什么是定理定理的區(qū)分
什么是定理定理的區(qū)分
定理是經(jīng)過(guò)受邏輯限制的證明為真的陳述，那么你對(duì)定理了解多少呢?以下是由學(xué)習(xí)啦小編整理關(guān)于什么是定理的內(nèi)容，希望大家喜歡!
定理的大意
在數(shù)學(xué)里，定理是指在既有命題的基礎(chǔ)上證明出來(lái)的命題，這些既有命題可以是別的定理，或者廣為接受的陳述，比如公理。數(shù)學(xué)定理的證明即是在形式系統(tǒng)下就該定理命題而作的一個(gè)推論過(guò)程。定理的證明通常被詮釋為對(duì)其真實(shí)性的驗(yàn)證。由此可見(jiàn)，定理的概念基本上是演繹的，有別于其他需要用實(shí)驗(yàn)證據(jù)來(lái)支持的科學(xué)理論。
有許多數(shù)學(xué)定理都是條件句，此時(shí)定理的證明是從假設(shè)出發(fā)，推出結(jié)論。因?yàn)樽C明跟真實(shí)性往往被連系起來(lái)，所以結(jié)論也常被視作是假設(shè)的必然結(jié)果。也就是說(shuō)，假設(shè)成立的話，結(jié)論也成立，毋需加上額外條件。但要指出的是，條件句式在不同的形式系統(tǒng)下可以有著不同的詮釋，視乎如何對(duì)當(dāng)中的推理規(guī)則和蘊(yùn)含符號(hào)作解讀。
雖然定理可在命題邏輯的框架下完全用符號(hào)寫(xiě)成，但它們還是多數(shù)用自然語(yǔ)言(例如漢語(yǔ))表達(dá)。證明亦然，也是以有邏輯和有組織的方式，用含意清晰的文字陳述出一個(gè)(非正式的)論證，使得讀者能夠理解并跟隨整個(gè)證明的脈胳，以至最終對(duì)命題真確性的信服。如有必要的話，也可從原本文字重構(gòu)出(正式的)符號(hào)形式的論證。文字形式的論證顯然要比純符號(hào)方便人們閱讀—而事實(shí)上，數(shù)學(xué)家往往也偏好某些證明，它們除了顯示命題為真之外，更是從某種角度解釋了為何命題必須為真。有時(shí)候，一張圖的勾勒就足以證明一個(gè)定理。因?yàn)槎ɡ砑捌渥C明是處于數(shù)學(xué)的核心，它們很大程度上也是數(shù)學(xué)之美的體現(xiàn)。定理有時(shí)被描述為”平凡” 、” 困難”，或者” 深入” ，而更甚是” 美麗” 。這些主觀判斷不只因人而異，且隨著時(shí)間推移也可能有變：就例如，由于證明被簡(jiǎn)化或變得更易懂，本來(lái)顯得困難的原命題也變成平凡的了。另一方面，一個(gè)深邃的定理可以被簡(jiǎn)單地表述，但其證明可以揭示出數(shù)學(xué)領(lǐng)域間叫人驚奇，而又微妙的隱秘關(guān)系。費(fèi)馬最後定理正是如此的一個(gè)典型例子。
定理的定義
1、通過(guò)真命題(公理或其他已被證明的定理)出發(fā)，經(jīng)過(guò)受邏輯限制的演繹推導(dǎo)，證明為正確的結(jié)論的命題或公式，例如“平行四邊形的對(duì)邊相等”就是平面幾何中的一個(gè)定理。
2、一般來(lái)說(shuō)，在數(shù)學(xué)中，只有重要或有趣的陳述才叫定理，證明定理是數(shù)學(xué)的中心活動(dòng)。相信為真但未被證明的數(shù)學(xué)敘述為猜想，當(dāng)它被證明為真后便是定理。它是定理的來(lái)源，但并非唯一來(lái)源。一個(gè)從其他定理引伸出來(lái)的數(shù)學(xué)敘述，可以不經(jīng)過(guò)證明成為猜想的過(guò)程，成為定理。
如上所述，定理需要某些邏輯框架，繼而形成一套公理(公理系統(tǒng))。同時(shí)，一個(gè)推理的過(guò)程，容許從公理中引出新定理和其他之前發(fā)現(xiàn)的定理。
在命題邏輯中，所有已證明的敘述都稱為定理。
經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐后公認(rèn)為正確的命題叫做公理。用推理的方法判斷為真的命題叫做定理。
定理的區(qū)分
定理是建立在公理和假設(shè)基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理和證明得到的，它能描述事物之間內(nèi)在關(guān)系，定理具有內(nèi)在的嚴(yán)密性，不能存在邏輯矛盾。比如：勾股定理，隱含公理是平直的歐幾里得空間，假設(shè)是直角三角形。要明白定理的來(lái)源，首先我們必須了解公理，公理是不證自明的真理，是建立科學(xué)的基礎(chǔ)，歐幾里得《幾何原本》就是建立在五條公理基礎(chǔ)上嚴(yán)密的邏輯體系。公理和定理的區(qū)別主要在于：公理的正確性不需要用邏輯推理來(lái)證明，而定理的正確性需要邏輯推理來(lái)證明。在物理學(xué)中而定理是通過(guò)數(shù)學(xué)工具(如微積分)推理得來(lái)的，如動(dòng)能定理;定律是由實(shí)驗(yàn)得出或驗(yàn)證的，如機(jī)械能守恒定律。
原理與定理極其近似但又稍有區(qū)別，原理只要求用自然語(yǔ)言表達(dá)(當(dāng)然并不排除數(shù)學(xué)表達(dá))，定理則著重于反映原理的數(shù)學(xué)性。因此，在表達(dá)時(shí)一定要用數(shù)學(xué)式來(lái)闡明，如“帕斯卡原理”：在密閉容器內(nèi)，液體向各個(gè)方向傳遞的壓強(qiáng)相等。
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