什么是實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集的公理
通俗地認(rèn)為，通常包含所有有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的集合就是實(shí)數(shù)集，通常用大寫字母R表示。那么你對(duì)實(shí)數(shù)集了解多少呢?以下是由學(xué)習(xí)啦小編整理關(guān)于什么是實(shí)數(shù)集的內(nèi)容，希望大家喜歡!
實(shí)數(shù)集的簡(jiǎn)介
18世紀(jì)，微積分學(xué)在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)。但當(dāng)時(shí)的實(shí)數(shù)集并沒(méi)有精確的定義。直到1871年，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾第一次提出了實(shí)數(shù)的嚴(yán)格定義。定義是由四組公理為基礎(chǔ)的：
實(shí)數(shù)集的加法公理
1.對(duì)于任意屬于集合R的元素a、b，可以定義它們的加法a+b，且a+b屬于R;
1.加法有恒元0，且a+0=0+a=a(從而存在相反數(shù));
1.加法有交換律，a+b=b+a;
1.加法有結(jié)合律，(a+b)+c=a+(b+c)。
實(shí)數(shù)集的乘法公理
2.1對(duì)于任意屬于集合R的元素a、b，可以定義它們的乘法a·b，且a·b屬于R;
2.2乘法有恒元1，且a·1=1·a=a(從而除0外存在倒數(shù));
2.3乘法有交換律，a·b=b·a;
2.4乘法有結(jié)合律，(a·b)·c=a·(b·c);
2.5乘法對(duì)加法有分配率，即a·(b+c)=(b+c)·a=a·b+a·c。
實(shí)數(shù)集的序公理
3.1∀x、y∈R，x<y、x=y、x>y中有且只有一個(gè)成立;
3.2若x<y，∀z∈R，x+z<y+z;
3.3若x<y，z>0，則x·z<y·z;
3.4傳遞性：若x<y，y<z，則x<z。
實(shí)數(shù)集的完備公理
(1)任何一個(gè)非空有上界的集合(包含于R)必有上確界。
(2)設(shè)A、B是兩個(gè)包含于R的集合，且對(duì)任何x屬于A，y屬于B，都有x<y，那么必存在c屬于R，使得對(duì)任何x屬于A，y屬于B，都有x<c<y。
符合以上四組公理的任何一個(gè)集合都叫做實(shí)數(shù)集，實(shí)數(shù)集的元素稱為實(shí)數(shù)。
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