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什么是實數(shù)集實數(shù)集的公理

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  通俗地認為,通常包含所有有理數(shù)和無理數(shù)的集合就是實數(shù)集,通常用大寫字母R表示。那么你對實數(shù)集了解多少呢?以下是由學習啦小編整理關于什么是實數(shù)集的內(nèi)容,希望大家喜歡!

  實數(shù)集的簡介

  18世紀,微積分學在實數(shù)的基礎上發(fā)展起來。但當時的實數(shù)集并沒有精確的定義。直到1871年,德國數(shù)學家康托爾第一次提出了實數(shù)的嚴格定義。定義是由四組公理為基礎的:

  實數(shù)集的加法公理

  1.對于任意屬于集合R的元素a、b,可以定義它們的加法a+b,且a+b屬于R;

  1.加法有恒元0,且a+0=0+a=a(從而存在相反數(shù));

  1.加法有交換律,a+b=b+a;

  1.加法有結(jié)合律,(a+b)+c=a+(b+c)。

  實數(shù)集的乘法公理

  2.1對于任意屬于集合R的元素a、b,可以定義它們的乘法a·b,且a·b屬于R;

  2.2乘法有恒元1,且a·1=1·a=a(從而除0外存在倒數(shù));

  2.3乘法有交換律,a·b=b·a;

  2.4乘法有結(jié)合律,(a·b)·c=a·(b·c);

  2.5乘法對加法有分配率,即a·(b+c)=(b+c)·a=a·b+a·c。

  實數(shù)集的序公理

  3.1∀x、y∈R,x<y、x=y、x>y中有且只有一個成立;

  3.2若x<y,∀z∈R,x+z<y+z;

  3.3若x<y,z>0,則x·z<y·z;

  3.4傳遞性:若x<y,y<z,則x<z。

  實數(shù)集的完備公理

  (1)任何一個非空有上界的集合(包含于R)必有上確界。

  (2)設A、B是兩個包含于R的集合,且對任何x屬于A,y屬于B,都有x<y,那么必存在c屬于R,使得對任何x屬于A,y屬于B,都有x<c<y。

  符合以上四組公理的任何一個集合都叫做實數(shù)集,實數(shù)集的元素稱為實數(shù)。
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