一次數(shù)列的性質(zhì)

　　1。p1(x),p2(x)均為一次數(shù)列，則p1(x)±p2(x)與c*p1(x)±p2(x)(c為非零常數(shù))也是一次數(shù)列。p(x)是一次函數(shù)，(n,p(x))構(gòu)成直線。

　　2。p(m)-p(n)=En(m)*b'-En(n)*b'=(En(m)-En(n))*b'=[0,m-n]*b'

　　3。m+n=p+q -> p(p)+p(q)=p(m)+p(n)

　　(證明:m+n=p+q -> En(m)+En(n)=En(p)+En(q)

　　p(m)+p(n)=En(m)*b'+En(n)*b'=(En(m)+En(n))*b'

　　p(p)+p(q)=(En(p)+En(q))*b'=(En(m)+En(n))*b'=p(m)+p(n)

　　4。從p(x)=En(x)*b'中取出等距離的項(xiàng)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，此數(shù)列仍是一次數(shù)列，其一次項(xiàng)系數(shù)為k*b(1)( k為取出項(xiàng)數(shù)之差)，常項(xiàng)系數(shù)未知。

　　5。在一次數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列末項(xiàng)除外)都是它前后兩項(xiàng)的平均數(shù).

　　6。當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)b(1)>0時(shí)，數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的增大而增大;當(dāng)b(1)<0時(shí)，數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的減少而減小;b(1)=0時(shí)，數(shù)列中的數(shù)等于一個(gè)常數(shù)。

　　等差數(shù)列的判定

　　1、a(n+1)--a(n)=d (d為常數(shù)、n ∈N*)[或a(n)--a(n-1)=d，n ∈N*，n ≥2,d是常數(shù)]等價(jià)于{a(n)}成等差數(shù)列。

　　2、2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*] 等價(jià)于{a(n)}成等差數(shù)列。

　　3、a(n)=kn+b [k、b為常數(shù),n∈N*] 等價(jià)于{a(n)}成等差數(shù)列。

　　4、S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B為常數(shù)，A不為0，n ∈N* ]等價(jià)于{a(n)}為等差數(shù)列。

　　等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式S 的基本性質(zhì)

　?、艛?shù)列為等差數(shù)列的重要條件是：數(shù)列的前n項(xiàng)和S 可以寫成S = an^2 + bn的形式(其中a、b為常數(shù)).

　?、圃诘炔顢?shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n (n∈ N+)時(shí)，S偶-S奇 = nd， S奇÷S偶=an÷a(n+1) ;當(dāng)項(xiàng)數(shù)為(2n-1)(n∈ N+)時(shí)，S奇—S偶=a中 ，S奇÷S偶 =n÷(n-1) .

　?、侨魯?shù)列為等差數(shù)列，則S n，S2n -Sn ，S3n -S 2n，…仍然成等差數(shù)列，公差為k^2d .

　?、热魞蓚€(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別是S 、T (n為奇數(shù))，則 = .

　?、稍诘炔顢?shù)列中，S = a，S = b (n>m)，則S = (a-b).

　　⑹等差數(shù)列中， 是n的一次函數(shù)，且點(diǎn)(n， )均在直線y = x + (a - )上.

　　(7)記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn：①若a1>0，公差d<0，則當(dāng)an≥0且an+1≤0時(shí)，S最大;②若a1<0，公差d>0，則當(dāng)an≤0且an+1≥0時(shí)，S最小。

　　(8)若等差數(shù)列S(p)=q,S(q)=p,則S(p+q)=-(p+q)

　　等差數(shù)列的特殊性質(zhì)

　　在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)和相等。并且等于首末兩項(xiàng)之和;特別的，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，還等于中間項(xiàng)的2倍,

　　即，a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=···=2*a中

　　例：

　　數(shù)列：1，3，5，7，9，11中

　　a(1)+a(6)=12 ; a(2)+a(5)=12 ; a(3)+a(4)=12 ; 即，在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)和相等。并且等于首末兩項(xiàng)之和。

　　數(shù)列：1，3，5，7，9中

　　a(1)+a(5)=10 ; a(2)+a(4)=10 ; a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5 ; 即，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，和等于中間項(xiàng)的2倍,另見，等差中項(xiàng)。
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