程就可以轉(zhuǎn)化為：
當(dāng)某一個(gè)函數(shù)值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值。從圖像上看，這就相當(dāng)于求直線y=kx+b(k，b為常量，k≠0)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值。
一元一次方程學(xué)習(xí)實(shí)踐
在小學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)較淺的一元一次方程，到了初中開始深入的了解一元一次方程的解法和利用一元一次方程解較難的應(yīng)用題。一元一次方程牽涉到許多的實(shí)際問(wèn)題，例如工程問(wèn)題、植樹問(wèn)題、比賽比分問(wèn)題、行程問(wèn)題、流水行船問(wèn)題、相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題、分段收費(fèi)問(wèn)題、盈虧問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題。
列方程時(shí)，要先設(shè)字母表示未知數(shù)，然后根據(jù)問(wèn)題中的相等關(guān)系，寫出含有未知數(shù)的等式，即方程(equation)。
例如：
(1)4x=24
(2)1700+150x=2450
(3)0.52x-(1-0.52)x=80
分析實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，利用其中的相等關(guān)系列出方程，是用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的一種方法。
一元一次方程教學(xué)設(shè)計(jì)
教學(xué)目標(biāo)
(1)使學(xué)生初步掌握一元一次方程解簡(jiǎn)單應(yīng)用題的方法和步驟，并會(huì)列出一元一次方程解簡(jiǎn)單的應(yīng)用題;
(2)培養(yǎng)學(xué)生觀察能力，提高他們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力;
(3)使學(xué)生初步養(yǎng)成正確思考問(wèn)題的良好習(xí)慣。
重點(diǎn)及難點(diǎn)
一元一次方程解簡(jiǎn)單的應(yīng)用題的方法和步驟。
過(guò)程設(shè)計(jì)
(1)從學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)提出問(wèn)題：在小學(xué)算術(shù)中，我們學(xué)習(xí)了用算術(shù)方法解決實(shí)際問(wèn)題的有關(guān)知識(shí)，那么，一個(gè)實(shí)際問(wèn)題能否應(yīng)用一元一次方程來(lái)解決呢?若能解決，怎樣解?用一元一次方程解應(yīng)用題與用算術(shù)方法解應(yīng)用題相比較，它有什么優(yōu)越性呢?
為了回答上述這幾個(gè)問(wèn)題，我們來(lái)看下面這個(gè)例題。
例1：某數(shù)的3倍減2等于某數(shù)與4的和，求某數(shù)。
(首先，用算術(shù)方法解，由學(xué)生回答，教師板書)
解法1：(4+2)÷(3-1)=3。
答：某數(shù)為3。
(其次，用代數(shù)方法來(lái)解，教師引導(dǎo)，學(xué)生口述完成)
解法2：設(shè)某數(shù)為x，則有3x-2=x+4。
解之，得x=3。
答：某數(shù)為3。
縱觀例1的這兩種解法，很明顯，算術(shù)方法不易思考，而應(yīng)用設(shè)未知數(shù)，列出方程并通過(guò)解方程求得應(yīng)用題的解的方法，有一種化難為易之感，這就是我們學(xué)習(xí)運(yùn)用一元一次方程解應(yīng)用題的目的之一。
我們知道方程是一個(gè)含有未知數(shù)的等式，而等式表示了一個(gè)相等關(guān)系。因此對(duì)于任何一個(gè)應(yīng)用題中提供的條件，應(yīng)首先從中找出一個(gè)相等關(guān)系，然后再將這個(gè)相等關(guān)系表示成方程。
本節(jié)課，我們就通過(guò)實(shí)例來(lái)說(shuō)明怎樣尋找一個(gè)相等的關(guān)系和把這個(gè)相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程的方法和步驟。
(2)師生共同分析、研究一元一次方程解簡(jiǎn)單應(yīng)用題的方法和步驟
例2.某面粉倉(cāng)庫(kù)存放的面粉運(yùn)出15%后，還剩余42 500千克，這個(gè)倉(cāng)庫(kù)原來(lái)有多少面粉?
師生共同分析：
1.本題中給出的已知量和未知量各是什么?
2.已知量與未知量之間存在著怎樣的相等關(guān)系?(原來(lái)重量-運(yùn)出重量=剩余重量)
3.若設(shè)原來(lái)面粉有x千克，則運(yùn)出面粉可表示為多少千克?利用上述相等關(guān)系，如何布列方程?
