什么是等價(jià)關(guān)系有什么應(yīng)用知識(shí)
等價(jià)關(guān)系是集合上的一種特殊的二元關(guān)系,它同時(shí)具有自反性、對(duì)稱性和傳遞性。以下是由學(xué)習(xí)啦小編整理的等價(jià)關(guān)系的內(nèi)容,希望大家喜歡!
等價(jià)關(guān)系的介紹
等價(jià)關(guān)系是集合上的一種特殊的二元關(guān)系,它同時(shí)具有自反性、對(duì)稱性和傳遞性。常用等價(jià)關(guān)系來劃分集合,選取每類的代表元素來降低問題的復(fù)雜度,如軟件測(cè)試時(shí),可利用等價(jià)類來選擇測(cè)試用例。
等價(jià)關(guān)系的定義
設(shè) R 是集合 A 上的一個(gè)二元關(guān)系,若R滿足:
自反性:∀ a ∈A, => (a, a) ∈ R
對(duì)稱性:(a, b) ∈R∧ a ≠ b => (b, a)∈R
傳遞性:(a, b)∈R,(b, c)∈R =>(a, c)∈R
則稱 R 是定義在 A 上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。設(shè) R 是一個(gè)等價(jià)關(guān)系,若(a, b) ∈ R,則稱 a 等價(jià)于 b,記作 a ~ b 。
等價(jià)關(guān)系的應(yīng)用
例一:
設(shè)A = {1, 4, 7},定義A上的關(guān)系R如下:
R = { (a, b) | a, b ∈ A∧a ≡ b mod 3 }
其中a ≡ b mod 3叫做 a 與 b 模 3 同余,即 a 除以 3 的余數(shù)與 b 除以 3 的余數(shù)相等。不難驗(yàn)證 R 為 A 上的等價(jià)關(guān)系。
設(shè) f 是從 A 到 B 的一個(gè)函數(shù),定義 A 上的關(guān)系 R :aRb,當(dāng)且僅當(dāng)f(a) = f(b),R 是 A 上的等價(jià)關(guān)系。
例二:
設(shè) R 為定義在集合 A 上的一個(gè)關(guān)系,若 R 是自反的、對(duì)稱的和傳遞的,則稱 R 為等價(jià)關(guān)系。設(shè) R 為集合 A 上的等價(jià)關(guān)系,對(duì)任何a∈A,集合 [a] = {b | (a, b) ∈R} 稱為元素 a 形成的等價(jià)類,其等價(jià)類集合 {[a] | a∈A},稱作A關(guān)于R的商集,記作 A/R。定理 3.7.1 設(shè)給定非空集合 A 上等價(jià)關(guān)系 R ,對(duì)于 a, b ∈A,有 aRb 當(dāng)且僅當(dāng) [a] = [b]。定理 3.7.2 集合 A 上的等價(jià)關(guān)系 R ,確定了 A 的一個(gè)劃分,該劃分就是商集 A/R。定理 3.7.3 集合A的一個(gè)劃分,確定 A 的元素間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。
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