什么是向量空間向量空間的定義
向量空間又稱線性空間，是線性代數(shù)的中心內(nèi)容和基本概念之一。那么你對(duì)向量空間了解多少呢?以下是由學(xué)習(xí)啦小編整理關(guān)于什么是向量空間的內(nèi)容，希望大家喜歡!
向量空間的簡(jiǎn)介
在解析幾何里引入向量概念后，使許多問題的處理變得更為簡(jiǎn)潔和清晰，在此基礎(chǔ)上的進(jìn)一步抽象化，形成了與域相聯(lián)系的向量空間概念。譬如，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的集合在定義適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算后構(gòu)成向量空間，在代數(shù)上處理是方便的。單變?cè)獙?shí)函數(shù)的集合在定義適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算后，也構(gòu)成向量空間，研究此類函數(shù)向量空間的數(shù)學(xué)分支稱為泛函分析。
向量空間它的理論和方法在科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。
向量空間的線性映射
若 V 和 W 都是域F上的向量空間，可以設(shè)定由V到W的線性變換或“線性映射”。這些由V到W的映射都有共同點(diǎn)，就是它們保持總和及標(biāo)量商數(shù)。這個(gè)集合包含所有由V到W的線性映射，以 L(V, W) 來描述，也是一個(gè)域F上的向量空間。當(dāng) V 及 W 被確定后，線性映射可以用矩陣來表達(dá)。
同構(gòu)是一對(duì)一的一張線性映射。如果在V 和W之間存在同構(gòu)，我們稱這兩個(gè)空間為同構(gòu);域F上每一n維向量空間都與向量空間F同構(gòu)。
一個(gè)在F場(chǎng)的向量空間加上線性映射就可以構(gòu)成一個(gè)范疇，即阿貝爾范疇。
向量空間的額外結(jié)構(gòu)
研究向量空間很自然涉及一些額外結(jié)構(gòu)。額外結(jié)構(gòu)如下：
一個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)向量空間加上長(zhǎng)度概念。就是范數(shù)稱為賦范向量空間。
一個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)向量空間加上長(zhǎng)度和角度的概念，稱為內(nèi)積空間。
一個(gè)向量空間加上拓?fù)鋵W(xué)符合運(yùn)算的(加法及標(biāo)量乘法是連續(xù)映射)稱為拓?fù)湎蛄靠臻g。
一個(gè)向量空間加上雙線性算子(定義為向量乘法)是個(gè)域代數(shù)。
向量空間的公理化定義
設(shè)F是一個(gè)域。一個(gè)F上的向量空間是一個(gè)集合V和兩個(gè)運(yùn)算：
向量加法: V + V → V, 記作 v + w, ∃ v, w∈V
標(biāo)量乘法: F × V → V, 記作 a·v, ∃a∈F, v∈V
符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)：
向量加法結(jié)合律：u + (v + w) = (u + v) + w;
向量加法交換律：v + w = w + v;
向量加法的單位元：V 里有一個(gè)叫做零向量的 0，∀ v ∈ V , v + 0 = v;
向量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V，使得 v + w = 0;
標(biāo)量乘法分配于向量加法上：a(v + w) = a v + a w;
標(biāo)量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v;
標(biāo)量乘法一致于標(biāo)量的域乘法: a(b v) = (ab)v;
標(biāo)量乘法有單位元: 1 v = v, 這里 1 是指域 F 的乘法單位元。
有些教科書還強(qiáng)調(diào)以下兩個(gè)公理：
V 閉合在向量加法下：v + w ∈ V
V 閉合在標(biāo)量乘法下：a v ∈ V
更抽象的說，一個(gè)F上的向量空間是一個(gè)F-模。V的成員叫作向量，而F的成員叫作標(biāo)量。若F是實(shí)數(shù)域R，V稱為實(shí)向量空間;若F是復(fù)數(shù)域C，V稱為復(fù)向量空間;若F是有限域，V稱為有限域向量空間;對(duì)一般域F，V稱為F-向量空間。
首4個(gè)公理是說明向量V在向量加法中是個(gè)阿貝爾群，余下的4個(gè)公理應(yīng)用于標(biāo)量乘法。
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