上述分析過(guò)程可列表如下：
解：設(shè)原來(lái)有x千克面粉，那么運(yùn)出了15%x千克，由題意，得x-15%x=42500，所以 x=50000。
答：原來(lái)有50000千克面粉。
此時(shí)，讓學(xué)生討論：本題的相等關(guān)系除了上述表達(dá)形式以外，是否還有其他表達(dá)形式?若有，是什么? (還有，原來(lái)重量=運(yùn)出重量+剩余重量;原來(lái)重量-剩余重量=運(yùn)出重量)
教師應(yīng)指出：
1.這兩種相等關(guān)系的表達(dá)形式與“原來(lái)重量-運(yùn)出重量=剩余重量”，雖形式上不同，但實(shí)質(zhì)是一樣的，可以任意選擇其中的一個(gè)相等關(guān)系來(lái)列方程
2.例2的解方程過(guò)程較為簡(jiǎn)捷，同學(xué)應(yīng)注意模仿.
依據(jù)例2的分析與解答過(guò)程，首先請(qǐng)同學(xué)們思考列一元一次方程解應(yīng)用題的方法和步驟;然后，采取提問(wèn)的方式，進(jìn)行反饋。
最后，根據(jù)學(xué)生總結(jié)的情況，教師總結(jié)如下：
1.仔細(xì)審題，透徹理解題意.即弄清已知量、未知量及其相互關(guān)系，并用字母(如x)表示題中的一個(gè)合理未知數(shù)
2.根據(jù)題意找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等關(guān)系.(這是關(guān)鍵一步);
3.根據(jù)相等關(guān)系，正確列出方程.即所列的方程應(yīng)滿足兩邊的量要相等;方程兩邊的代數(shù)式的單位要相同;題中條件應(yīng)充分利用，不能漏也不能將一個(gè)條件重復(fù)利用等;
4.求出所列方程的解;
5.檢驗(yàn)后明確地、完整地寫出答案.這里要求的檢驗(yàn)應(yīng)是，檢驗(yàn)所求出的解既能使方程成立，又能使應(yīng)用題有意義。
6.最好能用計(jì)算器再進(jìn)行一次驗(yàn)算。
教學(xué)手段
引導(dǎo)——活動(dòng)——討論[3]
教學(xué)方法
啟發(fā)式教學(xué)。
教學(xué)過(guò)程
主要概念：
1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。 2、一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的指數(shù)是1的方程叫做一元一次方程。 3、方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。 4、解方程：求方程的解的過(guò)程叫做解方程。
等式的性質(zhì)：
等式的性質(zhì)1：等式兩邊都加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等。
等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。
解一元一次方程的一般步驟及根據(jù)：
1.去分母——等式的性質(zhì)二
2.去括號(hào)——分配律
3.移項(xiàng)——等式的性質(zhì)一
4.合并——分配律
5.系數(shù)化為1——等式的性質(zhì)二
6.驗(yàn)根——把根分別代入方程的左右邊看求得的值是否相等
注意事項(xiàng)
(1)分母是小數(shù)時(shí)，根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把分母轉(zhuǎn)化為整數(shù);
(2)去分母時(shí)，方程兩邊各項(xiàng)都乘各分母的最小公倍數(shù)，此時(shí)不含分母的項(xiàng)切勿漏乘，分?jǐn)?shù)線相當(dāng)于括號(hào)，去分母后分子各項(xiàng)應(yīng)加括號(hào);
(3)去括號(hào)時(shí)，不要漏乘括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)，不要弄錯(cuò)符號(hào);
(4)移項(xiàng)時(shí)，切記要變號(hào)，不要丟項(xiàng)，有時(shí)先合并再移項(xiàng)，以免丟項(xiàng);
(5)系數(shù)化為1時(shí)，方程兩邊同乘以系數(shù)的倒數(shù)或同除以系數(shù)，不要弄錯(cuò)符號(hào);
(6)不要生搬硬套解方程的步驟，具體問(wèn)題具體分析，，找到最佳解法。[4]
(7)分、小數(shù)運(yùn)算時(shí)不能嫌麻煩。
看了什么是一元一次方程的人還看了：
1.初一上冊(cè)數(shù)學(xué)《一元一次方程》試題及答案
2.七年級(jí)數(shù)學(xué)一元一次方程方程應(yīng)用題歸類分析
3.初一上冊(cè)數(shù)學(xué)一元一次方程同步試題及答案
一元一次方程解法步驟
