冪函數(shù)是什么意思有什么特性及性質(zhì)
一般地以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù)。那么你對冪函數(shù)了解多少呢?以下是由學(xué)習(xí)啦小編整理關(guān)于什么是冪函數(shù)，希望大家喜歡!
冪函數(shù)的介紹
例如函數(shù)y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1(注：y=x-1=1/x y=x0時(shí)x≠0)等都是冪函數(shù)。當(dāng)α取非零的有理數(shù)時(shí)是比較容易理解的，而對于α取無理數(shù)時(shí)，初學(xué)者則不大容易理解了。因此，在初等函數(shù)里，我們不要求掌握指數(shù)為無理數(shù)的問題，只需接受它作為一個(gè)已知事實(shí)即可，因?yàn)檫@涉及到實(shí)數(shù)連續(xù)性的極為深刻的知識(shí)。
冪函數(shù)的性質(zhì)
冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性;冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi);如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).
取正值
當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)y=xα有下列性質(zhì)：
a、圖像都經(jīng)過點(diǎn)(1,1)(0,0);
b、函數(shù)的圖像在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù);
c、在第一象限內(nèi)，α>1時(shí)，導(dǎo)數(shù)值逐漸增大;α=1時(shí)，導(dǎo)數(shù)為常數(shù);0<α<1時(shí)，導(dǎo)數(shù)值逐漸減小，趨近于0;
取負(fù)值
當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)y=xα有下列性質(zhì)：
a、圖像都通過點(diǎn)(1,1);
b、圖像在區(qū)間(0，+∞)上是減函數(shù);(內(nèi)容補(bǔ)充：若為X-2，易得到其為偶函數(shù)。利用對稱性，對稱軸是y軸，可得其圖像在區(qū)間(-∞，0)上單調(diào)遞增。其余偶函數(shù)亦是如此)
c、在第一象限內(nèi)，有兩條漸近線(即坐標(biāo)軸)，自變量趨近0，函數(shù)值趨近+∞，自變量趨近+∞，函數(shù)值趨近0。
取零
當(dāng)α=0時(shí)，冪函數(shù)y=xa有下列性質(zhì)：
a、y=x0的圖像是直線y=1去掉一點(diǎn)(0,1)。它的圖像不是直線。(x=0時(shí)，函數(shù)值沒意義)
冪函數(shù)的特性
對于α的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：
首先我們知道如果α=p/q，且p/q為既約分?jǐn)?shù)(即p，q互質(zhì))，q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(hào)下(x的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當(dāng)指數(shù)α是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)α=-k，則y=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制來源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：
α小于0時(shí)，x不等于0;
α的分母為偶數(shù)時(shí)，x不小于0;
α的分母為奇數(shù)時(shí)，x取R。
冪函數(shù)的定義域和值域
冪函數(shù)的一般形式是y=xⁿ，其中，n可為任何實(shí)數(shù)，但中學(xué)階段僅研究n為有理數(shù)的情形，這時(shí)可表示為y=x^(m/k)，其中m∈Z，k∈N*，且m，k互質(zhì)。特別，當(dāng)k=1時(shí)為整數(shù)指數(shù)冪。
(1)當(dāng)m，k都為正奇數(shù)時(shí)，如y=x，y=x³，y=x^(3/5)等，定義域、值域均為R，為奇函數(shù);
(2)當(dāng)m為負(fù)奇數(shù)，k為正奇數(shù)時(shí)，如y=x^(-1)=1/x，y=x^(-3)=1/x³，y=x^(-3/5)等，定義域、值域均為{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，為奇函數(shù);
(3)當(dāng)m為正奇數(shù)，k為正偶數(shù)時(shí)，如y=x^(1/2)，y=x^(3/4)等，定義域、值域均為[0，+∞)，為非奇非偶函數(shù);
(4)當(dāng)m為負(fù)奇數(shù)，k為正偶數(shù)時(shí)，如y=x^(-1/2)，y=x^(-3/4)等，定義域、值域均為(0，+∞)，為非奇非偶函數(shù);
(5)當(dāng)m為正偶數(shù)，k為正奇數(shù)時(shí)，如y=x²，y=x^(2/3)等，定義域?yàn)镽、值域?yàn)閇0，+∞)，為偶函數(shù);
(6)當(dāng)m為負(fù)偶數(shù)，k為正奇數(shù)時(shí)，如y=x^(-2)=1/x²，y=x^(-2/3)等，定義域?yàn)閧x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，值域?yàn)?0，+∞)，為偶函數(shù)。
冪函數(shù)的特殊情況
由于x大于0是對α的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在各象限的各自情況?？梢钥吹剑?/p>
(1)所有的圖像都通過(1，1)這點(diǎn).(α≠0) α>0時(shí) 圖象過點(diǎn)(
特殊性(2)：冪函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
特殊性(2)：冪函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
0，0)和(1，1)。
(2)單調(diào)區(qū)間：
當(dāng)α為整數(shù)時(shí)，α的正負(fù)性和奇偶性決定了函數(shù)的單調(diào)性：
?、佼?dāng)α為正奇數(shù)時(shí)，圖像在定義域?yàn)镽內(nèi)單調(diào)遞增;
?、诋?dāng)α為正偶數(shù)時(shí)，圖像在定義域?yàn)榈诙笙迌?nèi)單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增;
?、郛?dāng)α為負(fù)奇數(shù)時(shí)，圖像在第一三象限各象限內(nèi)單調(diào)遞減(但不能
冪函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(當(dāng)a為分?jǐn)?shù)時(shí))
冪函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(當(dāng)a為分?jǐn)?shù)時(shí))
說在定義域R內(nèi)單調(diào)遞減);
④當(dāng)α為負(fù)偶數(shù)時(shí)，圖像在第二象限上單調(diào)遞增，在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減。
當(dāng)α為分?jǐn)?shù)時(shí)，α的正負(fù)性和分母的奇偶性決定了函數(shù)的單調(diào)性：
?、佼?dāng)α>0，分母為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增;
②當(dāng)α>0，分母為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)在第一、三象限各象限內(nèi)單調(diào)遞增;
?、郛?dāng)α<0，分母為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減;
?、墚?dāng)α<0，分母為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)在第一、三象限各象限內(nèi)單調(diào)遞減(但不能說在定義域R內(nèi)單調(diào)遞減);
(3)當(dāng)α>1時(shí)，冪函數(shù)圖形下凹(豎拋);
當(dāng)0<α<1時(shí)，冪函數(shù)圖形上凸(橫拋)。
當(dāng)α<0時(shí)，圖像為雙曲線。
(4)在(0,1)上，冪函數(shù)中α越大，函數(shù)圖像越靠近x軸;在(1，﹢∞)上冪函數(shù)中α越大，函數(shù)圖像越遠(yuǎn)離x軸。
(5)當(dāng)α<0時(shí)，α越小，圖形傾斜程度越大。
(6)顯然冪函數(shù)無界限。
(7)α=2n(n為整數(shù)),該函數(shù)為偶函數(shù) {x|x≠0}。
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