等價(jià)關(guān)系是集合上的一種特殊的二元關(guān)系，它同時(shí)具有自反性、對(duì)稱(chēng)性和傳遞性。以下是由學(xué)習(xí)啦小編整理的等價(jià)關(guān)系的內(nèi)容，希望大家喜歡!

　　等價(jià)關(guān)系的介紹

　　等價(jià)關(guān)系是集合上的一種特殊的二元關(guān)系，它同時(shí)具有自反性、對(duì)稱(chēng)性和傳遞性。常用等價(jià)關(guān)系來(lái)劃分集合，選取每類(lèi)的代表元素來(lái)降低問(wèn)題的復(fù)雜度，如軟件測(cè)試時(shí)，可利用等價(jià)類(lèi)來(lái)選擇測(cè)試用例。

　　等價(jià)關(guān)系的定義

　　設(shè) R 是集合 A 上的一個(gè)二元關(guān)系，若R滿(mǎn)足：

　　自反性：∀ a ∈A, => (a, a) ∈ R

　　對(duì)稱(chēng)性：(a, b) ∈R∧ a ≠ b => (b, a)∈R

　　傳遞性：(a, b)∈R,(b, c)∈R =>(a, c)∈R

　　則稱(chēng) R 是定義在 A 上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。設(shè) R 是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，若(a, b) ∈ R，則稱(chēng) a 等價(jià)于 b，記作 a ~ b 。

　　等價(jià)關(guān)系的應(yīng)用

　　例一：

　　設(shè)A = {1, 4, 7}，定義A上的關(guān)系R如下：

　　R = { (a, b) | a, b ∈ A∧a ≡ b mod 3 }

　　其中a ≡ b mod 3叫做 a 與 b 模 3 同余，即 a 除以 3 的余數(shù)與 b 除以 3 的余數(shù)相等。不難驗(yàn)證 R 為 A 上的等價(jià)關(guān)系。

　　設(shè) f 是從 A 到 B 的一個(gè)函數(shù)，定義 A 上的關(guān)系 R ：aRb，當(dāng)且僅當(dāng)f(a) = f(b)，R 是 A 上的等價(jià)關(guān)系。

　　例二：

　　設(shè) R 為定義在集合 A 上的一個(gè)關(guān)系，若 R 是自反的、對(duì)稱(chēng)的和傳遞的，則稱(chēng) R 為等價(jià)關(guān)系。設(shè) R 為集合 A 上的等價(jià)關(guān)系，對(duì)任何a∈A,集合 [a] = {b | (a, b) ∈R} 稱(chēng)為元素 a 形成的等價(jià)類(lèi)，其等價(jià)類(lèi)集合 {[a] | a∈A}，稱(chēng)作A關(guān)于R的商集，記作 A/R。定理 3.7.1 設(shè)給定非空集合 A 上等價(jià)關(guān)系 R ，對(duì)于 a, b ∈A,有 aRb 當(dāng)且僅當(dāng) [a] = [b]。定理 3.7.2 集合 A 上的等價(jià)關(guān)系 R ，確定了 A 的一個(gè)劃分，該劃分就是商集 A/R。定理 3.7.3 集合A的一個(gè)劃分，確定 A 的元素間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。

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