什么是良序集良序集的性質(zhì)
什么是良序集良序集的性質(zhì)
設集合(S,≤)為一全序集，≤是其偏序關系，若對任意的S的非空子集，在其序下都有最小元素，則稱≤為良序關系，(S,≤)為良序集。以下是由學習啦小編整理關于什么是良序集的內(nèi)容，希望大家喜歡!
良序集的的例子及反例
1、自然數(shù)集在通常序下是良序集。
2、整數(shù)集在通常序下不是良序集，例如該集合本身就沒有一個最小元素。
3、整數(shù)的下列關系R是良序的：x R y，當且僅當下列條件之一成立：
x=0;
x是正數(shù)，而y是負數(shù);
x和y都是正數(shù)，而x≤y;
x和y都是負數(shù)，而y≤x。
這個序關系可以表示為：
0 1 2 3 4 …… -1 -2 -3 -4 -5 ……
4、實數(shù)集在通常序下不是良序集。
良序集的性質(zhì)
在良序集合中，除了整體上最大的那個(如果存在的話)，所有的元素都有一個唯一的后繼元：比它大的元素組成的集合中，最小的元素。但是，除整體最小元之外的所有元素不一定都有前驅(qū)元。例如，“良序的例子和反例”一節(jié)第三個例子中的良序集中，-1并不是最小元，但仍然沒有前驅(qū)元。
任何良序集合，都序同構于一個唯一的序數(shù)，稱為這個集合的序型。該集合中的每個元素都對應著一個比其序型小的序數(shù)。
良序集的等價條件
對全序集(S,≤)，下列命題是等價的：
(1)(S,≤)是良序集，即其所有非空子集合都有最小元素。
(2)超限歸納法在整個全序集(S,≤)上成立。
(3)(S,≤)上的所有嚴格遞減序列必定在有限多步驟內(nèi)終止(假定依賴選擇公理)。
證明：使用循環(huán)證明法。
(1)→(2)：反設超限歸納法在(S,≤)上不成立，則存在一個性質(zhì)φ，使得對S中任意元素x，只要φ對S中小于x的任何元素都成立，那么φ對x也成立，然而φ并非對S中所有元素都成立，即S中所有不滿足φ的元素組成的集合A是非空集，則A在序關系≤下不可能有最小元素，否則該最小元素應滿足φ，矛盾。
(2)→(3)：對序列的首項使用超限歸納法，則結論是顯然的。
(3)→(1)(依賴選擇公理)：對S的任一非空子集A，用選擇公理每次從A中選出一個元素，使得從第二次開始每次選出的元素都比前一次的小，則選出的所有元素構成一嚴格遞減序列，該序列必定在有限步內(nèi)終止，但序列終止的唯一可能是選出了一個元素x使得A中沒有比x小的元素，從而x是A中的最小元素。
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