什么是旋轉(zhuǎn)矩陣有著怎樣的性質(zhì)
什么是旋轉(zhuǎn)矩陣有著怎樣的性質(zhì)
旋轉(zhuǎn)矩陣解決的是如何組合集合中的元素以達(dá)到某種特定的要求。那么你對旋轉(zhuǎn)矩陣了解多少呢?以下是由學(xué)習(xí)啦小編整理關(guān)于什么是旋轉(zhuǎn)矩陣的內(nèi)容，希望大家喜歡!
什么是旋轉(zhuǎn)矩陣
旋轉(zhuǎn)矩陣是世界上著名的彩票專家、澳大利亞數(shù)學(xué)家底特羅夫研究的，它可以幫助您鎖定喜愛的號碼，提高中獎(jiǎng)的機(jī)會。首先您要先選一些號碼，然后，運(yùn)用某一種旋轉(zhuǎn)矩陣，將你挑選的數(shù)字填入相應(yīng)位置。如果您選擇的數(shù)字中有一些與開獎(jiǎng)號碼一樣，您將一定會中一定獎(jiǎng)級的獎(jiǎng)。當(dāng)然運(yùn)用這種旋轉(zhuǎn)矩陣，可以最小的成本獲得最大的收益，且遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于復(fù)式投注的成本。
旋轉(zhuǎn)矩陣的原理在數(shù)學(xué)上涉及到的是一種組合設(shè)計(jì)：覆蓋設(shè)計(jì)。而覆蓋設(shè)計(jì)，填裝設(shè)計(jì)，斯坦納系，t-設(shè)計(jì)都是離散數(shù)學(xué)中的組合優(yōu)化問題。它們解決的是如何組合集合中的元素以達(dá)到某種特定的要求。其最古老的數(shù)學(xué)命題是寇克曼女生問題：
某教員打算這樣安排她班上的十五名女生散步：散步時(shí)三女生為一組，共五組。問能否在一周內(nèi)每日安排一次散步，使得每兩名女生在一周內(nèi)一道散步恰好一次?寇克曼于1847年提出了該問題，過了100多年后，對于一般形式的寇克曼問題的存在性才徹底解決。用1~15這15個(gè)數(shù)字分別代表15個(gè)女生，其中的一組符合要求的分組方法是：
星期日：(1，2，3)，(4，8，12)，(5，10，15)，(6，11，13)，(7，9，14)
星期一：(1，4，5)，(2，8，10)，(3，13，14)，(6，9，15)，(7，11，12)
星期二：(1，6，7)，(2，9，11)，(3，12，15)，(4，10，14)，(5，8，13)
星期三：(1，8，9)，(2，12，14)，(3，5，6)，(4，11，15)，(7，10，13)
星期四：(1，10，11)，(2，13，15)，(3，4，7)，(5，9，12)，(6，8，14)
星期五：(1，12，13)，(2，4，6)，(3，9，10)，(5，11，14)，(7，8，15)
星期六：(1，14，15)，(2，5，7)，(3，8，11)，(4，9，13)，(6，10，12)
旋轉(zhuǎn)矩陣的性質(zhì)
設(shè)是任何維的一般旋轉(zhuǎn)矩陣:
兩個(gè)向量的點(diǎn)積在它們都被一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣操作之后保持不變: 從而得出旋轉(zhuǎn)矩陣的逆矩陣是它的轉(zhuǎn)置矩陣: 這里的 是單位矩陣。 一個(gè)矩陣是旋轉(zhuǎn)矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)它是正交矩陣并且它的行列式是單位一。正交矩陣的行列式是 ±1;如果行列式是 −1，則它包含了一個(gè)反射而不是真旋轉(zhuǎn)矩陣。 旋轉(zhuǎn)矩陣是正交矩陣，如果它的列向量形成 的一個(gè)正交基，就是說在任何兩個(gè)列向量之間的標(biāo)量積是零(正交性)而每個(gè)列向量的大小是單位一(單位向量)。 任何旋轉(zhuǎn)向量可以表示為斜對稱矩陣 A的指數(shù): 這里的指數(shù)是以泰勒級數(shù)定義的而 是以矩陣乘法定義的。A 矩陣叫做旋轉(zhuǎn)的“生成元”。旋轉(zhuǎn)矩陣的李代數(shù)是它的生成元的代數(shù)，它就是斜對稱矩陣的代數(shù)。生成元可以通過 M 的矩陣對數(shù)來找到。
旋轉(zhuǎn)矩陣的二維空間
在二維空間中，旋轉(zhuǎn)可以用一個(gè)單一的角 θ 定義。作為約定，正角表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。把笛卡爾坐標(biāo)的列向量關(guān)于原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ 的矩陣是:
該矩陣的逆矩陣為：
表示較原來反方向旋轉(zhuǎn)θ ，也即順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ
順時(shí)針旋轉(zhuǎn)就直接計(jì)算-θ 即可。
旋轉(zhuǎn)矩陣的三維空間
在三維空間中，旋轉(zhuǎn)矩陣有一個(gè)等于單位一的實(shí)特征值。旋轉(zhuǎn)矩陣指定關(guān)于對應(yīng)的特征向量的旋轉(zhuǎn)(歐拉旋轉(zhuǎn)定理)。如果旋轉(zhuǎn)角是 θ，則旋轉(zhuǎn)矩陣的另外兩個(gè)(復(fù)數(shù))特征值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。從而得出 3 維旋轉(zhuǎn)的跡數(shù)等于 1 + 2 cos(θ)，這可用來快速的計(jì)算任何 3 維旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角。
3 維旋轉(zhuǎn)矩陣的生成元是三維斜對稱矩陣。因?yàn)橹恍枰齻€(gè)實(shí)數(shù)來指定 3 維斜對稱矩陣，得出只用三個(gè)是實(shí)數(shù)就可以指定一個(gè)3 維旋轉(zhuǎn)矩陣。
生成旋轉(zhuǎn)矩陣的一種簡單方式是把它作為三個(gè)基本旋轉(zhuǎn)的序列復(fù)合。關(guān)于右手笛卡爾坐標(biāo)系的 x-, y- 和 z-軸的旋轉(zhuǎn)分別叫做 roll, pitch 和 yaw 旋轉(zhuǎn)。因?yàn)檫@些旋轉(zhuǎn)被表達(dá)為關(guān)于一個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)，它們的生成元很容易表達(dá)。
繞 x-軸的旋轉(zhuǎn)定義為: 這里的 θx 是 roll 角。 繞 y-軸的旋轉(zhuǎn)定義為: 這里的 θy 是 pitch 角。 繞 z-軸的旋轉(zhuǎn)定義為: 這里的 θz 是 yaw 角。
在飛行動(dòng)力學(xué)中，roll, pitch 和 yaw 角通常分別采用符號 γ, α, 和 β;但是為了避免混淆于歐拉角這里使用符號 θx, θy 和 θz。
任何 3 維旋轉(zhuǎn)矩陣 都可以用這三個(gè)角 θx, θy, 和 θz 來刻畫，并且可以表示為 roll, pitch 和 yaw 矩陣的乘積。
是在 中的旋轉(zhuǎn)矩陣 在 中所有旋轉(zhuǎn)的集合，加上復(fù)合運(yùn)算形成了旋轉(zhuǎn)群 SO(3)。這里討論的矩陣接著提供了這個(gè)群的群表示。更高維的情況可參見 Givens旋轉(zhuǎn)。
角-軸表示和四元數(shù)表示
在三維中，旋轉(zhuǎn)可以通過單一的旋轉(zhuǎn)角 θ 和所圍繞的單位向量方向 來定義。
這個(gè)旋轉(zhuǎn)可以簡單的以生成元來表達(dá):
在運(yùn)算于向量 r 上的時(shí)候，這等價(jià)于Rodrigues旋轉(zhuǎn)公式：
角-軸表示密切關(guān)聯(lián)于四元數(shù)表示。依據(jù)軸和角，四元數(shù)可以給出為正規(guī)化四元數(shù) Q:
這里的 i, j 和 k 是 Q 的三個(gè)虛部。
歐拉角表示(Euler角)
在三維空間中，旋轉(zhuǎn)可以通過三個(gè)歐拉角 (α,β,γ) 來定義。有一些可能的歐拉角定義，每個(gè)都可以依據(jù) roll, pitch 和 yaw 的復(fù)合來表達(dá)。依據(jù) "z-x-z" 歐拉角，在右手笛卡爾坐標(biāo)中的旋轉(zhuǎn)矩陣可表達(dá)為:
進(jìn)行乘法運(yùn)算生成:
因?yàn)檫@個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣不可以表達(dá)為關(guān)于一個(gè)單一軸的旋轉(zhuǎn)，它的生成元不能像上面例子那樣簡單表達(dá)出來。
對稱保持 SVD 表示
對旋轉(zhuǎn)軸 q 和旋轉(zhuǎn)角 θ，旋轉(zhuǎn)矩陣
這里的 的縱列張開正交于 q 的空間而 G 是 θ 度 Givens 旋轉(zhuǎn)。
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